1、一次函数及反比例函数的图象与性质一次函数及反比例函数的图象与性质主讲：童丽丹一、知识要点概述（一）一次函数1、一次函数的定义：形如y=kxb(k，b为常数且k0)的函数叫一次函数2、正比例函数的定义：y=kx(k0)叫正比例函数正比例函数是一次函数的特例3、一次函数的图象是一条经过及(0，b)的一条直线4、一次函数的性质：当k0时y随x的增大而增大 当k0时y随x的增大而减小5、一次函数y=kxb的图象与k、b的符号关系表k、b的符号草图经过的象限k0，b0直线经过第一、二、三象限k0，b0直线经过第一、三、四象限k0，b0直线经过第一、二、四象限k0，b0直线经过第二、三、四象限（二）反比例
2、函数1、反比例函数定义：形如叫做反比例函数自变量的取值范围是x02、反比例函数的图象是双曲线3、反比例函数的性质(1)当k0时，图象的两分支分别在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小(2)当k0时，图象的两分支分别在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大（三）基本规律1、确定一次函数的解析式，通常采用待定系数法，由题目已知条件得到关于k，b的二元一次方程组，再求出k，b2、对于直线l1：y=k1xb1，与l2；y=k2xb2 当l1l2时，k1=k2且b1b2，反之当k1=k2且b1b2时，l1l23、画一次函数的图象时通常只需描出图象上任两点的坐标，再过这两点画一条直线，一般画
3、出直线y=kxb与两坐标轴的交点和(0，b)，正比例函数图象过(0，0)和点(1，k)4、反比例函数的图象是断开的，产生的原因是自变量的取值范围是x0，这两条曲线可以无限地接近x轴、y轴，但永远不会与x轴、y轴相交双曲线是关于原点成中心对称的，也是轴对称的5、过双曲线上任一点向x轴或y轴引垂线，并连接该点与原点，得到直角三角形，这个直角三角形的面积与点的位置无关，是一个定值为这一结论常常用到，应特别记住二、典型例题剖析例1、(1)若函数是一次函数，则m=_ (2)已知m是整数且一次函数y=(m4)xm2的图象不经过第二象限，则m=_点评：(1)一次函数y=kxb中k0这一条件不能忽视(2)直线
4、y=kxb不过第二象限的条件要特别注意，此时直线经过第一、三象限是正比例函数例2、已知yy1y2，y1与x1成正比例，y2与x1成反比例当x=0时y=5，当x=2时y=1，那么当y=3时x=_分析：根据题意，分别设出y1与y2的函数关系式，根据y=y1y2，把x、y代入求出比例系数，得到y与x的函数关系式，再求x的值注：这里必须注意，其中的两个比例函数要用两个不同字母k1，k2，千万不要用同一个字母k，这是同学们易错的地方 例3、已知一直线经过点A(1，1)和B(1，5)求直线AB的解析式分析：直线的解析式可设为y=kxb，因为k，b待定，由直线过A(1，1)和B(1，5)可以确定解：设直线A
5、B的解析式为：y=kxb(k0)点A(1，1)和B(1，5)在直线y=kxb上，直线AB的解析式为y=3x2点评：求函数的解析式可采用待定系数法，这样把求函数的关系转化为解二元一次方程组的问题来解决，用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤为：(1)设函数的解析式为y=kxb(k0)(2)将已知点的坐标代入函数的解析式，得出方程组(3)求k，b的值，得函数的解析式例4、如图，RtABO的顶点A是双曲线与直线y=x(k1)在第四象限的交点，ABx轴于B且(1)求这两个函数的解析式；(2)求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标及AOC的面积点评：与点A在双曲线上位置无关，把AOC分割为COE与AOE
6、，是因为这两个三角形的面积均可求，其OE边上的高分别是C、A两点纵坐标的绝对值，应注意数形结合例5、如图，已知直线y=x2与x轴、y轴分别交于A和点B，另一直线y=kxb(k0)经过点C(1，0)，且把AOB分成两部分(1)若AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值(2)若AOB被分成的两部分面积比为15，求k和b的值解：(1)由直线y=kxb(k0)经过点C(1，0)且把AOB分成面积相等的两部分，则该直线应为ABO的中线BC所在的直线，由题意知B点坐标为B(0，2)，y=kxb经过点B(0，2)，C(1，0)，易求得k=2，b=2(2)如果直线y=kxb分AOB两部分的面积比为15，则有
7、两种情形：过点C作直线y=kxb交y轴于点E(0，y0)，例6、已知关于x的函数y=k(x1)和它们在同一坐标系的图象大致是（）ABCD 解：选B按比例系数的性质进行分类讨论当k0时双曲线在第二、四象限，而直线y=k(x1)在第一、三、四象限，故只有选B例7、已知(1，y1)，(2，y2)，(，y3)在反比例系数的图象上，则下列结论正确的是（）Ay1y2y3By1y3y2Cy3y1y2Dy2y3y1解：选B无论k为何值，反比例系数k210，所以双曲线的两个分支分别位于第二、四象限故当x0时y0，当x0，y0y1y2，y1y3又2，y3y2y1y3y2，选B例8、已知反比例函数的图象上两点A(x
8、1，y1)，B(x2，y2)，且当x10x2时有y1y2，则m的取值范围是（）解：选C由x10x2时有y1y2知12m0，例9、某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时和100千米/时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：运输工具运输费单价(元/吨千克)冷藏费单价(元/吨小时)过路费(元)装卸及管理费(元)汽车252000火车1.8501600注：“元/吨千米”表示每吨货物每千米运费；“元/吨小时”表示每吨货物每小时冷藏费(1)设该批发商待运的海产品有x(吨)，汽车货运公司和铁路货运
9、公司所要收取的费用分别为y1(元)和y2(元)，试求y1和y2与x的函数关系式(2)若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应选哪个货运公司承担运输业务？分析：这是一道图表信息题，决策题型，读懂题意，列出两个函数关系式是关键解：(1)根据题意有(2)当y1=y2即222x1600=250x200，解得：x=50；当y1y2即250x200222x1600，解得：x50；当y1y2即250x200222x1600，解得x50.当所运产品刚好50吨时，选汽车公司或铁路货运公司中的任意一家均可；当所运产品不少于30吨且不足50吨时，选择汽运公司，当所运海产品多于50吨时，应选择铁路货运公司
10、例10、十堰市广电局与长江证券公司联合推出宽带网业务，用户通过宽带网可以享受新闻点播、点击武当、影视欣赏、股市大户室等项服务其上网费用的方式有：方式一，每月80元包干；方式二，每月上网时间(x小时)与上网费(y元)的函数关系如图所示；方式三，以0小时为起点，每小时收费1.6元，月收费不超过120元，若设一用户每月上网x小时，月上网总费用y元(1)根据图象求出方式二中y与x的函数关系式(0x100)；(2)试写出方式三中，y与x的函数关系式(0x75)(3)试问此用户每月上网60小时，选用哪种方式上网，其费用最少？分析：这是一道图象信息题，根据题意，结合图象解题，其中求方式二的解析式是难点，应分0x50和50x100两个区间求解析式解：(1)当0x50时，y=58当50x100时，设y=kxb(k0)，由图象可知直线经过(50，58)，(100，118)两点，(2)当0x75时y=1.6x(3)当x=60时，方式一收费y=80元；当x=60时，方式二收费y=1.2602=70元；当x=60时，方式三收费y=1.660=96元故用户每月上网60小时，应选择方式二上网费用最小
