1、近代概率论试题库计算证明题部分.近代概率论基础题库（计算证明题部分）一、某人写好 n 封信， 又写好 n 个信封， 然后在黑暗中随机地把n 封信放入 n 个信封中 （一个信封中只能放一封信） ，试求至少有一封信放对的概率。（10 分）一、解：若以 Ai 记第 i 封信与信封符合，则所求的事件为：A1 U A2 UL U An 。不难求得： P( Ai )(n1)!1n!，nP( Ai Aj )(n2)!1，n!n(n1)P( Ai Aj Ak )( n 3)!1，n!n(n1)(n2)LP( A1 A2 L An )1n!故P( A1 U A2 UL U An )n1n1n1( 1)n 1 1
2、1n2n(n1)3Ln!n(n 1)(n 2)111L( 1)n 1 12!3!n!二、从数字 1,2,L ,9 中（可重复地）任取 n 次，试求所取的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率。（10 分）二、解： n 个数的乘积要能被 10 整除，则这 n 个数中至少有一个是偶数，也至少有一个为 5。因取数是放回抽样，显然样本空间中有基本事件 9n 个。设A = 所取的 n 个数的乘积能被 10 整除 ，. . .B = 所取的 n 个数中至少有一个是偶数 ，C = 所取的 n 个数中至少有一个为 5 ，则B 为所取的 n 个数全为奇数，故 B 所含基本事件数为5n ；C为所取的 n 个数无5
3、C所含基本事件数为8n ；，故BC5BCn，为所取的 n 个数全为奇数且不含所含基本事件数为4，故且A BC, A BUC所以由计算公式得：P(A)1 P(A)1P(B UC) 1 P(B) P(C) P(BC)1 ( 5nnnnnnn8n4n ) 15n8n4n .999999三、一质点从平面上某点出发，等可能的向上、下、左及右方向移动，每次移动的距离为 1，求经过 2n 次移动后回到出发点的概率。 （ 10 分）三、解：若要在 2n 次移动后回到原来的出发点， 则向左移动的次数与向右移动的次数应该相等，向上移动的次数与向下移动的次数也应该相等，而总移动次数为 2n 。故所求的概率为：P(2
4、 n)!( 1 )2 nkmn (k !) 2 (m!) 24n(2n)!( 1 )2nk0 (k !) 2( nk )! 2412n (2n)!n212n(n!)2n)( n!) 2(4n4k0k !( n k)!nk 02nk. . .12n2)2n.(n4四、假定一块放射性物质在单位时间内发射出的粒子数服从参数为的泊松分布。而每个放射出的粒子被记录下来的概率均为p 。如果各粒子是否被记录相互独立，试求记录下的 粒子数的分布。（ 10 分）四、解：以事件 n, n0,1,2,L为分割用全概率公式得：对任意得非负整数k 有：Pkn0Pn Pk |nnnp( n;)b(k; n, p)epkq
5、nknknk n!k1(p)ke(q)nk(nk )!k !n k1 (p)k epk!五、证明：在独立重复的伯努利实验序列中，如果实验重复的次数服从参数为泊松分布，求成功次数和失败次数的概率分布，并证明与相互独立。（ 10 分）五、解：以事件 n,n0,1,2,L为分割用全概率公式得：对任意得非负整数k 有：PkPn Pk |nn0nnpk qn kp(n;)b(k; n, p)enkn kn!k1 ( p)k e(q)n kk !nk (nk )!1 (p) k epk !. . .同理P k 1 ( p) k e pk !进一步地，Pm,n Pmn Pm,n |mnm nm npm qn
6、(men)!nm pm e pn qn eqPm Pn.m!n!六、若1 ,L , n 是相互独立的随机变量，具有相同的分布函数F ( x) ，而n * 及 1*相当于把1 ,L , n 按大小顺序重新排列为*L*的末项和首项，求*及*的分布函12nn1数，并求 ( 1* , n* ) 的联合分布函数。 （ 10 分）六、解：首先求 n* 的分布函数：P n*x Pmax(1,L ,n )xP 1 x,L , n xP 1 xLP nxnF ( x) .再求 1* 的分布函数：因为P所以*x Pmin(1,L,n )xP 1x,L , n x1P 1x LP nx1nF ( x) .P*nnx
7、 1 1 F (x) .最后求 (1* ,n* ) 的联合分布函数：记 G( x, y) P 1*x, n*y.若 x y ，则. . .G(x, y)P1*x, n*yPn*ynF (x) .若 xy ，则G ( x, y)P1*x,n*yPn*yP x1y,Lxn yPn*yP1*x,n*ynnF ( y)F ( y) F ( x) .七、设 U 1 与 U 2 相互独立，且均服从0,1 上的均匀分布，证明：V12ln U1 cos2 U 2与 V2ln Usin 2U2相互独立且均服从标准正态分布。（ 10分）21七、证明：因为y12ln x1 cos2x2y22ln x1 sin2x2
8、则y2y21222x1 e2y1y22ln x1因此1arctg y2y2y1 tg 2x2x22y1故雅可比行列式为：x1x1y 2 y2y1y2112Je2.x2x22y1y2因为 U1与U2相互独立，故 (U 1 ,U 2 ) 的密度函数为：p(x1, x2 ) p1( x1) p2 ( x2 )1,0x1 , x21.因为 (V1 ,V2 ) 的密度函数为：1y 2 y21y21y21212e12 .q( y1, y2 )2e 2 .e222. . .因而， V1 与 V2 的边际密度函数分别为：1y 21q1( y1 )q( y1, y2 )dy2e 2 .21y22q2 ( y2
9、)q( y1 , y2 )dy1e 2 .2并且 q( y1 , y2 ) q1( y1 )q2 ( y2 ). ，因而 V1 与 V2 相互独立且均服从标准正态分布。八、（ 10 分）已知随机向量 ( 1, 2 ,L , r ) 服从多项分布，即P 1k1 , 2 k2 ,Lrkr n!p1k1 p2k2 L prkrk1 !k2 !L kr !这里 ki0 且仅当 k1k2Lkr n 时上式才成立，否则为 0.求随机向量 ( 1 , 2 ,L , r ) 的各个分量之间的协方差和相关系数。八、解：显然i B(n, pi ), i1,2,L,r ，因此 E inpi , D inpi (1p
10、i)注意到ij B( n, pipj), 因此E (ij)n( pip j), D(ij )n( pi pj )(1pip j)由于D (ij)D iDj2cov( i,j )npi (1pi) np j (1pj ) 2cov( i , j )因而有cov( i , j )npi p j相关系数为：rijcov(i ,j )pi pjpi pj。pip j (1pi )(1p j )(1pi )(1pj)九、袋中有 N 张卡片，各记以数字Y1, Y2 ,L ,YN ，不放回地从中抽出n 张，求其和的数学期望和方差。（ 10 分）. . .九、解：取一张时，其数字的均值及方差分别为Y1N及21
11、 NY )2Yi(YiN i 1N i 1若以n记 n 张卡片的数字之和，以i , i1,2,L, n 记第 i 次抽得的卡片上的数字，则n12Ln由于抽签与顺序无关，因此PiY 1, l1,2,L , N , i1,2,L,nlN故EiY , Di2 .所以E nE 1E 2L E nnYn2DnD i 2cov(i , j )nn(n1)cov(i ,j ) 在上式中令i 11 i jnn N ，因为NY1 LYN 是一个常数，因此DN0 ，于是N2N ( N1) cov(1, 2)0因而cov( 1 , 2 )于是2N 1D nn 2 n(n 1) 2n( N n)2。N 1N 1十、掷
12、 5 颗骰子，求所得总和为 15 的概率。（提示：利用母函数） （ 10 分）十 1、解：以i 表示第 i 颗骰子掷出的点数，则总和为：1 Ln . . .因 i 服从 1 到 6 上的等可能分布，故其母函数均为P(s)1 (s s2s3s4s5s6 ).6又因为i 相互独立，故其和的母函数为： P( s)5 。于是，所求的概率恰为 P( s)5 的幂级数展开式中s15 前面的系数。由于55(16 P( s)15s5 (1s Ls5 )5s5s)5661s55s5(15s610s12Ls30 )( s) k6k0ks5(16L )k4k55sks6k 0因此P15111458651。51046
13、56十 2、（10 分）掷 5 颗骰子，求所得总和为 16 的概率。（提示：利用母函数）解：以i 表示第 i 颗骰子掷出的点数，则总和为：1L5.。 2 分因 i 服从 1 到 6 上的等可能分布，故其母函数均为P(s)1(s s2s3s4s5s6 ).。 1 分6又因为i 相互独立，故其和的母函数为： P( s) 5 。 2 分于是，所求的概率恰为 P(s) 5 的幂级数展开式中s16 前面的系数。 1 分由于15s5s L55s51 s65 P(s)5 (1s )5()661 s. . .55s5(15s610s12Ls30 )s) k。 2 分k 0k(6s5(16L )k 4sk。 1 分55sk6k0因此 P16111559.。 1 分11565
