1、几何画板课件制作实例教程解析几何篇几何画板课件制作实例教程（5）中学数学解析几何解析几何一直都是学生学习的难点，而现在用几何画板展示直线、圆、圆锥曲线非常方便；用几何画板可以演示曲线关于某点某线的对称图形，让我们一目了然；也可以用几何画板演示我们不很清楚的习题，使我们对某一类型的题有了深刻的认识和印象，提高学习效率，并为利用代数方法的计算提供了一个动画思维的过程。实例51 直线的斜率 实例52 两直线垂直 实例53 网页探究型课件 实例54 椭圆（双曲线）的第二定义 实例55 椭圆长、短轴变化（一） 实例56 椭圆长、短轴变化（二） 实例57 椭圆工具（已知顶点和任意一点） 实例58 发掘课本
2、习题的作用 实例59 半椭圆 实例60 双曲线的第一定义 实例61 双曲线的切线 实例62 抛物线的切线 实例63 抛物线的焦点弦 实例64 圆锥曲线的统一形式实例65 与定线段成定张角的点的轨迹 实例65 与定线段成定张角的点的轨迹 实例65 与定线段成定张角的点的轨迹 实例66 到定点的距离与定直线的距离的比值等于定值的点的轨迹 实例67 与两定点的距离的比值等于定值的点的轨迹 实例68 与两定点连线的斜率之积等于定值的点的轨迹 实例69 与两定直线的距离之积等于定值的点的轨迹 实例70 心形曲线的构造实例51 直线的斜率【课件效果】直线的倾斜程度由倾斜角和斜率确定。本实例效果图，如图2-
3、169a表示单击【旋转】按钮后的状态，直线CE将从x轴开始旋转到与直线CD重合，同时出现倾斜角和斜率，如图2-169b所示。拖动点D，可以改变直线CD的倾斜度，拖动点C，可以将直线CD平移。a b图2-169 课件效果图【构造分析】1技术要点利用圆上的弧标记角【移动】按钮的使用2思想分析本例构造的的目的用于理解直线倾斜角的范围及斜率的含义。对于与x轴相交的直线，可以通过移动交点将直线进行平移，为此构造了一个辅助圆。选择【显示】|【显示所有隐藏】命令，显示出整个课件的制作过程，如图2-170所示；对于与x轴平行的直线，读者可以自行构造。图2-170 显示所有对象【制作步骤】1构造两直线。（1）选
4、择【图表】|【定义坐标系】命令，构造坐标系，选择【图表】|【隐藏网格】命令，隐藏网格。（2）单击【线段工具】，在画板适当位置做出线段AB，单击【点工具】，在x轴上做点C，选择线段AB和点C，选择【构造】|【以圆心和半径画圆】命令，做出圆C。（3）单击【直线工具】，依次单击点C和圆上的任意点D，做出直线CD；同样做出直线CE。（4）单击【点工具】，在圆和x轴的交点处单击，做出圆C和x轴的交点F，效果如图2-171所示。 图2-171 直线效果图2构造倾斜角标记和移动按钮（1）依次选择点F、点E和圆C，选择【构造】|【圆上的弧】命令，做出弧FE，并将圆隐藏。（2）选中弧FE，选择【度量】|【弧度角
5、】命令，度量出弧FE的度数；右击度量值，打开快捷菜单，选择【属性】命令，打开【属性】对话框，在【标签】框中输入“a”。（3）选择【显示】|【显示文本工具栏】命令，显示出文本工具栏，按下“Shift”键，然后选中度量值，在【文本工具栏】将字体更改为“Symbol”，观察度量值的标签将变为“”，效果如图2-172所示。图2-172 角度标记（4）依次选中点E、F，选择【编辑】|【操作类按钮】|【移动】命令，打开【操作类按钮 从EF移动的属性】对话框，在【标签】输入框中输入“还原”，单击【确定】按钮，做出【还原】按钮。（5）依次选中点E、D，选择【编辑】|【操作类按钮】|【移动】命令，打开【操作类按
6、钮 从ED移动的属性】对话框，在【标签】输入框中输入“旋转”，在【速度】选择框中选择【慢速】，单击【确定】按钮，做出【旋转】按钮。（6）选择【度量】|【计算】命令，打开【新建计算】对话框，在【函数】下拉列表中选择函数“tan”，在画板中单击度量值，单击【确定】按钮，做出计算值tan（）。（7）将直线CE和弧FE蓝色显示。效果如图2-173所示。图2-173 移动按钮和斜率（8）隐藏点F，单击【还原】按钮，将课件调整到开始状态，如图1a所示。【课件总结】1. 本例在使用过程中，注意点D不能移动到x轴下方，否则角度标记将会出错。2. 本实例也可以通过构造任意位置的一条直线CD，只要使点C和点D都不
7、在x轴上，那么可以拖动这两点，用于演示直线与x轴平行的情形。实例52 两直线垂直【课件效果】本实例构造了两直线垂直时其倾斜角的变化，如图2-174所示，拖动点C，可以将图形平移，拖动点E，可以使直线l1的倾斜角在0到90之间变化，拖动点F，可以平移直线l2。 图2-174 课件效果图【构造分析】1技术要点利用圆上的弧标记角圆上弧的构造2思想分析为能演示直线的倾斜角在0到90之间变化，在构造直线时将点构造在一段90的圆弧上，通过弧上点E的运动，达到改变直线倾斜角的目的。在许多实例中，我们需要显示一些数学符号，在【文本工具栏】中可以进行输入，另一种方法就是使用标签，只要将标签的字体改为“Symbo
8、l”即可，其中每个英文字母对应一个希腊字母，读者可以自己进行尝试探索。【制作步骤】1. 构造两直线（1）选择【图表】|【定义坐标系】命令，构造坐标系，选择【图表】|【隐藏网格】命令，隐藏网格。（2）单击【线段工具】，在画板适当位置做出线段AB，单击【点工具】，在画板适当位置做点C，选择线段AB和点C，选择【构造】|【以圆心和半径画圆】命令，做出圆C。（3）选中点C和x轴，选择【构造】|【垂线】命令，做出过点C垂直于x轴的直线，单击【点工具】，在圆和垂线的交点处单击，做出圆C和垂线的交点D。（4）双击点C，选中点D，选择【变换】|【旋转】命令，打开【旋转】对话框，在【角度】框中输入“90”，单击
9、【旋转】按钮，做出点D。依次选中点D、D和圆C，选择【构造】|【圆上的弧】命令，做出弧DD，效果如图2-175所示。图2-175 构造圆弧（5）保持弧DD为被选中状态，选择【构造】|【弧上的点】命令，做出点E；选中弧DD、圆C、垂线、点D、点D，选择【显示】|【隐藏对象】命令，将对象隐藏。（6）单击【直线工具】，依次单击点C和点E，做出直线CE；单击【点工具】，在直线CE上单击，做出直线上任意点F。（7）选中点F和直线CE，选择【构造】|【垂线】命令，做出过点F垂直于CE的直线；在直线CE上右击，选择【属性】命令，打开【直线3的属性】对话框，在【标签】框中输入“l1”，单击【确定】按钮，将直线
10、CE的标签更改为，同样将另一条直线的标签更改为；选中两条直线，选择【显示】|【显示标签】命令，显示出直线的标签，效果如图2-176所示。图2-176直线l1和l22. 标记倾斜角（1）单击【箭头选择工具】，在直线与x轴的交点处单击，做出他们的交点G，同样做出直线与x轴的交点H。（2）选中点G、H和线段AB，选择【构造】|【以圆心和半径绘圆】命令，做出圆G和圆H。（3）单击【箭头选择工具】，在圆G和x轴的交点处单击，做出圆G与x轴的交点I；同样做出圆H与x轴的交点J，圆G与直线、圆H与直线的交点K、L，效果如图2-177所示。图2-177 做出交点（4）依次选中圆G、点I、点K，选择【构造】|【
11、圆上的弧】命令，做出弧IK；依次选择圆H、点J、点L，同样做出弧JL。说明：依次选择圆上两点和圆，可以按逆时针方向构造出以这两点为端点的圆弧，所做的弧是优弧还是劣弧由点的选择顺序决定。（5）选中弧IK，右击，在快捷菜单中选择【属性】命令，打开【弧2属性】对话框，在【标签】框中输入“a1”，并勾选复选框【显示标签】；同样将弧JL的标签更改为“a2”，选中两段弧，选择【显示】|【显示文本工具栏】命令，打开【文本工具栏】，将字体更改为“Symbol”。说明：字体“Symbol”可以将英文字母根据需要用希腊字母表示。（6）隐藏圆G、圆H、点I、J、K、L，并将弧JL和弧IK蓝色显示，效果如图2-174
12、所示。【课件总结】1. 本例在使用过程中，可以通过计算两个倾斜角的差来比较其关系，也可以计算出两个倾斜角的正切，由学生观察出他们正切值的联系，再论证。2. 字体“Symbol”的灵活使用，可以为自己的课件增色不少，读者可以在画板中输入26个英文字母，然后将字体设置为“Symbol”，对比观察一下其中的对应关系，读者也可以自行用类似的方法研究其他字体的作用。3. 圆上的弧具有方向，构造弧时，弧的形状与选择点的顺序有关。相关内容可去查看。实例53网页探究型课件【课件效果】网络和信息技术在教育领域的运用是导致教育领域彻底变革的决定性因素，它必将导致教学内容、手段、方法、模式甚至教学思想、观念的根本变
13、革。中学数学教学中几何画板为探究性学习提供了研究、探索、实践的辅助工具。但是它也有不足之处，能否在没有画板程序的支持在网页上运行画板课件呢？能。如图2-178所示，定长线段HF两端点在圆上滑动，任取平面上一点J，三角形HJF外心K的轨迹就是图中蓝色曲线。在网页上拖动各个自由点时，出现圆锥曲线的各种形式，这是一个典型的网页探究型课件。.图2-178 课件效果图【构造分析】1技术要点网页型课件的制作网页型课件的发布2思想分析因为圆上定长的线段对应固定的圆心角，只要用一个圆上一个F以圆心为旋转中心旋转固定的角度得到点H，这时线段HF为定长。当圆心角转动时定长线段HF跟着转动。这样以一个点F在圆上的运
14、动就实现定长线段在圆上滑动。另外三角形外心是三角形各边垂直平分线的交点，外心很容易作出。让我们一步一步来吧！【制作步骤】1构建探究图形（1）单击【点工具】，在平面上绘制A、B、C三点，构造线段AB、BC。依次选中点A、B、C，选择【度量】|【角度】命令，度量大小。选中度量值，选择【变换】|【标记角度】命令，将设为标记角度。（2）单击【圆规工具】，在平面上绘制圆D。选中圆D，构造圆上的点F。（3）单击【选择箭头工具】，双击点D，将点D设为旋转中心。（4）选中点F，选择【变换】|【旋转】命令，打开【旋转】对话框，保持默认设置，单击【旋转】按钮，得到点F。（5）单击【点工具】，在平面上绘制点G。构造
15、线段FG、FG。并分别构造线段FG和FG的中点H、I。（6）同时选中点H和线段FG，选择【构造】|【垂线】命令，构造线段FG的垂直平分线j，参照同样的方法，过点I构造线段FG垂直平分线k。构造两条垂直平分线的交点J，如图2-179所示。图2-179 构造交点J（7）同时选中点F和点J，选择【构造】|【轨迹】命令，构造点J轨迹。2保存为网页文件（1）选择【文件】|【另存为】命令，打开【另存为】对话框，定位到要存放文件的目录，在【保存类型】中选择“HTML/Java 几何画板文档 *.htm”选项，输入文件名，如图2-180所示，单击【保存】按钮，将画板文件保存为网页文件。图2-180 保存文件（
16、2）返回Windows的资源管理器，定位到几何画板的安装文件夹，将jsp文件夹复制到刚才保存几何画板文件的目录中。说明：动态网页其实由一套 Java 类文件实现的，这些类文件位于你的网页服务器上的JSP目录中。网页连接到这个目录时，系统自动调用java Applet程序，这时候用户的浏览器查找和下载必要的Java文件来使得你能浏览动态网页。值得一提的是：java Applet基址随着含有Java小程序的URL变化而变化。更重要的是您作的网页和JSP文件夹必须在同一目录下。尤其是远端服务器上更要注意。JSP文件夹下载地址（3）启动FTP软件，将保存几何画板文件和jsp文件夹的文件夹上传到网站空间
17、内，最终运行效果如图2-178所示。【课件总结】让学生在“做中学”是我们的理念。这个课件实例制作有两个值得研究的地方，一个就是“做中学”之前教师应该利用几何画板做些什么？笔者认为“效率”和“探究”是关键。所谓效率的提高，就要从课程整和入手、从网络和信息技术入手有效地介入教学，从根本上提高教学效率。本例把画板作成网页文件，其作用是不言而喻的。在解析几何中实现探究教学笔者认为就是要“解放”参数和改变参数，通过解放参数研究轨迹的多种情况。从几何画板技术层面上来讲，本例展现了制作网页探究型课件的全过程，介绍了画板中解放参数的技巧。只要读者认真的研究其中每一步，作出自己的网页探究课件应该不成问题，您不想
18、试一试吗？实例54 椭圆（双曲线）的第二定义【课件效果】本实例可以用于演示椭圆（或双曲线）的第二定义，如图2-181所示，点A和点C为椭圆（或双曲线）的焦点，拖动点C到圆A外部，可以使椭圆变化为双曲线。拖动点B，可以控制椭圆（或双曲线）的大小。图2-181 课件效果图【构造分析】1技术要点轨迹的构造中垂线的构造2思想分析由双曲线第二定义：到一定点（即焦点）和一定直线的距离差为常数的点的轨迹为双曲线，本实例构造了椭圆的准线，构造思想体现在构造过程中，证明过程比较繁琐，请读者自行尝试证明。【制作步骤】（1）单击【圆工具】，在画板适当位置做出过点B的圆A。（2）单击【点工具】，在圆内做出点C。（3）
19、单击【直线工具】，做出直线AD，使点D在圆A上。 （4）单击【线段工具】，做出线段CD，保持线段CD被选择状态，选择【构造】|【中点】命令，做出线段CD的中点E，选中点E和线段CD，选择【构造】|【垂线】命令，做出线段CD的中垂线j，效果如图2-182所示。图2-182 线段CD的中垂线（5）单击【箭头工具】，在直线CD和j的交点处单击，做出直线CD和直线j的交点F。（6）选中点F和点D，选择【构造】|【轨迹】命令，做出椭圆轨迹，如图3所示。图2-183 椭圆2.构造准线（1）单击【箭头工具】，在直线AD和圆A的交点处单击，做出直线AD和圆A的交点G，单击【线段工具】，做出线段GC。（2）选中
20、线段GC，选择【构造】|【中点】命令，做出线段GC的中点H。（3）选中线段GC和点H，选择【构造】|【垂线】命令，做出线段GC的中垂线k，如图2-184所示。图2-184 线段GC的中垂线（4）单击【箭头工具】，在直线j和直线k的交点处做出直线j和直线k的交点I。（5）单击【直线工具】，做出直线AC，选中点I和直线AC，选择【构造】|【垂线】命令，做出过点I且与直线AC垂直的直线l。（6）将直线l和椭圆兰色、粗线显示，效果如图2-185所示。图2-185 椭圆准线说明；直线AC和直线l分别是椭圆的长轴所在的直线和左准线，点A、点C分别是椭圆的左右焦点。（7）隐藏必要的对象，保留准线、直线AC、
21、椭圆、圆A、点A、点C，效果如图2-181所示。【课件总结】（1）右准线的构造方法类似，请读者根据需要自行构造。（2）构造过程中的两条线段GC和DC的中垂线k、l同时也是椭圆的两条切线，这也同时提供了一种构造圆锥曲线切线的构造方法，有兴趣的读者可在此基础上继续研究。实例55 椭圆长、短轴变化（一）【课件效果】椭圆是高中二次曲线教学内容的入门部分，椭圆的概念的教学涉及到长、短轴的问题。用几何画板展示椭圆的长、短轴变化，给学生一个动态的演示过程对教与学都是有很好的辅助作用的。如图2-186所示单击选中对象a（上下拖我）或对象b（上下拖我）上下拖动，则椭圆的长轴在x、y轴上交替出现。单击【运动点】按
22、钮，则P点在椭圆上来回运动，虽然其坐标值x、y不断变化，但其运算式子始终等于1。实例符合教学内容、效果的要求，实现了辅助教学的目的。图2-186 课件效果图【构造分析】1技术要点坐标轴上以原点为中心、以单位点来【缩放】构造点的方法椭圆的参数方程构造法（几何法的一种）2思想分析这是典型的椭圆的参数方程构造法，大圆半径的长度就是椭圆的半长轴的长度、小圆半径的长度就是椭圆的半短轴的长度。要让长、短轴交替变化也就是大、小圆交替变化，这就要构造控制大、小圆半径的对象，现在用比较普遍的射线上的一点的坐标值来作为大、小圆半径就实现了目的。【制作步骤】1构造长、短轴（1）新建一个画板文件，选择【文件】|【另存
23、为】命令，将这个画板文件保存为“椭圆的长短轴变化（一）.gsp”。（2）选择【图表】|【定义坐标系】命令，定义直角坐标系，分别在x轴的左半轴上作两个点，过这两点分别作和x轴垂直的射线（先作与x轴垂直的直线，在直线上取点再作射线），各在两射线上取点分别取名为a（上下拖我）、b（上下拖我），隐藏两射线再作与x轴垂直的两线段如图2-187所示。图2-187构造长、短轴效果图2【缩放】作出x、y轴上关键点（1）分别度量a（上下拖我）、b（上下拖我）两点的纵坐标且命名为a、b。这个数量值就是要作的椭圆的半长、短轴的长。（2）单击选中度量值a，选择【变换】|【标记比值】命令，标出缩放比。双击坐标原点O（此
24、时它闪烁一下）标记它为中心，单击选中x轴上单位点，选择【变换】|【缩放】命令，打开如图2-188所示的对话框，单击【缩放】按钮，则在x轴上构造1点A2。参照上面的方法以度量值b为缩放比，让y轴上的单位点以原点为中心【缩放】出y轴上的点B1。图2-188【缩放】对话框说明：在作点A2和点B1时也可以采用其它的方法，比如新建一个值为零的参数以其作为纵、横坐标，利用菜单【图表】|【绘制（x 、 y）】命令来作出，但都没有采用【缩放】来得简便，几何画板在构造时力求涉及对象和计算越少越好。3构造椭圆（1）依次选中原点O、点A2，选择【构造】|【以圆心和圆周上的点绘圆】命令，构造一个大圆；再依次选中原点O
25、、点B1，选择【构造】|【以圆心和圆周上的点绘圆】命令，构造另一个小圆。分别把这两圆和x、y轴的另两个交点单击标注出来，x轴上的命名为A1、y轴上的命名为B2。（2）在大圆上任取一点A，依次选取点O、点A，选择【构造】|【射线】命令，构造出射线OA，作该射线OA与小圆的交点B（用鼠标单击两对象相交处即可）。选中点A和x轴，选择【构造】|【垂线】命令，过点A作x轴的垂线j，过点B作x轴的平行线k，两直线k、j的交点为C，如图2-199所示图2-199构造线与线、以及线与圆的交点（3）同时选中点A和点C，选择【构造】|【轨迹】命令，构造出椭圆。（4）选中椭圆，选择【构造】|【轨迹上的点】命令，在椭
26、圆上构造1点P，度量出点P的横坐标和纵坐标。选择【度量】|【计算】命令，在打开的【新建计算】对话框，构造出计算式，单击【确定】按钮，则绘图区内立即出现一计算结果。（5）选中点P，选择【编辑】|【操作类按钮】|【动画】命令，打开【操作类按钮运动点的属性】对话框，按图2-200所示设置，单击【确定】按钮，做出按钮，单击这个按钮则点P在椭圆上运动，此时它的横、纵坐标随之发生改变，但计算式的结果始终等于1。图2-200 【操作类按钮运动点的属性】对话框（6）修饰完善，最终效果如图2-186所示。说明：（1）在“3.构造椭圆（2）”当中一定要构造射线OA，不能是线段OA，要不然当大圆变成小圆时没有轨迹使
27、得操作失败。（2）这种构造采用的是上下拖动点来使椭圆的长、短轴交替变化的，这两个控制对象是分离出来的，其目的是突出椭圆的长、短轴。当然完全可以把这两点放在椭圆与x、y轴的交点上，视作者的喜好和表现意图而定。【课件总结】本课例制作简单，并不复杂，只要撑握画板的基本操作知识就可完成，反映其易用性的特点。另外这仅是一个基础或者说是一个“模块”，以此作为第一步，接下来可以在其上作进一步的扩展。请见椭圆的长、短轴变化（二）。实例56 椭圆长、短轴变化（二）【课件效果】我们已经做出了演示椭圆的长、短轴变化效果的课件，现在的问题是：在椭圆的标准方程教学中，出现焦点在x轴与焦点在y轴上的两种方程形式。要求学生
28、明确焦点落在长轴上，究竟是方程，还是方程，哪一种形式？关键看长轴在x轴还是在y轴上，长轴在x轴上方程为前一种形式，“x2下面为半长轴的平方”；长轴在y轴上方程为后一种形式，“y2下面为半长轴的平方”。学生理解起来感到缺少说服力，觉得教师硬塞给他的，知识的构建过程不明确。新编高中教材中对此相关内容的叙述学生理解困难，再考虑到后面“椭圆的准线”内容，“准线总跟长轴跑，长轴到哪、它到哪”。能不能通过几何画板动态演示这一变化规律，使学生看得清，听得明，记得牢？回答是肯定的。打开课件，出现图2-201所示画面。图2-201课件效果图【构造分析】1技术要点【缩放】作点的方法计算的度量结果【未定义】的使用方
29、法符号函数Sgn（）的使用2思想分析选择菜单【显示】|【显示所有隐藏对象】命令，显示出如图2-202所示的所有对象。图2-202 显示所有的对象可以看出其和“椭圆的长短轴变化（一）.gsp”的文件相比多了一些计算的度量结果。正是通过这些计算值来构造椭圆的焦点和准线。我们知道，椭圆的半焦距长与椭圆的半长轴长与半短轴长存在这样的关系式，（就利用这个计算值的度量结果由【缩放】作点的方法做出位于坐标轴上的焦点。这里涉及一个二次根式只有在ab时才有意义，当ab时应是无意义的，此时聪明的画板自然计算出【未定义】的值如图2中显示为【未定义】的项。显然以此作为【标记比】当出现【未定义】时比值不存在，在这个比下
30、的【缩放】点当然就不存在了。OK！这一逻辑判断正是我们求之不得的。现在就利用这个【未定义】使得椭圆的焦点在该出现时出现，不需要时就不出现！【制作步骤】1. 提取“模块”（1）新建一个画板文件，选择【文件】|【另存为】命令，将这个画板文件保存为“椭圆的长短轴变化（二）.gsp”。（2）打开“椭圆的长短轴变化（一）.gsp”，把里面的对象全部【复制】、【粘帖】到新建的“椭圆的长短轴变化（二）.gsp”画板文件的绘图区内。“模块”提取成功。2.【缩放】做出x、y轴上的焦点（1）拖动点a（上下拖我）、点b（上下拖我），使ab。分别利用【度量】|【计算】命令计算出与的两个度量结果，各自标记它们为【标记比】，以原点O为【缩放】中心、把单位点前后两次按“标记比”【缩放】来构造x轴上的两点，命名为点和点。显然这两点就为椭圆在x轴上的两焦点。 （2）拖动点a（上下拖我）、点b（上下拖我），使ab。再分别利用【度量】|【计算】命令计算出与的两个度量结果，各自标记它们为【标记比】，以原点O为中心、以y轴上的单位点来【缩放】构造y轴上的两点，也命名为点和点。显然这两点就为椭圆在y轴上的焦点。说明：在“【缩放】做出x、y轴上的焦点的（1）、（2）两步”中，有且仅有一步能实现
