1、应力状态与应变状态分析第 8 章典型习题解析1.试画出下图所示简支梁 A 点处的原始单元体。图 8.1解：（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A 点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。截取出的单元体如图(d) 所示。(2) 分析单元体各面上的应力:A 点偏右横截面的正应力和切应力如图 (b) 、(c) 所示，将 A 点的坐标 x、y 代入正应力和切应力公式得 A 点单元体左右侧面的应力为：MyQSz*I zI
2、 z b由切应力互等定律知 , 单元体的上下面有切应力 ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到 A 点单元体如图 (d) 。2.图 (a) 所示的单元体 , 试求（ 1）图示斜截面上的应力 ; （ 2）主方向和主应力，画出主单元体; （ 3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。解：（ 1）求斜截面上的正应力 30 和切应力 30由公式305010050 100 cos(60 ) ( 60 ) sin(60 )64.5MPa223050100 sin( 60 )( 60) cos( 60 )34.95MPa2（ 2）求主方向及主应力tan 22x120
3、0.850100238.66xy119.33270.67最大主应力在第一象限中，对应的角度为070.67，主应力的大小为150100 50100 cos(270.67 ) (60)sin(270.67 ) 121.0MPa22由12xy可解出2xy(50)100(121.0)71.0MPa1因有一个为零的主应力，因此3 71.0MPa (第三主方向 3 19.33 )画出主单元体如图 8.2(b) 。（ 3）主切应力作用面的法线方向tan 2501001.25120251.34125.672115.67主切应力为150 100 sin(51.34 ) ( 60) cos(51.34 )96.0
4、4MPa22此两截面上的正应力为125010050100 cos(51.34 )(60) sin(51.34 ) 25.0MPa225010050100 cos(231.34 )(60) sin(231.34 ) 25.0MPa22主切应力单元体如图所示。由25.0 25.0 50MPaxy12，可以验证上述结果的正确性。3.试用图形解析法，重解例 2。解：（ 1）画应力圆建立比例尺，画坐标轴、 。对图 (a) 所示单元体，在平面上画出代表x、 x 的点 A(-50,-60) 和代表y、 y 的点 B(100,60) 。连接 A、B，与水平轴交于 C点，以 C 点为圆心， CB（或 CA ）为
5、半径，作应力圆如图所示 .(2)斜截面上的应力在应力圆上自 A 点顺时针转过 60 ，到达 G点。G点在 、 坐标系内的坐标即为该斜截面上的应力，从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到 G点的水平和垂直坐标值：64.5 MPa=34.95 MPa(3)主方向、主应力及主单元体图所示应力圆图上 H 点横坐标 OH 为第一主应力，即1 OH 121.04MPaK 点的横坐标 OK 为第三主应力，即3 OK 71.04MPa由应力圆图上可以看出，由 B 点顺时针转过 2 0 为第一主方向，在单元体上则为由 y轴顺时针转 0 ，且2 0 38.66 , 0 19.33应力圆图上由 A 顺时针转到 K
6、点 ( ACK 38.66 ) ，则在单元体上由 x 轴顺时针转过 19.33 为第三主方向 , 画出主单元体仍如图 (b) 所示。（4）主切应力作用面的位置及其上的应力图所示应力圆上 N、 P 点分别表示主切应力作用面的相对方位及其上的应力。在应力圆上由 B 到 N，逆时针转过 51.34 ，单元体上 max 作用面的外法线方向为由 y轴逆时针转过 25.67 ，且maxminCB 96.04MPamax 和 min 作用面上的正应力均为25MPa,主切应力作用面的单元体仍如图(c) 所示。4. 如图所示两端封闭的薄壁筒同时承受内压强p 和外力矩 m的作用。在圆筒表面 a 点用应变仪测出与
7、x 轴分别成正负 45 方向两个微小线段ab 和 ac 的的应变 45 629.4 106，45 66.9 10 6，试求压强 P 和外力矩 m。已知薄壁筒的平均直径d 200mm，厚度 t 10mm，E 200GPa，泊松比0.25 。解：（ 1） a 点为平面应力状态 , 在 a 点取出如图 (c) 所示的原始单元体，其上应力：xpd ,ypd ,x2m4t2td 2t（2）求图 8.4(c)斜单元体 efgh 各面上的正应力：xy452xxy452x3 pd2m8td 2t3pd2m8td 2t（3）利用胡克定律，列出应变 45 、 45 表达式145E45451454545E将给定数据
8、代入上式13 pd12m1E8td 2t13pd1- 2m1E8td2 t629.4 1066.9 10613p2002m1061.2520010380.7520021010611033p200 0.752m1061.25200810200210得内压强和外力矩p 10MPa， m 35kNm5. 直径 d=20mm 、L=2m 的 圆截面杆 , 受力如图。试绘杆件中 A 点和 B 点的单元体受力图 ,算出单元体上的应力的数值 , 并确定这些点是否为危险点。（ d）(a) （ b） （ c）解： 以下图为图各单元体受力图：A 点A点(b )( a )A点 B点( c)A点B 点( d )应力计
9、算 :图（ a）的 A 点 :N63.69MPaA8050.96MP a图（ b）的 A 点 :d 316图（ c）的 A 点 :N127.38MPaAB点 :N8050.96MP a127.38MPAad3,16图（ d）中 A 点 ( 压应力 ):M120 10325.48MPaWz3)33.14 (20 1032B 点 :QS*z4Q0.17MP aI z b3A(b ）中的 A 为危险点，（ c）中的 A、 B 为危险点，（ d）中的 A ，B 点均为危险点 , 相比之下 A 点的应力较大。6.已知应力状态如图所示 ( 应力单位 :MPa) 。试用图解法求 :(1)(a) 、 (b)
10、中指定斜截面上的应力 ; 并用解析法校核之 ;(2) (c) 、 (d) 、 (e) 上主应力的大小与方向 , 在单元体上画出主平面的位置 , 求最大切应力。(a)30 0 斜截面单元本 ;(b)45 0 斜截面单元体 ;(c) 纯切应力单元体 ;(d) 压拉切单元体(e)拉压切单元体。解：(a) 按比例画出应力圆如下图 , 可得 =300 的斜截面的正应力和切应力为 E 点的坐标为30 45MP a 30 8.5MP a解析法校核：xyxy cos2x sin2305050 30 cos60 45MPa2222xysin 2x cos250 3035 38.5MPa222(b)用比例画出应力
11、圆 ,E 点的坐标为45 5MP a 45 25MP aE2 XO CY解析法校核：yxyxy cos 2x sin 25050 cos 90 20sin 90 5MPa2222xysin 2x cos 250 sin 9025MP a22(c ）应力圆如下图 , 与 轴的交点即为主应力的对应点， 从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为：1 OA 1 50MPa , 2 0, 3 OA 2 50MPa主平面的方位可由应力圆上量得 , 因2 D1OA1 90最大主应力作用面与 x 平面之夹角为 ( 从 D1 到 A1 是顺时针转的 ):45最大切力；1350MPamax2(d ）应力圆与 轴的交点即为主应力得应点，从应力图上可按比例直接量得两个主应力之值分别为：12OAOA170MP a2 30MP a , 3 0最大主应力作用面与 x 平面之夹角为 ( 可由应力圆上得 ):2 FCA 1 90 45最大切力 max CF 20MPa(e ）应力圆与 轴的交点即为主应力的对应点， 从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为1 OA1 44.7MPa 3 OA 2 44.7MPa主平面的方位，可由应力圆上量得：2 26.5 13.2（对应于主应力 1 所在主平面）最大切力 max 40MPa
