1、第十三章 复数,复数的概念,第 讲,1,1.对于虚数单位i，有如下两个规定：(1)i2=;(2)实数可以与它进行，且原有的 运算律仍然成立.2.形如 的数叫做复数.全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的_，a与b分别叫做复数z=a+bi的_.,-1,四则运算,加、乘,a+bi(a，bR),代数形式,实部和虚部,3.对于复数z=a+bi(a、bR)，当_时，z叫做虚数，当_时，z=bi叫做纯虚数，当且仅当_时，z是实数，当且仅当_时，z=0.4.如果两个复数的 分别相等，那么就说这两个复数相等.,b0,a=0，b0,b=0,a=b=0,实部和虚部,
2、5.如果两个复数的实部_，虚部_，那么这两个复数互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做互为_，复数z的共轭复数用_表示.6.建立直角坐标系来表示复数的平面叫做_，x轴叫做_，y轴叫做.复数z=a+bi 复平面内的点_.,相等,互为相反数,共轭虚数,复平面,实轴,虚轴,Z(a，b),一一对应,1.若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数，则实数x的值为()A.-1 B.0C.1 D.-1或1,A,解：由，得x=-1，故选A.,2.在复平面内，复数z=i(1+2i)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解：因为z=i(1+2i)=i+2i2=-2+i，所
3、以复数z所对应的点为(-2,1)，故选B.,B,3.在复平面内，复数对应的点的坐标为(-1,1).,解：据已知可得=i(1+i)=-1+i，故其在复平面内对应点的坐标为(-1,1),题型1 复数基本概念的应用,1.设复数 当m为何值时，z为实数；z为虚数；z为纯虚数?解：即m=5时，z为实数.,m2-2m-15=0,m+30,，即,m=5或m=-3,m-3，,当,m2-2m-150 m+30，即m5，且m-3时，z为虚数.m2-2m-150 m2-m-6=0 m+30，即m=3或m=-2时，z为纯虚数.,当,当,点评：复数a+bi(a、bR)为实数的充要条件是b=0；为虚数的充要条件是b0；为
4、纯虚数的充要条件是a=0且b0.这些结论是我们化复为实的主要依据.,已知复数z的对应点在直线x+y=0上，且对实数a，有 成立，求a和z.解：设z=x+yi，x、yR，由x+y=0，得y=-x，即z=x-xi.依题意x-xi+(a-1)(x+xi)=-1+ai，,即ax+(a-2)xi=-1+ai，得解得a=-2或a=1.当a=-2时，当a=1时，z=-1+i.,ax=-1,(a-2)x=a，,题型2 复数相等在解题中的应用,2.(2010江西卷)已知(x+i)(1-i)=y，则实数x，y的值分别为()A.x=-1，y=1 B.x=-1，y=2C.x=1，y=1 D.x=1，y=2,D,解法1
5、：(代值验证法)：将A、B、C、D代入等式验证，A、B、C均错，只有D成立，故选D.,解法2：因为(x+i)(1-i)=y，所以x+1+(1-x)i=y，所以，解得，故选D.,点评：两个复数相等的定义是如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a、b、c、dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d.由此可得到两个等式,已知x,y为共轭复数，且(x+y)2-3xyi=4-6i，求x,y.解：设x=a+bi(a,bR)，则y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2.所以(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,根据复数相等得 4a2=4-3(a2+b2)=-6,a
6、=1 a=1 a=-1b=1 b=-1 b=1故所求复数为x=1+i x=1-i x=-1+iy=1-i y=1+i y=-1-i,解得,或,或,或,a=-1,b=-1.,或,或,x=-1-i,或,y=-1+i.,1.复数集是实数集的扩充，一般地，数系扩充有三个基本原则：第一，增加新元素；第二，旧元素在新的数系中原有的运算性质仍然成立；第三，新数系能解决旧数系不能解决的矛盾.2.从集合的观点分析，复数集是实数集与虚数集的并集，纯虚数集是虚数集的真子集，实数集与虚数集的交集为空集.,3.两个不全为实数的复数只能说相等或不相等，即虚数与任何数都不能比较大小.4.实数的某些运算性质，在复数集中不成立，如x20;x2+y2=0等价于x=y=0;x-y0等价于xy等，在实数集中成立，但在复数集中不成立.若z2=a(a0)，则,5.在复平面上，实轴上的点都表示实数，实数对应的点都在实轴上；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，纯虚数对应的点都在虚轴上.6.复数对应于复平面内的点的横坐标和纵坐标，分别是复数的实数和虚部.复数的几何表示，反映了复数的几何意义，从而使得复数与解析几何建立了有机的内在联系.,
