1、数学分析定义定理推理一览表定义1给定两个非负实数ao.a1.a2naj, y = b b bll nb其中a0,b0为非负整数，ak,bk k=1,2,)为整数，若有O Eak 乞 9,0 Ebk 乞 9.则称X与y相等，记为X = y.若a0 b0或存在非负实数丨,使得ak =bk k =0,1,2,l（l 而a 1 b 1,则称X大于y或y小于X,分别记为X y或y ： x.定义2设X =a0.a1a2 （an川为非负实数.称有理数X =a.a1a2l（an为实数X的 n位不足近似，而有理数1称为X的 n位过剩近似，n =0,1,2,11（.实数的一些主要性质1.实数集R对加、减、乘、除（
2、除数不为0）四则运算是封闭的， 即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为 0）仍然是实数.2.实数集是有序的，即任意两个实数a、b必满足下述三个关系之一：a b, a = b,a ： b.3实数的大小关系具有传递性，即若a b,b c,则有a c.4.实数具有阿基米德性，即对任何a b R,若ba0,则存在正整数n，使得 nab.5实数R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数， 且既有有理数也有无理数.6.如果一直线（通常画成水平直线）上确定一点 O作为原点，指定一个 方向为正方向（通常把指向右边的方向为正方向），并规定一个单位 长度，则称此直线为数轴.任意实数都对应数轴上唯一的
3、一点；反之， 数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数.于是，实数集R与数轴上 的点有着 对应关系.定义3a a 0实数a的绝对值定义为a =a, a 一 0,-a, a 0.从数轴上看，数a的绝对值a就是a到原点的距离绝对值得一些性质1.a =|a 0;当且仅当 a=0时有 a =0.2. a a a3.ach= -h ca ch; a 兰 h u h a h(h 0).4.对于任何a、b R有如下三角形不等式：a b a b a +b .定义4区间和邻域定义5有界的定义设S为R中的一个数集若存在M(L),使得对一切x S,都有X乞M(X _L),则称S为有上界(下界)的数集，数 M(L)称
4、为S的一个上界(下界)简记：SQ R, EM ORx E Sn x M ,称S有界若数集S既有上界又有下界，则称 S为有界集若S不是有界集, 则称为无界集定义6确界的定义1设S R.若数满足：iX三S,有X-,即是S的上界；ii-：，-X0 S,使得x0八J即 又是S的最小上界，则称为数集S的上确界，记作=SUP S.2.设S R.若数满足：i-x S,有X _ ,即 是S的下界;ii- 一： , Xo S,使得Xo :：二即又是S的最大下界，则称为数集S的下确界，记作= inf S定理1设数集S有上确界i)=SUP S S= =max S.ii)=inf S S = = min S.定理一确
5、界原理设S为非空数集若S有上界，则必有上确界；若S有下界，则S必有下确界定理2设A B为非空数集，满足：对一切X A和y B有x _ y 数集A有上确界，数集B有下确界，且SUPAminf B 推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的)函数的概念定义1给定两个实数集D和M ,若有对应法则f,使对D内每一个X, 都有唯一的一个数y M与它相对应，则称f是定义在数集D上 的函数，记作f : D M,X y.数集D称为函数f的定义域，X所对应的数y,称为f在点X的函数值, 常记为f (X).全体函数值的集合f (D) Jyy = f(x),x D“ M) 称为函数f的值域.函数的
6、四则运算给定两个函数f,x D1和g,x D2,记D=DInD2,并设D定义f与g在D上的和、差、积运算如下：F(x) = f(x) g(x),x D,G(X) = f() -g(), D,H(X) = f(x)g(x),x D.若在D中剔除g(x)=O的X值，即令D =DIrhXlg (X)= 0,x D2 5 I ,则除法如下L(X)f(X)/g(x), x D*.初等函数常量函数科=C(C为常数)； 幕函数y =x(为实数)；指数函数 y =ax(a 0,a -1);对数函数 y=logax(a 0,a=1);三角函数 y = sin X, y = cosx, y = tan x, y
7、= cot x;反三角函数y =arcsinx, y = arccosx, y = arctanx, y = arc cotx.定义2给定实数a 0,a = 1设X为我们规定SUPLar | r为有理数,当a 1时,ar |r为有理数,当0 ：a ： 1时.几个重要的等式（不等式）1. Sin XSin X2由 4nn( n - 1)nnn2 n - 13. 1 n2n 2n4.算术平均数5.几何平均数a6.调和平均数aa1n1 1a 1 a 27. nn1n11数列极限定义1na2 a1 a2 Ian竺当aHa吕an 时，“=”成立设Ean护数列，a为定数.若对任给的正数 関总存在正整数N,
8、 使得当n时有则称数列斗葩攵敛于a,定数a称为 数列Rn 的极限，并记作ImnPa,或an d a（n 若数列BnD殳有极限，则称定义1任给s!0，若在UlEl之外数列Faj-中的项至多只有有限个, 则称数列KaI收敛于极限a.定义2若 Iiman=0,则称Iarl为无穷小数列.定理2.1数列Ran 0收敛于a的充要条件是：Ran -a为无穷小数列.收敛数列的性质定义1设i.an 为数列，Inkf为正整数集N +的无限子集，且 n1 ： n2 :：|1| :：入：|）| , 则数列n1, an2 JIL ank J11称为数列Ianf的一个子列，简记为：an* 平凡子列：数列 订本身以及去掉有
9、限项后得到的子列 非平凡子列：不是平凡子列的子列 .数列an 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限 定理2.9数列n ?收敛的充要条件是：IanI的任何非平凡子列都收敛 定理二（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限 .定理三（柯西CaUCh收敛准则）数列0?收敛的充要条件是: 对任给的 a 0,存在正整数N，使得当n, m N时有a1 - am * j函数极限定义1设f为定义在a上的函数，a为定数若对人给的；0, 存在正数M(A a ,使得当XAM时有f(x)-A则称函数f当X趋于时以A为极限，记作Iim f X = A或f x ：； A x； .X-Ji-Xl
10、2设函数f在点X)的某个空心邻域J。X0S内有定义，A为定数 若对任给的；0,存在正数(Vj)，使得当0： XOl :时有 f(x)_A|则称函数f当X趋于X0时以A为极限，记作Iim f X = A或f X r A x X0 .X X3设函数f在U。x0p)(或U_(x0p)内有定义，A为定数.若对任给的； 0,存在正数()，使得当X Xo(或X0 -6 CXCX0时有f(x)-A名,则称数A为函数f当X趋于X0或X7的右(左)极限，记作Iim f X = A Iim f X = AXo VXr J或 f X A x XOfXL A x Xf .右极限与左极限统称为单侧极限f在点X0的右(左
11、)极限记为(x0+0)= Iiqf(X)f(x0-0)=Iimf(X)定理 3.1 Iim f (X)=A= IimJ(X)=Iim f(x)=A函数极限的性质无穷小量阶的比较（定义见下页末）1若XimDgfp则称当Xf时f为g的高阶无穷小量记作f X=OgX x Xo 2.若存在正数K和L,使得在某U o X0上有K 0, 对任意正数总可找到x,xp U ox0;包）使得層斗wxl0.两个重要极限limX 0Sin XXlimX-:Zl 11 -I X丿设f在某Uo（x0 内有定义，若lim f（x） = 0,无穷小量： f则称f为当XT X0时的无穷小量.有界量：若函数g在某Uo X0内有
12、界，则称g为当X x0时的有界量无穷小量的和、差、积仍为无穷小量 .无穷小量与有界量的积为无穷小量常见的几个等价无穷小量X1.e -1 X X，02.1 X - 1 I X X、02X3.1- CoSX X、02自赖性： ( X ) 。(X)(XT X。)对称性：G (X) B ( X)=0 ( X) ( X)( X0 )传递性：C(X) P ( X),P(X) 了(X)= C(X) 了( X)( X0)定理3.12(等价无穷小量在极限问题中的作用)设函数f,g,h在Uo X0内有定义，且有f X g X X) Xo .若 Iimf XhX = A,则 IimgXhX =A;XTXo IXoi
13、i 若 IimXTXo则IimX o无穷大量设函数f在某U o X0内有定义.若对任给的G 0,存在、： 0, 使得当X U o x0 I二U o x0 j时有f Xj - G,则称函数 f当Xr x0时有非常极限：，记作IimfX-：.X) * F对于自变量X趋于某种趋向 或-,时，所有以，+：或 :为非正常极限的函数(包括数列)，都称为无穷大量 .定理3.13(i )设f在Uo X0内有定义且不等于0.若f为X x01时的无穷小量，则 为X X0时的无穷大量.函数的连续函数在点的连续1.设函数f在某U o Xo内有定义.若Iimf X = f x0 ,Jx0则称f在点X0连续；也可表述为：
14、若对任给的；0, 存在 6 0,使得当 X - Xo C 时有 f(X) f(X0jy, 则称f在点X0连续.2.设函数f在某Uo X0 U o X0内有定义.若( )lim*f (X)= f (x Iim f (x)= f (冷)，Ix0 IXTxer J则称f在点X0右(左)连续.定理4.1函数f在点X0连续的充要条件是：f在点X0即是右连续，又是左连续.间断点及其分类3.设函数f在某U o X0内有定义.若f在点X0无定义，或f在点X0有定义不连续，则称X0为函数f的间断点 或不连续点.4.可去间断点5.跳跃间断点若Iim f X =A, f在点X0无定义，或有定义 XrX0但f X。=
15、A,则称X0为函数f的可去间断点.若函数f在点X0的左右极限都存在，但Iim f Xp Iim f X，则称x0为函数f的Xx0 X x0跳跃间断点.6以上两种间断点统称为第一类间断点，其他所有形式的 间断点统称为第二类间断点.区间上的连续函数若函数f在区间I上的每一点都连续，则称 f为I上的 连续函数。对于闭区间或半开半闭区间的端点，函 数在这些点上的连续是指左连续或右连续 若函数f在区间a,b 上仅有有限个第一类间断点， 则称f在la, b 1上分段连续连续函数的性质定理4.2(局部有界性)若函数f在点X0连续，则f在某U x0内有界. 若函数f在点X0连续，且f(x0)O(或 0),则
16、定理4.(局部保号性)对任何正数f(XX或r -f (Xo ),存在某U(XO)使得对一切 XEU(XO J有 f(x)r(f(x)0,使得对任何X ,x = I ,只要X -X 0,*为任意实数，则有= =定理4.11指数函数ax a 0在R上是连续的.定理4.12 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数.定理4.13任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数.导数和微分设函数y=f(x )点x0的某邻域内有定义，若极限定义1导数：Iim 存在，则称函数f在点x0处可导，Ix X-X0并称该极限为函数f在点X0处的导数，记作f(x0).设f X在点Xo可导，那么；=-f Xo是当Z有限增量公
17、式:X 0时的无穷小量，于是；-x=o X ,即今=f X0二X Olx .该式即为有限增量公式定理5.1若函数f在点x0可导，则f在点X0连续.定义2单侧导数设函数y=f X在点X0的某右邻域0,0亠3 上有定义，若 右极限Iim卫=Iim f & X A Om、.存在o+ Z,则称该极限值为f在点X0的右导数，记作f X0 .类似的可定义左导数Iim =lim f 沧八 f xo O :.-J0 _ . ；： X . J0 _ . :X左导数和右导数统称为单侧导数 若函数y=f (X )在点X0的某右邻域上有定义，则定理5.2 f (0 )存在的充要条 件是f x0 )和L(x0 J都存在
18、，且仃 X。)=f_(X )导函数若函数在区间I上每一点都可导 对区间端点，仅考虑单侧极限 ，则称f为I上的可导函数。此时对每一个 I,都有f的一个导数f X或单侧导数 与之对应.称f在I上的导函数，也简称为导数 .记作 f,y,或 dy，即 dy = Iim LAX I.导数的几何意义f X在点X =X0的切线斜率k,正是割线斜率在X X0时的极限，J A 由导数的定义，k=f X ,所以曲线y = f XdX dX 艮0 也X即 k = IimXTX) X-X0在点x0,y0的切线方程是y-y0=f x0 -0 .这就是说：函数f 在点X0的导数f 0是曲线y=f X在点0, y0处的切线
19、斜率.若函数f在点X0的某邻域U X0内对一切X U X0有定义3f X0 - f X f X0 x为f在点X0的 微分，记作 dy zx = AAx或df （x ） X=XO = AAx.定理5.10函数f在点X0可微的充要条件是函数f在点X0可导，而且二y=Ax o X式中的A等于f X0 .可微函数若函数在定义区间上每一点都可微， 则称函数为可微函数.微分的运算法则1.d _ u X -VX = du X - dv X2.d u XV y =VXdUXUXdVXu（ x八 V XdU X - U X）dv（ X）3.d L 2 IV（X）丿 V2（ X）4.d HIgX = f X g XdXJgX .高阶微分dny = d dn 1y = d fYx dn = P Ii X dn. d nyd4 = fn ,高阶导数dx微分中值定理罗尔中值定理 若函数f满足如下条件：if在闭区间a,b上连续；iif在开区间a,b内可导；iiif a = f b ,则在a,b内
