1、数字信号处理论文 频谱泄露 窗函数分析数字信号处理论文题目关于基于DFT的谱分析的思考专业通信2班学号12S005107学生李声勇日期2013年10月5日哈尔滨工业大学关于基于DFT的谱分析的思考在科技论文基于DFT的谱分析中，作者针对有限长频谱泄露和加窗对信号的影响两个方面做了仿真与分析。首先对非整数周期样点时，正弦信号的DFT频谱图进行了仿真，提出问题，后再时域和频域对频谱泄露做了深入的探讨。在文章的第二部分，对窗函数的特性进行了分析和模拟，并对信号加窗的DFT进行了讨论。针对作者提出的问题，本文将尝试对作者的问题进行解答，进一步理解DFT的意义。一、DFT频谱泄露分析文章关于频谱泄露做了
2、三类仿真：（1）信号采样长度64点，采样率32kHz，正弦频率1kHz（2）信号采样长度64点，采样率32kHz，正弦频率1.1kHz。（3）信号采样长度60点，采样率32kHz，正弦频率1kHz。仿真结果发现，当整数周期抽样时，信号频谱与连续时保持高度一致性。但非整数周期抽样时，频谱与原来的连续谱相差很大。文中指出，当采样长度变化，导致采样周期为非整数时，会导致频谱泄露，但原文并未给出采样长度变化对频谱泄露严重程度的影响，本文首先从非完整周期，整数倍完整周期，非整数倍周期展开讨论。1.采样点数带来的影响（1）当采样点为N=2632点时：（2）当采样点数为N=97点时（3）当采样点数为N=17
3、332*int点时：通过改变采样长度的三次仿真我们可以得到如下的结论：理论上，要想采样出一个完整的周期，采样点应该为32或者32的整数倍个点，当信号的采样不完整时，频谱的对称性丢失，信号失真。该信号与除了有频谱泄露之外，还发生了频谱变化，部分信息丢失。在峰值处，频谱幅度与连续谱的幅度相同。当采样点数增加时，连续谱对应的频谱峰值在逐渐增大，这是由于计算中卷积定理的影响。与此同时，泄露频谱的分量幅值也在随之增加，且产生的噪声影响加剧，这说明增加采样点并不能消除频谱泄露的问题，同时还会带来对系统额外的要求，增大负担。2. 截取周期带来的影响我们通过调整信号频率，分别在距离整数个周期最近与最远的位置进
4、行仿真，观察不同截取位置对频谱泄露带来的影响。分别对信号采样2.3, 2.5, 2.9个周期。（1）采样2.3个周期（f0=1.15KHz）（2）采样2.5个周期（f0=1.25KHz）(3) 采样2.9个周期（f0=1.45KHz）在抽样信号不变的情况下，通过调整信号频率来控制信号的截取位置，第一张图是截取2个整数周期，第二张图截取2.5个周期，最后一张截取2.9个周期，从上述三张图的频谱泄露情况可以看出，当截取位置在一个周期末端或最前端时，DFT时无频谱泄露。随着截取位置趋向于一个信号的中部时，频谱泄露越来越严重，主要表现在泄露频谱各分量的幅值显著增加，这将对信号造成严重的噪声干扰。例如上
5、图中截取2.5周期时，截取位置位于信号中部，频谱泄露最严重，几乎湮没了我们需要的频谱值。但随着信号截取位置逐渐偏后，截取位置趋向于整数周期时，信号频谱泄露情况逐渐改善。可以做出以下预测，当截取N个整数周期时，信号频谱不会泄露。根据以上对采样点数和截取频率的分析。可以得出结论：对于频率位置的信号，通过控制采样点数和采样频率，使得在无法得到整数周期采样的情况下，尽可能使采样的周期数趋近于整数，这样即使不能做到整周期采样，也可将频谱泄露程度降到最小。3连续信号DFT过程的分析在分析频谱泄露之前，我们先了解做连续信号DFT的整个过程。对于一个无限长的周期连续信号，先要通过抽样转换为无限长的周期离散信号
6、，再对该信号截取一定长度，得到一个有限长序列。DTFT是指离散时间傅里叶变换，它用于离散非周期序列分析，根据连续傅立叶变换要求连续信号在时间上必须可积这一充分必要条件，那么对于离散时间傅立叶变换，用于它之上的离散序列也必须满足在时间轴上级数求和收敛的条件；由于信号是非周期序列，它必包含了各种频率的信号，所以DTFT对离散非周期信号变换后的频谱为连续的，即有时域离散非周期对应频域连续周期的特点。DFT是指离散傅里叶DFT只是对一周期内的有限个离散频率的表示，所以它在频率上是离散的，就相当于DTFT变换成连续频谱后再对其采样，此时采样频率等于序列延拓后的周期N，即主值序列的个数。4对作者在案例中提
7、出的问题的回答（1）案例1中的理想的两根谱线是怎么来的？这时候的DTFT是两根笔直的谱线么？为什么DFT就是两根谱线了呢？案例1中理想谱线主要因为采样时最频率的采集恰好落在了幅值最大的频率，以及频率为零的幅值处，得到两条相反的曲线，经过取绝对值得到了同方向的两根理想的笔直谱线。而DTFT是连续谱，不能得到笔直的谱线。DFT采样时其他采样频率点处幅值为零，便得到两根谱线。（2）案例2中的DTFT结果和案例1有区别么？为什么案例2的DFT结果不是两根谱线呢？当前的DFT结果图中峰值对应的频率值是信号的频率么？无区别。案例2中采样到的频率点对应的幅值不一定为零，因为采样点变密集，出现多条谱线。结果图
8、中峰值对应的频率值是信号频率。（3）案例3中的DTFT结果曲线和案例1、2的形状上的区别大么？为什么案例3的DFT结果出现了如此多的非零值呢？当前的DFT结果图中峰值对应的频率值是信号的频率么？无明显区别。采样周期非整数周期，频谱泄露现象严重，出现较多原频率附近的频率分量，对应出现许多非零值。（4）什么是频域的物理分辨率，为什么采样点数越多这个分辨率越高？频谱分析时，将两个靠的很近的信号谱峰依然能分辨的最小谱峰间隔；采样点数增加，意味着采样频率的增加，所能分辨的最小频率增加。（5）什么是频域的分析分辨率，为什么补零可以增加分析分辨率，但是又无法增加物理分辨率？分析分辨率可看做谱线间隔，即。补零
9、以后，分析长度增加，但是补充的零不能增加信号的有效信息量，虽然分析分辨率变得很大，但是并不能增加物理分辨率与真实的辨识精度。（6）增加采样点数一定可以增加频域的物理分辨率么？如果采样点数增加一倍，同时采样率也增加一倍，能提高频域的物理分辨率么？接下来采用控制变量法，的例子比较采样点数对物理分辨率的贡献，的例子分析在采样点数，采样率增加一倍的情况下，物理分辨率的改变情况。1 采样点4个，分析点16个，采样频率16KHz，信号频谱2.5KHz2 采样点8个，分析点16个，采样频率16KHz，信号频谱2.5KHz3 采样点16个，分析点16个，采样频率16KHz，信号频谱2.5KH 采样点16个，分
10、析点16个，采样频率32KHz，信号频谱2.5KHz通过分析，我们可以得到如下结论：（1）对比和，当采样的点数少于一个周期时，采样点数的增加可以很大程度上提高物理分辨率，随着采样点的增加，谱峰间距逐渐拉大。（2）对比和，在奈奎斯特抽样的前提下，一个周期的序列已经包含了原序列所有的信息，增加采样点失去作用。（3）对比和，当抽样频率变大时，谱峰间距有所变小，说明物理分辨率变小。二. 关于序列加窗的分析在对信号做抽样时，我们不可能选择无限多数量的点，有限的点的选择，就相当于默认加了一个矩形窗，相当于信号频谱与矩形窗频谱要做卷积。矩形窗的性能在有时无法达到需求，这就需要我们选择更好的窗函数进行替代，减
11、少频谱泄露的程度。如下仿真对比出加窗前后频谱泄露情况。信号采样长度64点，采样率32kHz，正弦频率1.25kHz,不加窗（相当于加矩形窗）2 信号采样长度64点，采样率32kHz，正弦频率1.25kHz,加HANNING窗图 15 信号采样长度64点，采样率32kHz，正弦频率1.25kHz,加KAISER窗 信号采样长度64点，采样率32kHz，正弦频率1.25kHz,加BLACKMAN窗从到可以看出，加不同的窗函数对频谱泄露有不同的影响，下面针对的频谱图做简单分析。（1）加HANNING窗后，两个波峰之间泄露的频谱大部分被压制到了-50dB以下，对频谱泄露问题的改善有很大的作用。但是主频
12、的带宽被延展了，可以看到在波峰位置有两个幅度相似的频谱分量。（2）加KAISER窗的效果不明显。（3）加BLACKMAN窗后，在将更多的泄露频谱压制到-50dB以下的同时，提高了最大主峰的处的幅度值，效果比价hanning窗更好。当采样长度和采样频率发生变化时，不同的窗函数可能带来不同的影响。因此，在实际工程中，我们应该依据实际情况，判断是都加窗，以及选用什么类型的窗函数。加不同窗对频谱泄露的影响可能发生变化，因此，不能主观的认为加窗一定比不加窗好，也不能认为hanning或者blackman窗一定比kaiser和三角窗好。但是在实际工程中，我们可以根据具体情况，选择合适的窗来减小频谱泄露。附
13、录一：开头几个问题的回答1序列直接做DFT和补零做DFT有什么区别？补零是指在做DFT时，人为地在序列的有效数据后面填补一些零值，以延长序列或达到抽样最佳点数，便于分析或者改善频谱特性。例如，在做FFT时，为使序列长度达到2的整数次幂，往往补零，用DFT做线性卷积时也经常需要补零。设原序列Xn的长度为N，其后补M个零，则Xn的DFT为：补零后序列的DFT为：由DFT公式可以看出，原序列的频谱间隔为，但补零序列的频谱间隔为，显然补零后频谱间隔变小。2.什么是频域的物理分辨率，什么是频域的分析分辨率？物理分辨率是指做频谱分析时所能分辨的最小频谱间隔，与实际有值点的多少有关；分析分辨率是进行DFT运
14、算所能达到的精度，可以通过补零操作进行改变。3.为什么说补零作DFT只能提高频域的分析分辨率而不能提高物理分辨率？物理分辨率与序列的有效数据有关，补零只是增加了序列长度，序列有效数据没有变，序列所含的信息量没有变，故不能提高物理分辨率。4为什么说提高频域的物理分辨率的唯一办法是增加记录长度？增加记录长度可以增加序列的有效数据，增加序列的信息量，从而增加物理分辨率。附录二：序列加窗程序：（粗体为加窗所改动的程序） N = 64 ; % vector length idx = 0:N-1.;% index column vector f0 = 1.25E3 ; % sine signal freq
15、, in Hz fs = 32E3 ; % sample rate, in Hz x1 = sin(2*pi*f0/fs*idx); % sampled sine signal M=length(x1);% 计算序列长度figure; % open new figure subplot(2,2,1:2); set(gca,fontsize,14); stem(x1); % plot(x1) gridon; % draw grid on figure title1_str = sprintf(.Sampled Sine Signal, Frequency %dHz, Sample rate %d
16、Hz, f0, fs); title(title1_str, fontsize,14); wh = (BLACKMAN(M);xw = x1.*wh; % 加窗函数y1 = fft(xw); y1_abs = abs(y1); subplot(2,2,3); stem(y1_abs,LineWidth,1,MarkerSize,6); gridon; set(gca,fontsize,12); title(DFT Amplitude in Linear scale, fontsize,14); y1_abs_dB = 20*log10(y1_abs); min_y1 = min(y1_abs_dB); subplot(2,2,4); stem(y1_abs_dB, LineWidth,1,MarkerSize,6,BaseValue,min_y1); gridon; set(gca,fontsize,12); title(DFT Amplitude in dB scale, fontsize,14);
