1、各种圆定理总结包括托勒密定理塞瓦定理西姆松定理梅涅劳斯定理圆幂定理和四点共圆托勒密定理定理图定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角 线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的 面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一 系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷 (Hipparchus)之手，托勒密只 是从他的书中摘出。证明一、(以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。)在任意四边形 ABCD
2、 中，作 ABE 使 BAE= CAD ABE= ACD 因为 ABEACD所以 BE/CD=AB/AC, 即 BEAC=ABCD (1)而 BAC= DAE， ACB= ADE所以 ABCAED 相似.BC/ED=AC/AD 即 EDAC=BCAD (2)(1)+(2), 得AC(BE+ED)=ABCD+ADBC又因为 BE+EDBD(仅在四边形 ABCD 是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”)所以命题得证复数证明用 a、 b、c、d 分别表示四边形顶点 A、 B、C、D 的复数，则 AB、CD、AD、 B C、AC、BD 的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-
3、c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到 复数恒等式： (a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d) ，两边取模， 运用三角不等式得。 等号成立的条件是 (a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与 A、 B、C、D 四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不 等式的反演形式。二、设 ABCD 是圆内接四边形。 在弦 BC 上，圆周角 BAC = BDC，而在 A B 上， ADB = ACB。 在 AC 上取一点 K，使得 ABK = CBD； 因为 ABK + CBK = ABC = CBD + A
4、BD，所以CBK = ABD。 因此ABK 与 DBC 相似，同理也有ABD KBC。 因此 AK/AB = CD/BD，且 CK/BC = DA/BD； 因此 AKBD = ABCD，且 CKBD = BCDA； 两式相加，得(AK+CK)B D = ABCD + BCDA ； 但 AK+CK = AC，因此 ACBD = ABCD + BCDA。证 毕。三、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积 (两对角线所包矩形的面积)等 于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之 和)已知：圆内接四边形 ABCD，求证：ACBDABCDADBC证明：如图 1，过 C
5、作 CP 交 BD 于 P，使 1= 2，又 3= 4，ACD BCP得 AC：BC=AD：BP，ACBP=ADBC 。又ACB=DCP，5=6， ACBDCP得 AC：CD=AB：DP，ACDP=ABCD 。得 AC(BPD P)=ABCDADBC即 ACBD=ABCDADBC推论1.任意凸四边形 ABCD，必有 ACBDABCD+ADBC ，当且仅当 ABCD 四点共 圆时取等号。2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角 线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、推广托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当 且仅当共圆或共线。简单的证
6、明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模， 得不等式 ACBD|(a -b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=ABCD+BCAD 注意：1.等号成立的条件是 (a-b)(c-d)与 (a-d)(b-c)的辐角相等，这与 A、B、C、D 四点 共圆等价。2.四点不限于同一平面。欧拉定理：在一条线段上 AD 上，顺次标有 B、C 两点，则 ADBC+ABCD=ACB塞瓦定理简介塞瓦(Giovanni Ceva，16481734)意大利水 利工程师，数学家。塞瓦 定理载于塞 瓦于 1678 年发表的直线论一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。
7、 具体内容塞瓦定理在 ABC 内任取一点 O，直线 AO、BO、CO 分别交对边于 D 、E、 F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介()本题可利用梅涅劳斯定理证明：ADC 被直线 BOE 所截， (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 而由 ABD 被直线 COF 所截， (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 :即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 ()也可以利用面积关系证明 BD/DC=S ABD/S ACD=S BOD/S COD=(S ABD-S BOD)/(S ACD- SCOD)=SAOB/SAOC 同理
8、CE/EA=S BOC/ S AOB AF/FB=S AOC/S BOC 得 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点 : 设三边 AB、 BC、 AC 的垂足分别为 D、 E、 F， 根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA)/(CD*ctgB) *(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(BF*ctgA)=1 ，所以三条高 CD、AE、BF 交于一 点。可用塞瓦定理证明的其他定理 ;三角形三条中线交于一点(重心):如图5 D , E 分别为BC , AC 中点 所以B D=DC AE
9、=EC 所以 BD/DC=1 CE/EA=1且因为 AF=BF 所以 AF/FB 必等于 1 所以 AF=FB 所以三角形三条中线交于一 点此外，可用定比分 点来定义塞瓦定理 ：在 ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上分别取 L、M、N 三点，又分比是 =BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是 AL、BM、CN 三线交于一点的充要条件是 =1。(注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是 =-1) 塞瓦定理推论1.设 E 是 ABD 内任意一点，AE、 BE、 DE 分别交对边于 C、 G、 F，则(BD/B C)*(CE/AE)*(GA/DG)=1因为(BC/CD)*(DG/GA)*(
10、AF/FB)=1，(塞瓦定理)所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/ FB)=K(K 为未知参数)且 (BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K(K 为未知参数)又由梅涅 劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=12.塞瓦定理角元形式AD,BE,CF 交于一点的充分必要条件是：(sin BAD/sin DAC)*(sin ACF/sin FCB)*(sin CBE/sin EBA)=1 由正弦定理及三角形面积公式易证3.如图，对于圆周上顺次 6 点 A,B,C,D,E,F，直线 AD,BE,CF 交于一点
11、的充分必 要条件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点设三边 AB、BC、AC 的垂足分别为 D、E、F，根据塞瓦定理逆定 理 ，因为 (AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA ) /(CD*ctgB) *(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(AE*ctgB)=1 ，所以三条高 CD、 AE、BF 交于一点。梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理证明 梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它 指出：
12、如果一条直线与ABC 的三边 AB、BC、CA或其延长线交于 F、D、E点，那么(A F/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 或：设X、Y、Z分别在ABC的BC、CA、AB所在直线 上，则 X、Y、Z 共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=证明一：过点 A 作 AG BC 交 DF 的延长线于 G,则 AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG 。 三式相乘得：(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(DC/AG)=1证明二：过点 C 作 CP DF 交 AB 于 P，则 BD/DC=FB/PF
13、， CE/EA=PF/AF所以有 AF/FBBD/DCCE/EA=AF/FBFB/PFPF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三点 F、D、E 分别在ABC 的边 AB、BC、CA 或其 延长线上，且满足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，则 F、D、E 三点共线。利用这个 逆定理，可以判断三点共线。梅涅劳斯(Menelaus)定理证明三：过 ABC 三点向三边引垂线 AABBCC，所以 AD： DB=AA： BB， BE： EC=BB： CC， CF： FA=CC： AA 所以(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1证明四：连接 BF。（ AD： DB） （ BE： EC）
14、（ CF:FA）=（ S ADF： S BDF） （ S BEF： S CEF） （ S BCF： S BAF）=（ S ADF： S BDF） （ S BDF： S CDF） （ S CDF： S ADF）=1 此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆： 在 ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上分别取 L、M、N 三点，又分比是 =BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是 L、M、N 三点共线的充要条件是 =1。 第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若 E，F，D 三点共线，则（sin ACF/sin FCB）（sin BAD/sin DAC）（sin CBA/sin ABE
15、）=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积 该形式的梅涅劳斯定理也很实用第二角元形式的梅涅劳斯定理 在平面上任取一点 O，且 EDF 共线，则（sin AOF/sin FOB）（sin BOD/sin DOC）（sinCOA/sin AOE）=1。（O 不与点 A、B、C 重合） 记忆ABC 为三个顶点，DEF 为三个分点 （AF/FB）（BD/DC）（CE/EA）=1 （顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）*（顶到分 /分到顶） =1 空间感好的人可以这么记：（上 1/下 1）*（整/右）*（下 2/上 2）=1实际应用为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的 A、B、C、D
16、、E、F 是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后 选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出 发点，直升机就停在那里等待我们回去。我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须 “游历”了所有的景点。只 “路过”而不 停留观赏的景点，不能算是“游历”。例如直升机降落在 A 点，我们从 A 点出发，“游历”了其它五个字母所代表的景点 后，最终还要回到出发点A。另外还有一个要求，就是同一直线上的三个景点，必须连续游过之后，才能变更 到其它直线上的景点。从 A 点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明：方案 从 A 经过 B（不停留）到 F（
17、停留），再返回 B（停留），再到 D （停留），之后经过 B（不停留）到 C（停留），再到 E（停留），最后从 E 经过C （不停留）回到出发点A。按照这个方案，可以写出关系式：（ AF： FB） *（ BD： DC） *（ CE： EA） =1。现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理 ”的公式了吧。从 A 点出发的旅游方案还有：方案 可以简记为： ABFDECA，由此可写出以下公式：（ AB： BF） *（ FD： DE） *（ EC： CA） =1。从 A 出发还可以向“C”方向走，于 是有：方案 ACEDFBA ，由此可写出公式：（AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 从 A
18、 出发还有最后一个方案： 方案 AECDBFA ，由此写出公式：（ AE： EC） *（ CD： DB） *（ BF： FA） =1。我们的直升机还可以选择在 B、C、D、E、F 任一点降落，因此就有了图中的另 外一些公式。值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是 “梅涅劳斯定理”中的三项。 当直升机降落在B 点时，就会有四项因式。而在C 点和F 点，既会有三项的公式， 也会有四项的公式。公式为四项时，有的景点会游览了两次。不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一两个典型的公式给我们看 看。还可以从逆时针来 看，从第一个顶点到逆时 针的第一个交点比 上到下一个顶点的 距离，以此类
19、推，可得到三个比例，它们的乘积为1.现在是否可以说，我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。那些复杂的相除相 乘的关系式，不会再写错或是记不住吧。西姆松定理西姆松定理图示西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边 的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角 形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。西姆松定理说明相关的结果有：（ 1）称三角形的垂心为 H。西姆松线和 PH 的交点为线段 PH 的中点，且这点在 九点圆上。（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上
20、的一点 P 对应两者的西姆松线的 交角，跟P 的位置无关。（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形 的外接圆上。证明证明一： ABC 外接圆上有点 P，且 PE AC 于 E， PF AB 于 F， PD BC 于 D，分别连 DE、 DF.易证 P、 B、 F、 D 及 P、 D、 C、E 和 A、 B、 P、 C 分别共圆，于是 FDP= A CP ，（都是ABP 的补角） 且PDE=PCE 而 ACP+ PCE=180 FDP+ PDE=180 即 F、D、E 共线. 反之，当 F、D、E 共线时，由可见A、B、 P、C 共圆.证明二： 如图，若 L、M、N
21、 三点共线，连结 BP，CP，则因 PL 垂直于 BC，P M 垂直于 AC， PN 垂直于 AB，有 B、 P、 L、 N 和M、P、L、C 分别四点共圆，有 PBN = PLN = PLM = PCM.故 A、 B、 P、 C 四点共圆。若 A、B、P、C 四点共圆，则PBN = PCM。因 PL垂直于BC，PM垂直于 AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N 和 M、P、L、C 四点共圆，有 PBN = PLN = PCM= PLM.故 L、 M、 N 三点共线。相关性质的证明连 AH 延长线交圆于 G,连 PG 交西姆松线与 R,BC 于 Q如图连其他相关线段AH BC,PF BC=AG
22、/PF= 1= 2A.G.C.P 共圆=2=3PEAC,PFBC=P.E.F.C 共圆=3=4 =1=4PFBC=PR=RQBHAC,AHBC=5=6A.B.G.C 共圆=6=7 =5=7AGBC=BC 垂直平分 GH=8=2=4 8+9=90,10+4=90=9=10 =HQ/DF=PM=MH第二个问，平分点在九点圆上，如图：设 O,G,H 分别为三角形 ABC 的外心，重 心和垂心。则 O 是,确定九点圆 的中点三角形 XYZ 的垂心，而 G 还是它的重心 。 那么三角形 XYZ 的外心 O1， 也在同一直线上，并且 HG/GO=GO/GO1=2 ，所以 O1 是 OH 的中点。三角形 A
23、BC 和三角形 XYZ 位似，那么它们的外接圆也位似。两个圆的圆心都在 OH 上，并且两圆半径比为 1:2所以G是三角形 ABC外接圆和三角形 XYZ外接圆（九点圆）的反位似中心（相似 点在位似中心的两边）,H 是正 位似中心（相似点 在位似中心的同一 边）.所以 H 到三角形 ABC 的外接圆上的连线中点必在三角形 DEF 的外接圆上 圆幂定理圆幂定理 圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归 纳的结果。定义圆幂=PO2-R2| 所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
24、。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两 条线段长的比例中项。割线定理：从圆外一点 P 引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有 PAPB =PCPD。统一归纳：过任意不在圆上的一点 P 引两条直线 L1、L2，L1 与圆交于 A、B（可 重合，即切线），L2 与圆交于 C、D（可重合），则有 PAPB=PCPD。进一步升华（推论）过任意在圆 O 外的一点 P 引一条直线 L1 与一条过圆心的直线 L2， L1 与圆交于 A、B（可重合，即切线），L2 与圆交于 C、D。则 PAPB=PCPD。若圆半径为 r， 则 PCPD=（PO-r）（PO+r）=PO2-
25、r2=|PO2-r2| （要加绝对值，原因见下）为定值。 这个值称为点P 到圆O 的幂。（事实上所有的过 P 点与圆相交的直线都满足这个值）若点 P 在圆内，类似可得定值为 r2-PO2=|PO2-r2| 故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过 这一点引任意直线交圆于A、B，那么PAPB 等于圆幂的绝对值。（这就是“圆幂”的 由来） 证明圆幂定理（ 相交弦定理、切割线定理 及其推论 （割线定理）统一归纳为圆 幂定理） 问题 1相交弦定理：圆内的两条相交弦 ,被交点分成的两条线段长的乘积相等。 证明：连结 AC，BD，由圆周角定理的推论，得A=D，C=B。 PAC
26、PDB， PA:PD=PC:PB， PAPB=PCPD问题 2割线定理：从圆外一点 P 引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PAPB=PCP D，当PA=PB，即直线AB重合，即PA切线时得到切线定理PA2=PCPD证明：（令 A 在 P、B 之间，C 在 P、D 之间）因为 ABCD 为圆内接四边形，所 以角 CAB+角 CDB=180 度，又角 CAB+角 PAC=180 度，所以角 PAC=角 CDB，又 角 APC 公共，所以三角形 APC 与三角形 DPB 相似，所以 PA/PD=PC/PB,所以 PA* PB=PC*PD切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到
27、割线与圆交点的两 条线段长的比例中项几何语言： PT 切 O 于点 T， PBA 是 O 的割线 PT2=PAPB（切割线定理）推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等几何语言： PBA、 PDC 是 O 的割线 PDPC=PAPB（切割线定理推论）问题 3过点 P 任作直线交定圆于两点 A、 B，证明 PAPB 为定值（圆幂定理）。证：以 P 为原点，设圆的方程为(x-xO)2+(y-yO)2=a 过 P 的直线为x=k1ty=k2t则 A、 B 的横坐标是方程(k1t-xO)2+(k2t-yO)2=r2即(k12+k22)t2-2(k1xO+k2yO
28、)t+xO2+yO2-r2=0的两个根 t1、 t2。由韦达定理t1t2=(xO2+yO2-2)/(k12+k22)于是PAPB=(k1t1)2+(k2t1)2)(k1t2)2+(k2t2)2)=(k12+k22)2|t1|t2|=k12+k22|(xO2+yO2-r2)/(k12+k22)|=|(xO2+yO2-r2)|为定值，证毕。圆也可以写成x2+y2-2xOx-2yOy+xO2+yO2-a=0 其中 a 为圆的半径的平方。所说的定值也就是(原点)与圆心 O 的距离的平方 减去半径的平方。当P 在圆外时，这就是自P 向圆所引切线(长)的平方。这定值称为点 P 到这圆的幂。在上面证明的过程
29、中，我们以 P 为原点，这样可以使问题简化。如果给定点 O，未必是原点，要求出 P 关于圆的幂(即 OP2-r2)，我们可 以设直线AB的方程为是 的倾斜角， 表示直线上的点与 的距离将代入得即， 是它的两个根，所以由韦达定理是定值4是 关于的幂(当 是原点时，这个值就是 )它也可以写成 即 与圆心 距离的平方减去半径的平方当 P 在圆内时，幂值是负值；P 在圆上时，幂为 0；P 在圆外时，幂为正值，这 时幂就是自P 向圆所引切线长的平方。以上是圆幂定理的证明，下面看一看它的应用问题 4自圆外一点 向圆引割线交圆于 、 两点，又作切线 、 ， 、 为切点， 与 相 交于 ，如图求证 、 、 成调和数列，即证：设圆的方程为点 的坐标为 ， 的 参数方程为其中 是 的倾斜角， 表示直线上的点 与 的距离代入得即、 是它的两个根，由韦达定理另一方面，直线 是圆的切点弦，利用前边的结论， 的方程为代入得因此，这个方程的根 满足综合，结 论成 立。可以证明，当 在圆内时，上述推导及结论仍然成立。说明：问题4 的解决借用了问题 3 的方法，同时我们也看到了问题 4 与问题1、 问题2 的内在联系。圆幂定理圆幂定理圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归 纳的结果。定义圆幂=PO2-R2|所以圆内的点的幂为负数
