高中数学北师大版必修五教案21 典例分析正余弦定理在解决三角形问题中的应用.docx
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高中数学北师大版必修五教案21 典例分析正余弦定理在解决三角形问题中的应用.docx
1、高中数学北师大版必修五教案21 典例分析正余弦定理在解决三角形问题中的应用正余弦定理在解决三角形问题中的应用典型例题分析：一、判定三角形的形状例1 根据下列条件判断三角形ABC的形状：(1)若a2tanB=b2tanA；解：由已知及正弦定理得(2RsinA)2 = (2RsinB)2 2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B2cos(A + B)sin(A B)=0 A + B=90o 或 A B=0所以ABC是等腰三角形或直角三角形.(2)b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC;解: 由正弦定理得sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC
2、sinBsinC0, sinBsinC=cosBcosC,即 cos(B + C)=0, B + C=90o, A=90o,故ABC是直角三角形.(3)(sinA + sinB + sinC) (cosA + cosB + cosC)=1.解：(sinA + sinB + sinC) (cosA + cosB + cosC)=1 2sincos+ sin(A + B) 2coscos+ 2cos2- 1=0 2sincos+ sin(A + B) 2coscos - 2sin2=0(sin- cos)(cos- sin)=0sin( - )sinsin=0ABC是Rt。二、三角形中的求角或求边长问题例2、ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使DEF是等边三角形（如图1）。设FEC=，问sin为何值时，DEF的边长最短？并求出最短边的长。图 1分析：要求最短边的长，需建立边长关于角的目标函数。解：设DEF的边长为x，显然C=90，B=60，故EC=xcos。因为DEC=DEF+=EDB+B，所以EDB=。在BDE中，由正弦定理得，
