1、高中数学题型全面归纳不等式选讲docx第三节 不等式选讲 ( 选修 4-5)考纲解读1.了解绝对值的几何意义， 会利用绝对值的定义解不等式， 利用绝对值不等式证明不等式和求最值 .2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式.命题趋势探究本节内容为新课标新增内容， 是高考选考内容 . 题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档 .知识点精讲一、不等式的性质1.同向合成（ 1） ab, bcac ；（ 2） ab,cd
2、acbd ；（ 3） ab0,cd0acbd .（合成后为必要条件）2. 同解变形（ 1） abac bc ；（ 2） abc0, acbcc0, ac bc ；（ 3） a b 0110ab 0 .ba（变形后为充要条件）3.作差比较法a b a b 0, a b a b 0二、含绝对值的不等式（ 1） a0,| x | aax a ； a 0,| x |axa, 或x a（ 2） | a | | b |a2b2（ 3） | xa | xb |c 零点分段讨论三、基本不等式（ 1） a2b22ab （当且仅当等号成立条件为ab ）（ 2） a0, b0, ab2ab （当且仅当等号成立条件为
3、a b ）；2a 0, b0, c0, a bc3 abc （当且仅当 abc时等号成立）3（ 3）柯西不等式(a2b2 )(c2d 2 )(acbd )2 （当且仅当 adbc 时取等号）几何意义： | a b | a | b | ad bc |a2b2c2d 2推广： (a12a22an2 )( b12b22bn2)( a1 b1a2 b2an bn )2 . 当且仅当向量 a = ( a1 , a2 , an ) 与向量 b = (b1 , b2 , bn ) 共线时等号成立 .四、不等式的证明（ 1）作差比较法、作商比较法 .（2）综合法由因到果 .（3）分析法执果索因 .（4）数学归
4、纳法 .（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式.（6）反证法 .（7）放缩法 .题型归纳即思路提示题型201含绝对值的不等式一、解含绝对值的不等式思路提示对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值 . 常用的去绝对值方法是零点分段法 . 特别用于多个绝对值的和或差不等式问题 . 若单个绝对值的不等式常用以下结论：| f (x) |g (x)g( x)f ( x)g( x)；| f (x) |g (x)f ( x) g ( x)或f ( x)g( x) ；| f (x) | g( x) |f 2 ( x)g 2( x) ( f ( x) g( x)( f ( x) g(x
5、) 0 .有时去绝对值也可根据 | x |2x2 来去绝对值 .例 16.14(2015 山东 ) 解不等式 |x 1| |x 5|2的解集变式1不等式 | x5 | x3|10 的解集是（）A. 5,7B.4,6C. (, 57,)D.(, 46,)变式 2 已知函数 f ( x) | x 2 | | x 5| .（ 1）证明： 3 f (x) 3；（ 2）求不等式 f ( x) x2 8x 15 的解集.二、含绝对值不等式恒成立，求参数问题1例 16.15若不等式 |2x 1| |x 2| a2 2a 2 对任意实数 x 恒成立，则实数a 的取值范围为 _.1变式 1 不等式 x x |a
6、2| sin y 对一切非零实数 x， y 均成立，求实数 a 的取值范围 .变式 2 若不等式 |kx 4| 2 的解集为 x|1 x 3 ，则实数 k _.变式 3(2017石家庄调研 )设函数 f(x)|x 3| |x 1| ， x R.(1)解不等式 f(x) 1；(2)设函数 g(x) |x a| 4，且 g(x)f(x)在 x 2,2 上恒成立，求实数a 的取值范围三、含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题例16.16 (2016 深圳模拟 )若关于 x 的不等式 |2 014 x| |2 015 x| d 有解，求 d 的取值范围变式 2已知 aR ，关于 x 的方程 x2x |
7、 a1 | | a | 0 有实根，求 a 的取值范围 .4四、已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围例 16.17 ( 全国卷 I 卷（理）已知函数 f （ x） =x2+ax+4， g(x)= x+1 +x 1.（1）当 a=1 时，求不等式 f（ x）g（ x）的解集；（2）若不等式 f（ x） g（ x）的解集包含 1， 1，求 a 的取值范围 .变式 1设函数 f ( x)| xa |3x ，其中 a0 .(1)当 a 1时，求不等式f ( x)3x 2的解集；(2)若不等式f ( x)0的解集为x | x1 ，求 a 的值 .变式 2 (2017 开封模拟 ) 设函数 f(x)
8、 |x a| ， a0.1(1)证明： f(x) f x 2；(2) 若不等式f(x) f(2x)0 且互不相等， abc1. 试证明： a b cabc.变式 1 已知 a， b， c， d 均为正数，且 ad bc.(1)证明：若 a db c，则 |a d|bc|；(2)t a2 b2 c2 d2 a4 c4 b4 d4，求实数 t 的取值范围.2.分析法（由果索因）16.21(2017 沈阳模拟 ) 设 a， b， c0，且 ab bc ca 1. 求证：(1)ab c3；abc(2) bcacab3(ab c) c2 a2 a2 b2c2( 当且仅当 ab c 时等号成立 ) 证得2
9、所以原不等式成立abc a b c(2)bcacab abc .变式 1 已知 abc，且 a b c 0，求证： b2 ac 3a.四、反证法思路提示从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的 . 它的依据是原命题与逆否命题同真假 .例16. 22 设二次函数 f(x)=x2+px+q ，求证： |f(1)|， |f(2)|， |f(3)|中至少有一个不小1于2 .变式 1已知 a, b,R ，a3b32求证： a b2.,五、放 法思路提示预 证 A B ， 可 通 过 适 当 放 大 或 缩 小 ， 借 助 一 个 或 多 个 中 间 量 ， 使
10、 得B B1 , B1B2 , , BK A 或 AA1, A1 A2 , , AK B ，再利用传递性， 达到证明目的，常见的放缩途径有“添舍”放缩、“分母”放缩和“单调”放缩 .例16. 23(2015 安徽卷 ) nN* ，xn是曲 y=x 2n+ 2+1在点 (1，2) 的切 与 x 交点的横坐 .(1)求数列 xn 的通 公式；x12 x32x22n-11(2) Tn =，求 ： Tn4n .变式 1 证明： nn (n 1)n 1( n 2,n N ) .变式 2 若 a，b R，求证：|a b| |a| |b|1 |a b|1 |a|1 |b|.例 16. 24bcda求证： 1
11、2(a,b, c, d R ) .a b c b c d c d a d a b例 16. 25 设 a,b, c, m R ，且满足 ambmcm ，问 m 取何值时，以 a,b, c 为边可构成三角形，并判断该三角形的形状 .六、三角换元法思路提示若 x2y 21， x2y21等为已知条件，求证不等式时，利用三角换元法较容易，2但是务必注意换元前后参数的范围变化.例 16. 26（ 2017江苏卷）已知 a,b,c,d 为实数，且 a2+b2=4,c2+d2=16,证明 ac+bd 8.变式 1设x, yR， 22，求证：xy5xy|.14123七、构造法思路提示一般说来，用构造法证明不等
12、式，常见的构造方法如下：（1）构造辅助函数 .（2）构造辅助数列 .（3）构造几何图形 .例 16. 27设 x, yR ， b0 ，若 0 a1，求证： b b21.ba1.例 16. 28 已知 a,b, c为三角形的三边长，求证：a bc.1 a 1 b变式 1证明：| a b | a | b | .1 | a b | 1 | a | 1 | b |变式 2已知 x0 且 x1， mn 0 ，求证： xm 1xnxm例 16. 29 证明：当 x 1 且 x 0 时，有 (1 x)n 1 nx (n1 c1xn .N ) .例 16. 30 设 a,b, c R ，求证： a2 b2 b
13、2 c2 a2 c2 2( a b c) .变式 1 设 x, y R ，求证： x2 3x 3 y2 3y 3 x2 3xy y2 6 .八、利用柯西不等式证明不等式思路提示柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式及向量表现形式，而且有明显的几何意义，它与基本不等式具有密切的关系，其作用类似于基本不等式可用来求最大（小） 值或证明不等式，不过它的特点更明显应用更直接.1. 二维形式的柯西不等式设 x1 , x2 , y1, y2R ， (x12y12 )( x22y22 )( x1 x2y1 y2 ) 2. 等号成立x1 y2 x2 y1 .2. 一般形式的柯西不等式设 a1, a2 ,an 及
14、 b1 ,b2 ,bn 为任意实数，则 (a1b1a2b2an bn )2(a12a22an2 )(b12b22bn2 ) ，当且仅当a1a2an（规定 ai0 时 bi0 ， i1,2,n ）时等号成立 .b1b2bn证法一： 当ai 全为 0 时，命题显然成立 .nai20 ，考查关于 x 的二次函数 f ( x)nbi )2，显然 f (x) 0恒成立 .否则(ai xi 1i 1nnnn注意到 f ( x)(ai2 ) x22(ai bi ) xbi2 ，而 f ( x)0 恒成立，且ai20 ，i 1i 1i 1i 1nnn故 f (x) 的判别式不大于零，即4(ai bi )24
15、ai2bi20 ，i 1i 1i 1nnn整理后得ai2bi2(ai bi ) 2 .i 1i 1i 1证法二：向量的内积证法 .令 a( a1 , a2 , an ) ， b(b1, b2 , bn ) ，为 a 与 b的夹角 .因为 a b|a |b| cos a,b，且 | cos a,b | 1，所以 | a b| | a |b| cos a,b| |a |b|a b|2 | a |2| b|2 ，即 (a1b1a2 b2anbn )2( a12a22等号成立0 或 180a,b 平行a1a2an .b1b2bn柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，许多复杂的不等
16、式，下面举例说明 .例 16.31 已知 x， y， z 均为实数(1) 若 x y z 1，求证： 3x 1 3y 2 3z3 3 3；(2) 若 x 2y 3z 6，求 x2y2 z2 的最小值2222a )( bbb ) ，n12n应用它可以简单地证明变式 1 已知大于 1 的正数 x，y，z 满足 x y z 33.求证：x2y2z2z 2x 3yx 2y 3zy 2z 3x32 .变式 2已知 a0, b 0, c0 ， a cos2bsin 2c .求证：a cos2b sin2c .例 16. 32设实数 a, b, c满足 a22b23c23，求证： 3 a9 b27 c1 .
17、2变式 1已知 nN , 且 n2 ，求证：11111112 .72342n 12n2变式 2已知正实数 a, b, c 满足 abc1，求证：1113 .a3 (b c)b3 (c a)c3 (a b)2最有效训练题 61( 限时 45 分钟 )1.不等式 | 2x1| 23x 的解集是（）A.x | x1B.x |1x3C.x | x3x | x3225D.552.设 a, b, c(,0) ，则 a1 , b1 , c1（）bcaA. 都不大于2B.都不小于2C.至少有一个不大于 2D.至少有一个不小于23.若 Paa 7 ， Qa3a4( a0) ，则 P, Q 的大小关系是（）A.P
18、 Q B.PQ C.PQ D.由 a 的取值决定4.用数学归纳法证明某不等式，左边11112n11 ，“从 nk 到nk 1 ”应将左边加上（2341n2）A.1B.11C.111k 12kD.2k 1 2k 21 2k 42k 25.f ( x)2x31x 的最大值为（）A.5 B.1213C.13D.521326. 若正数 a,b 满足 abab3 ，则ab 的取值范围是； a b 的取值范围是.7. 在实数范围内，不等式 | 2x 1| | 2x 1| 6 的解集为 .8.若存在实数 x 使 | xa| x1| 3 成立，则实数a 的取值范围是.9.已知 a 0, b 0, c0,abc . 求证
