1、高中物理带电子在磁场中的运动知识点汇总难点之九：带电粒子在磁场中的运动一、难点突破策略（一） 明确带电粒子在磁场中的受力特点1.产生洛伦兹力的条件：1电荷对磁场有相对运动.磁场对与其相对静止的电荷不会产生洛伦兹力作用.2电荷的运动速度方向与磁场方向不平行.2.洛伦兹力大小：当电荷运动方向与磁场方向平行时，洛伦兹力f=0；当电荷运动方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力最人，f=quB：当电荷运动方向与磁场方向有夹角0时，洛伦兹力f= qvB sm 03.洛伦兹力的方向：洛伦兹力方向用左手定则判断4.洛伦兹力不做功.（二） 明确带电粒子在匀强磁场中的运动规律带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下：1.若带电
2、粒子沿磁场方向射入磁场，即粒子速度方向与磁场方向平行，0=0或180。时，带电粒子粒子在磁场中以速度 u做匀速直线运动.2.若带电粒子的速度方向与匀强磁场方向垂直，即6 = 90。时，带电粒子在匀强磁场中以入射速度u做匀速圆周运动.V2qvB = m 1向心力由洛伦兹力提供： RR =2轨道半径公式： qB_ 2kR _ 27rm m3周期： V qB ,可见T只与q有关，与V、R无关。（三） 充分运用数学知识（尤其是几何中的圆知识，切线、弦、相交、相切、磁场的圆、轨迹的圆）构建粒子运动的 物理学模型，归纳带电粒子在磁场中的题目类型，总结得出求解此类问题的一般方法与规律。1“带电粒子在匀强磁场
3、中的圆周运动”的基本型问题（1）定圆心、定半径、定转过的圆心角是解决这类问题的前提。确定半径和给定的几何量之间的关系是解题的基础，t = TIt = T有时需要建立运动时间t和转过的圆心角a之间的关系（36 2兀）作为辅助。圆心的确定，通常有以下两种方法。1已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆 弧轨道的圆心（如图9-1中P为入射点，M为出射点）。2已知入射方向和出射点的位置，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂 线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图9-2,P为入射点，M为出射点）。（2）半径的确定和
4、计算：利用平面几何关系，求出该圆的可能半径或圆心角。并注意以卞两个重要的特点:粒子速度的偏向角等于回旋角a ,并等于AB弦与切线的夹角（弦切角0 ）的2倍，如图9-3所示。即:cp=ct =20 = coto相对的弦切角0相等，与相邻的弦切角0/互补，即0 + 0 /=180Oo（3）运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为T,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为a时，其运动时间可由下式表示t = T 或t = ?T360 2兀注意：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动具有对称性。1带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向、 出射速度方向与边
5、界的夹角相等；2在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。应用对称性可以快速地确定运动的轨迹。例1：如图94所示，在y小于0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B 一带正电的粒子以速度从O点射入磁场，入射速度方向为xy平面内，与x轴正向的夹角为0,若粒子射出磁场的位置 与O点的距离为L,求该粒子电量与质量之比。【审题】本题为一侧有边界的匀强磁场，粒子从一侧射入，一定从边界射出，只要根据对称规律画出轨迹，并 应用弦切角等于回旋角的一半，构建直角三角形即可求解。【解析】根据带电粒子在有界磁场的对称性作出轨迹，如图9-5所示，找出圆心A,向x轴作垂线，垂足为
6、H由与几 何关系得：带电粒子在磁场中作圆周运动，由解得 联立解得【总结】在应用一些特殊规律解题时，一定要明确规律适用的条件，准确地画出轨迹是关键。例2：电视机的显像管中，电子（质量为m,带电量为e）束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的加 速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图9-6所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O,半径为1。当不加磁场 时，电子束将通过O点打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘P,需要加磁场，使电子束偏转一已知角度 0,此时磁场的磁感强度B应为多少？【审题】本题给定的磁场区域为圆形，粒子入射方向已知，则由对称性，出射方向一定沿径向，而粒子出磁场后作匀
7、 速直线运动，相当于知道了出射方向，作入射方向和出射方向的垂线即可确定圆心，构建出与磁场区域半径和轨迹 半径R有关的直角三角形即可求解。【解析】如图97所示，电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点a、b分别为进入和射出的点。做a、b点速度的 垂线，交点O1即为轨迹圆的圆心。nw2设电子进入磁场时的速度为v，对电子在电场中的运动过程有:evB = m 对电子在磁场中的运动（设轨道半径为R）有： R0 1- tail-= 由图可知，偏转角0与R的关系为： 2 R门 1 2mU 0B = - J tail 联立以上三式解得： e 2【总结】本题为基本的带电粒子在磁场中的运动，题目中已知入射方向，出
8、射方向要由粒子射出磁场后做匀速直线运 动打到P点判断出，然后根据第一种确定圆心的方法即可求解。2.“带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的范围型问题例3：如图9-8所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质屋m带电-q的粒子以与CD成0角的 速度V0垂直射入磁场中。要使粒子必能从EF射出，则初速度V0应满足什么条件？ EF上有粒子射出的区域？【审题】如图9-9所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越人，轨道半径越 大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率人于这个临界值时便从右边界射出，依此画出临界轨 迹，借助几何知识即可求解速度的临界值
9、；对于射出区域，只要找出上下边界即可。【解析】粒子从A点进入磁场后受洛伦兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从EF射出，则相应的临界轨迹必为过点A 并与EF相切的轨迹如图9-10所示，作出A、P点速度的垂线相交于O/即为该临界轨迹的圆心。D Ex X XI kiz x x xiG故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径R2R0由图知粒子不可能从P点下方向射出EF,即只能从P点上方某一区域射出；又由于粒子从点A进入磁场后受洛仑兹力必使其向右卞方偏转，故粒子不可能从AG直线上方射出；由此可见EF中 有粒子射出的区域为PG,且由图知:【总结】带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而
10、变化，因此可以将半径放缩，运 用“放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解；对于范闱型问题，求解时关键寻找引起范围的“临界轨迹”及“临 界半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R0的大小关系确定范围。例4：如图9-11所示S为电子射线源能在图示纸面上和360”范围内向各个方向发射速率相等的质量为m、带电-e的 电子，MN是一块足够大的竖直扌当板且与S的水平距离OS=L,挡板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场；1若电子的发射速率为VO,要使电子一定能经过点O,则磁场的磁感应强度E的条件？2若磁场的磁感应强度为E,要使S发射出的电子能到达档板，则电子的发射速率多人?2eBL3,则档板上出现电子的
11、范围多人?若磁场的磁感应强度为E,从S发射出的电子的速度为 m【审题】电子从点S发出后必受到洛仑兹力作用而在纸面上作匀速圆周运动，由于电子从点S射出的方向不同将使其 受洛仑兹力方向不同，导致电子的轨迹不同，分析知只有从点S向与SO成锐角且位于SO上方发射出的电子才可能经 过点O:由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹构成绕S点旋转的一动态圆，动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这 样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图9-12所示，最低点为动态圆与MN相切时的交点，最高点为动态圆与 MN相割，且SP2为直径时P为最高点。【解析】要使电子一定能经过点O,即SO为圆周的一条弦，Rt 壘壬 沁则电
12、子圆周运动的轨道半径必满足 2 ,由eB 2 得： eL2迪 R* = 2L3当从S发出的电子的速度为 m 时，电子在磁场中的运动轨迹半径 qB作出图示的二临界轨迹蹈，昭，故电子击中档板的范|韦|在P1P2间; 对 SP1 弧由图知 OP1= J（2L）2-I? = y/3L对 SP2 弧由图知 OP2 = J（4L）2-I? = V15L【总结】本题利用了动态园法寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R0,然后利用粒子运动的实际轨道半径R 与R0的大小关系确定范围。3.“带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的极值型问题寻找产生极值的条件：直径是圆的最大弦；同一圆中人弦对应大的圆心角；由轨迹确定半
13、径的极值。例5：图9-13中半径r=10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y 切:磁场B = 0. 33T垂直于纸面向内，在O处有一放射源S可沿纸面 均为v=32X106m/s的a粒子：己知a粒子质量为m=6.6X 10-27kg,电量 粒子通过磁场空间的最人偏转角0及在磁场中运动的最长时间t各多图 9-13【审题】本题a粒子速率一定，所以在磁场中圆周运动半径一定，由磁场的方向不同故其相应的轨迹与出场位置均不同，则粒子通过磁场的速度偏向角0不同，要使Q粒子在运动中通过 磁场区域的偏转角0最人，则必使粒子在磁场中运动经过的弦长最人，因而圆形磁场区域的直径即为粒子在磁场中运 动所经过的最大弦，依
14、此作出Q粒子的运动轨迹进行求解。4. “带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的多解型问题 抓住多解的产生原因：（1） 带电粒子电性不确定形成多解。（2） 磁场方向不确定形成多解。（3） 临界状态不唯一形成多解。（4） 运动的重复性形成多解。例7：如图9J5所示，第一象限范闱内有垂直于xoy平面的匀强磁场，磁感应强度为质量为m,电量人小为q的 带电粒子在xoy平面里经原点O射入磁场中，初速度v0与x轴夹角0 =60o,试分析计算：（1） 带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？（2） 带电粒子在磁场中运动时间多长？【审题】若带电粒子带负电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O1,粒
15、子向x轴偏转，并从A点离开磁场。若带电 粒子带正电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为02,粒子向y轴偏转，并从E点离开磁场。粒子速率一定，所以不 论粒子带何种电荷，其运动轨道半径一定。只要确定粒子的运动轨迹，即可求解。R 二竺 _ _Q_【解析】粒子运动半径： Bq o如图9-16,有0= 2= R = OyA = O2B2曲_ 2呦1 带电粒子沿半径为R的圆运动一周所用的时间为 儿 甌 (1)若粒子带负电，它将从x轴上A点离开磁场，运动方向发生的偏转角勺=12A点与O点相距若粒子带正电，它将从y轴上E点离开磁场，运动方向发生的偏转角= 60B点与O点相距 跖(2)若粒子带负电，它从O到A所用
16、的时间为【总结】受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度卞，正负粒子在磁场中 运动轨迹不同，导致形成双解。3qB例8： 一质量为m,电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周 运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速 度可能是(4应A.称【审题】依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面S磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相 反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛仑兹力的方向也是相反的。因此分两种情况应用牛顿第二定律 进行求解。【解析】当负电
17、荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知V2ABav = mRv 43qQJ = 此种情况下，负电荷运动的角速度为 R m2B(v = m v当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时，有 虑，得vQJ = 此种情况下，负电荷运动的角速度为R m应选A、Co【总结】本题中只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向 不确定而形成双解。例9：如图917甲所示，A、E为一对平行板，板长为L,两板距离为d,板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度人 小为E,方向垂直纸面向里，一个质量为m,带电量为+q的带电粒子以初速巾，从A、E两板的中间，沿垂直于磁
18、感 线的方向射入磁场。求巾在什么范【韦I内，粒子能从磁场内射出？【审题】粒子射入磁场后受到洛仑兹力的作用，将做匀速圆周运动，圆周运动的圆心在入射点的正上方。要想使粒子当粒子从右边射出时，若运动轨迹半径最小，则其圆心为图中02点，半径为尸J由几何关系可得： 【总结】本题只问带电粒子在洛伦兹力作用卞飞出有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了， 也可能转过180。从入射界面这边反向飞出，于是形成多解，在解题时一定要考虑周全。例10：如图9-18所示，在x轴上方有一匀强电场，场强为E,方向竖直向下。在x轴卞方有一匀强磁场，磁感应强度 为E,方向垂直纸面向里。在x轴上有一点P,离原点
19、的距离为a。现有一带电量+q的粒子，质量为m,从y轴上某点 由静止开始释放，要使粒子能经过P点，其初始坐标应满足什么条件？（重力作用忽略不计）I&图 9-18【审题】根据带电粒子在电场中的加速运动和带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动知识，要使带电粒子能通过P 点，由于粒子在磁场中偏转到达P点时可能经过的半圆个数不确定，导致多解。【解析】（1）粒子从y轴上由静止释放，在电场加速下进入磁场做半径为R的匀速圆周运动。由于粒子可能偏转一个、 二个半圆到达P点， 故 = 2曲（七=1 ? 2） 设释放处距O的距离为yl,则有:Bav= mR由、式有2)【总结】带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时
20、，运动往往具有重复性，因而形成多解。5.带电粒子在几种“有界磁场”中的运动（1）带电粒子在坏状磁场中的运动例11：核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动 内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。 匀强磁场闱成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不 而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为Rl=0.5m,外半径R2=1.0m,E=1OT,若彼束缚带电粒子的荷质比为q/m=4xlO C/kg,中空区域内带的离子约束在小范闱 如图9-19所示，环状 会穿出磁场的外边缘 磁场的磁感强度电粒子具有各个方向图 9-19的速度。试计算：（1）粒子沿坏
21、状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最人速度。（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。【审题】本题也属于极值类问题，寻求“临界轨迹”是解题的关键。要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁 场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切；要使所有粒子都不穿越磁场，应保证沿内圆切线方向射出的粒子不穿越磁 场，即运动轨迹与内、外圆均相切。【解析】（1）轨迹如图920所示由图中知斥+Rj=g -叭解得八=0375 mBqVk = m匕=冬5_ = i 5xlOS/s由 得 加所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最人速度为= 1.5x107/h/5图 9-20（2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射
22、入磁场且轨道与外圆相切时,则以VI速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图9-21所示。由图中知=0.25/wBq=m丄 匕=1 = 1.0x1077?/5 由 乙得-加所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度= 10x10 ,Z7/5图 9-21【总结】带电粒子在有界磁场中运动时，运动轨迹和磁场边界“相切”往 解题起到关键性作用。（2）带电粒子在有“圆孔”的磁场中运动往是临界状态，对于例12：如图9-22所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地, 于轴线的四条狭缝a、b、c和d,外筒的外半径为r,在圆筒之外 行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的人小为B。在两极间加上 的区域内有沿半径向
23、外的电场。一质量为m、带电量为+ q的粒 对狭缝a的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运 发点S,则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装图22X其上均匀分布着平行 的足够人区域中有平X电压，使两圆筒之间 子，从紧靠内筒且正X动之后恰好又回到出X置在真空中）图 9-25【审题】带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下 做匀速圆周运动。粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d.只要穿过了 d,粒子就会在电场力作用下先减速，再 反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b,再回到S点。【解析】如图923所示，设粒
24、子进入磁场区的速度大小为V,根据动能定理，有 qU = -mV22设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，3由上面分析可知，要回到S点，粒子从a到d必经过n圆周，所以半径 半径即R=i由以上各式解得:B2qr2 m【总结】根据题意及带电粒子匀速圆周运动的特点，画出粒子的运动轨迹是解决此类问题的关键所在。（3）带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动例13：如图924所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁 场强人小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场 E,方向垂直纸面向外。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正 边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域
25、进入右侧磁场区域 后重复上述运动过程。求：（1） 中间磁场区域的宽度d;（2） 带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t.【审题】带电粒子在电场中经过电场加速，进入中间区域磁场， 做匀速圆周运动，又进入右侧磁场区域做圆周运动，根据题意， 所以粒子圆周运动的轨迹具有对称性，如图9-25画出粒子运动轨【解析】（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得： qEL=-mV22带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得：V2BqV = m R由以上两式，可得 叭q 可见在两磁场区粒子运动半径相同，三段圆弧的圆心组成的三角形厶010203是等边三角形，其边长为2R。所以中间 磁场区域的宽度为d = Asin 60 =（2）在电场中r2在中间磁场中运动时间.T 27U11L = 6 3qB在右侧磁场中运动时间 6 网,则粒子第一次回到O点的所用时间为丽【总结】带电粒子从某一点出发，最终又回到该点，这样的运动轨迹往往具有对称性，由此画出运动的人概轨迹是解 题的突破点。选校网 高考频道专业人全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库（按ctil点击打开）
