1、最新DOC高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结优秀名师资料(DOC)-高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中，与两个定点F1，F2 的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹;双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a,|F1F2|不可忽视。若2a,|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a，|F1F2|，则轨迹不存在
2、。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 8表示的曲线是_(答:双曲线的左支) 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): x2y2y2x2 (1)椭圆:焦点在x轴上时2,2 1(a b 0)，焦点在y轴上时2,2 abab ,1(a b 0)。方程Ax2,By2 C表示椭圆的充要条件是什么,(ABC?0， 且A，B，C同号，A?B)。 若x,y R，且3x2,2y2 6，则x,y的最大值是_，x2,y2的最小值是_ 2) x2y2y2x2 (2)双曲线:焦点在x轴上:2,2 =1，焦点在y轴上:2,2,1 abab (a 0,b 0)
3、。方程Ax2,By2 C表示双曲线的充要条件是什么,(ABC?0， 且A，B异号)。 如设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e 2的双曲线C过点P(4,)，则C的方程为_(答:x2,y2 6) (3)抛物线:开口向右时y2 2px(p 0)，开口向左时y2 ,2px(p 0)，开口向上时x2 2py(p 0)，开口向下时x2 ,2py(p 0)。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断): (1)椭圆:由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 x2y2 , 1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围如已知方程 m,12,m 是_(答:(, ,1) (
4、1,) 32 (2)双曲线:由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中，a最大，a2 b2,c2，在双曲线中，c最大，c2 a2,b2。 4.圆锥曲线的几何性质: x2y2(1)椭圆(以2,2 1(a b 0)为例):?范围:,a x a,b y b;ab ?焦点:两个焦点( c,0);?对称性:两条对称轴x 0,y 0，一个对称中心(0,0)，四个顶点( a,0),(0, b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b;?准线:a2c两条准线x ; ?离心率:e ，椭圆 0 e 1，e越小，椭圆越圆;eca
5、 越大，椭圆越扁。 x2y2如(1)若椭圆, 1的离心率e 5m5，则m的值是_(答:3或3 25); (2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_(答:22) x2y2(2)双曲线(以2,2 1(a 0,b 0)为例):?范围:x ,a或x a,y R;ab ?焦点:两个焦点( c,0);?对称性:两条对称轴x 0,y 0，一个对称中心(0,0)，两个顶点( a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2,y2 k,k 0;?准线:a2c两条准线x ; ?离心率:e ，双曲线e 1 e ca
6、 be越小，开口越小，e越大，开口越大;?两条渐近线:y x。 a (3)抛物线(以y2 2px(p 0)为例):?范围:x 0,y R;?焦点:一个焦p点(,0)，其中p的几何意义是:焦点到准线的距离;?对称性:一条对称轴2 py 0，没有对称中心，只有一个顶点(0,0);?准线:一条准线x ,; ?2 c离心率:e ，抛物线 e 1。 a 如设a 0,a R，则抛物线y 4ax2的焦点坐标为_(答:(0,1; )16a x2y25、点P(x0,y0)和椭圆2,2 1(a b 0)的关系:(1)点P(x0,y0)在椭圆外ab 2222x0y0x0y0(2)点P(x0,y0)在椭圆上 2,2,
7、1;(3)点P(x0,y0)在椭圆 2,2 1;abab 内 xy, 1 ab20 2202 6(直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交: 0 直线与椭圆相交; 0 直线与双曲线相交，但直 线与双曲线相交不一定有 0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件; 0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 (2)相切: 0 直线与椭圆相切; 0 直线与双曲线相切;0 直线与抛物线相切; (3)相离
8、: 0 直线与椭圆相离; 0 直线与双曲线相离;0 直线与抛物线相离。 提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点; x2y2(2)过双曲线2,2,1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情ab 况如下:?P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条;?P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共
9、四条;?P在两条渐近线上但非原点，只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线;?P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。 7、焦点三角形(椭圆一点与两焦点所构成的三角形)问题: S b2tan 2 c|y0|，当|y0| b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc; 8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则?AMF,?BMF;(3)设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA
10、?PB;(4)若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反 之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。 9、弦长公式:若直线y kx,b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、 B的横坐标，则AB 1,x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB, , 11,y2。AB y,y，若弦AB所在直线方程设为，则x ky,b122 k 特别地，焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 10、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 b2x0x2y2 在椭圆2
11、,2 1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=,2; ay0abb2x0x2y2 在双曲线2,2 1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2;在抛 abay0 p 物线y2 2px(p 0)中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=。 y0 提醒:因为 0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 0 11(了解下列结论 2222yyxx(1)双曲线2,2 1的渐近线方程为2,2 0; ab 22 byx(2)以y x为渐近线(即与双曲线2,2 1共渐近线)的双曲线方程aab 22 为x2,y2 ( 为参数， ?0)。 a
12、b a b (3)中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx2,ny2 1; 2b2 (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为，焦准 a b2 距(焦点到相应准线的距离)为，抛物线的通径为2p，焦准距为p; c (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线y2 2px(p 0)的焦点弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则 p2 ?|AB| x1,x2,p;?x1x2 ,y1y2 ,p2 4 (7)若OA、OB是过抛物线y2 2px(p 0)顶点O的两条互相垂直的弦， 则直线AB恒经过定点(2p,0) 12、解析几何与向量综合时可能出现的向
13、量内容: 1 (1)在 ABC中，给出AD AB,AC,等于已知AD是 ABC中BC边的中 2 , 线; (2)在 ABC中，给出 ，等于已知O是 ABC的外心(三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点); (3)在 ABC中，给出, ，等于已知O是 ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点); (4)在 ABC中，给出 ，等于已知O是 ABC的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点); (5) 给出以下情形之一:?/;?存在实数 ,使 ;?若 存在实数 , ,且 , 1,使OC OA, OB,等于已知A,B,C三点共线. (6) 给出MA MB 0,等于已知MA
14、MB,即 AMB是直角,给出MA MB m 0,等于已知 AMB是钝角, 给出MA MB m 0,等于已知 AMB是锐角, ,(7)给出 ,等于已知MP是 AMB的平分线/ 2 2 2 (8)在平行四边形ABCD中，给出(,) (,) 0，等于已知ABCD 是菱形; (9) 在平行四边形ABCD中，给出|AB,AD| |AB,AD|，等于已知ABCD是矩形; 13.圆锥曲线中线段的最值问题: 例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为_ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点的坐标为 。 分析:(1)A在抛物线外，如图
15、，连PF，则PH 因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。(2)B在抛物线内，如图，作QR?l交于R，则当 Q、R三点共线时，距离和最小。 解:(1)(2，2)(2)(,1) x2 1、已知椭圆C1的方程为,y2 1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、 4 14 右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。 (1) 求双曲线C2的方程; (2) 若直线l:y kx,2与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足 6(其中O为原点)，求k的取值范围。 解:(?)设双曲线C2的方程为x2,y2 a b 2 2 则a2 4,1 3,再由a2,b2 c2得
16、b2 1. 1， x2 ,y2 1.3 故C2的方程为 (II)将 x2 y kx,2代入,y2 1得(1,4k2)x2,82kx,4 0. 4 由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得 1 1 (82)2k2,16(1,4k2) 16(4k2,1) 0,即 k2 . ? 4 x2 将y kx,2代入,y2 1得(1,3k2)x2,62kx,9 0.由直线l与双曲线C2 3 恒有两个不同的交点A，B 得 2 1 1,3k 0,22 即k 且 k 1. 222 3 2 (,),36(1,3k) 36(1,k) 0. ,9 设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA,xB ,x x AB 1,3k
17、21,3k2 由OA OB 6得xAxB,yAyB 6,而xAxB,yAyB xAxB,(kxAkxB (k2,1)xAxB,(xA,xB),2 (k2,1) 3k2,7 2.3k,1 ,9, ,2 22 1,3k1,3k 3k2,715k2,1313122解此不等式得于是2 6,即 0.k 或k . ? 3k,13k2,1153 由?、?、?得 k2 或故k 的取值范围为(,1,1 41313 k2 1. 15 11 (,) (, 32232.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB/OA， MAAB = MBBA，M点的轨迹为曲线C。 (?)求
18、C的方程;(?)P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。 (?)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA=(-x,-1-y), (MA+MB) AB=0,即(-x,-4-2y)MB=(0,-3-y), AB=(x,-2).再由愿意得知 (x,-2)=0. 所以曲线C的方程式为y=x2-2. (?)设P(x0,y0)为曲线C:y=x2-2上一点，因为y=x,所以l的斜率为x0因此直线l的方程为y,y0 x0(x,x0)，即x0x,2y,2y0,x2 0。 则 O 点到l的距 离d 2 1 414 121212 .又y0 x02,2，所 以 14 12
19、 x0,4 1d 2, 2 当x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2. x2y2 3.设双曲线2,2 1(a,0,b,0)的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双 4、在教师的具体指导和组织下，能够实事求事地批评自己、评价他人。ab （1）一般式：曲线的离心率等于( ) 第二章 二次函数x2y2 4.过椭圆2,2 1(a b 0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦 ab 点，若 F1PF2 60 ，则椭圆的离心率为 8.直线与圆的位置关系x2y2 1、第二单元“观察物体”。学生将通过观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的发展空间观念。5
20、.已知双曲线,2 1(b 0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程 2b 在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有为y x，点P(3,y0)在双曲线上.则PF1?PF2,( )0 1.圆的定义：6.已知直线y k,x,2,k 0,与抛物线C:y2 8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA| 2|FB|，则k ( ) 7.设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为(2，2)，则直线l的方程为_. 8.直线与圆的位置关系x2y2 应用题8.椭圆, 1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1| 4，则|PF2| ; 7、每学完一个单元的内容，做到及时复习，及时考核，这样可以及时了解学生对知识的掌握情况，以便及时补差补漏。92 F1PF2的大小为.
