1、用到的数学工具颇多，涉及到经典数学的各个领域。作为刚入学的研究生，学起来非常吃力。给我印象最深的是这门课程的期末考试。主讲老师出了三道考题，实行开卷考试（即可以带参考书入考场）。我们从上午 8点一直考到下午 3点多，用了7个多小时才陆续交卷。监考老师念我们没吃中饭，从家里带来些糖果给大家补充能量。这是我所经历过的时间最长的马拉松考试。凡是读过 Collin 教授书的人，对他在学术上的造诣和严谨都是十分佩服的。除“导波场论”外，他还有另外两部经典著作：“微波工程基础”和“天线与无线电波传播”3,4。这三部著作在电磁工程领域产生了深远影响，是从事应用电磁学研究的必读书籍。国内外电磁场与微波技术学科
2、的研究生大多采用它们作为教材或参考书。没有读过这些书的人是很难胜任今后相关领域工作的。在攻读学位期间，我花了大量时间和精力学习 Collin 的著作，为今后的科研打下了较为坚实的基础。这段时间与 Collin 教授有过一次通信来往。1987 年 9月博士毕业后，先后在东南大学和电子科技大学做博士后，得到著名微波专家章文勋教授，李嗣范教授和我国微波技术奠基人林为干院士的关心和指导。在两次博士后流动期间，大部分时间用来研读近代数学和物理学经典著作。1992 年 6月应邀前往加州大学伯克利分校（University of California at Berkeley）教授 K. K. Mei（梅冠香
3、教授）处访问，从事吸收边界条件的研究。访问即将结束时，电子科技大学校长刘盛纲院士写信要我回校参加破格教授答辩。我提前一个月结束了访问，于 1993 年 5 月初匆匆赶回学校。到校的第二天便参加答辩并顺利通过，之后留校工作。1998 年3月到加拿大滑铁卢大学（University of Waterloo）W. P. Huang（黄卫平教授）的课题组做了三个月的客座教授，从事光纤传输算法研究。1998年8月再次赴加拿大，在黑霉手机制造商 Research In Motion（RIM）从事手持终端天线设计工作，一做便是近十年。刚进公司的头三个月，完成了论文理想天线的福斯特定理和辐射 Q5。写这篇论文
4、的原因还要从 Collin 教授的一篇文章谈起。上个世纪六十年代后期，微波天线界的老前辈对天线的 Q 值进行过激烈的讨论。Collin 在 1967 年题为储能 Q 与平面口径天线的频率灵敏度的论文中写道6：It is well known （Fosters reactance theorem） that for a pure reactive network the frequency derivative of the input reactance or susceptance is proportional to the total average stored magnetic an
5、d electric energy. However; this is generally not true for an arbitrary reactive network terminated in a resistive load. Hence, one should not expect to be able to prove that such a result is universally true for antennas. Indeed, the slope of the input reactance of an antenna can be negative.Collin
6、 教授认为福斯特定理对天线是不成立的，这基本上是天线行业当时的共识。大家知道，电路理论里有著名的福斯特定理，即任意单端口无耗网络的输入电抗的斜率是正的。这个定理对一般的有耗电路并不成立。由于天线存在能量辐射，故可看作有耗电路，因此有理由推测福斯特定理对天线不成立。事实上，Collin教授做出上述判断还有其它依据：大量计算表明天线输入电抗的斜率可以是负的。在同一期杂志上还刊登了另一位著名天线专家，北卡罗来纳州立大学（North Carolina State University）教授 D. R. Rhodes 的文章，他在文章中写道7：I agree also with Collin that
7、one should not expect to be able to prove that an exact reciprocal relationship exists between the bandwidth and Q of antennas, anymore than that such an exact relationship exists for non-radiating systems. But I firmly believe that such an asymptotic relationship must exist for any complete radiati
8、ng system, just as surely as it does for non-radiating systems. The fact that the slope of the input reactance can be negative at some frequencies is immaterial; it is always positive at the only frequency （resonance） for which bandwidth and Q are defined.Rhodes 教授在上面提到了天线理论里的另一个问题，即天线带宽和天线 Q 值的关系问题
9、。众所周知，低频电路中带宽与 Q 值互为倒数。人们发现这个关系很难推广到辐射系统。因此 Rhodes 和 Collin 都认为这个关系是不可证明的。然而Rhodes 坚信这个关系对天线辐射系统是存在的。Rhodes 进一步认为，天线的输入电抗在某些频率点的斜率取负值并不是问题的关键，关键是它在谐振频率附近总是正的。两年后（1969 年）另一位天线专家，前 IEEE会刊天线与传播主编 R.L. Fante博士发表了经典论文一般理想天线的 Q值8。他在文中曾试图证明天线带宽与 Q 值互为倒数这一关系，但未能成功（见后面说明）。事实上著名微波天线专家，美国工程院院士 Wheeler博士后来（1975
10、年）在题为小天线的文章中说道9：The common expression for bandwidth in terms of 1/Q is neither logical nor helpful in clear exposition.因此天线的带宽和Q 值之间的关系在当时的确是个没有搞清楚的问题。刚进公司，我便发现手持终端天线带宽受到某些因素的制约，于是开始关注天线带宽与Q值的关系并着手研究Fante的工作。研究过程中发现其推导天线 Q值与带宽关系时用了一个错误的假定，即假定天线的端口（即参考面）的模式电流与频率无关（这个错误还经常出现在近期文献中）。事实上微波频段的所有物理参量都是与频率
11、有关的，天线端口的模式电压和模式电流也不例外。要说明这一点只须给出一个算例即可。图 1 为同轴口径天线，图 2（a）为该天线端口的模式电流幅值与频率的关系，图 2（b）为模式电压幅值与频率的关系。可以看出，天线端口的电压和电流都是随频率而变化的。发现了Fante的错误后，我开始思考如何严格证明天线Q值与带宽互为倒数的关系。在低频电路里证明 Q 值与带宽互为倒数最简单的方法是采用福斯特定理。因此首先想到的是先证明福斯特定理对天线成立（哪怕是近似成立也行）。这在当时是异想天开，是与天线领域的共识相违背的。然而不难发现福斯特定理对某些有耗电路的确成立。例如福斯特定理对简单的 RLC 级联电路是成立的
12、。由此可知无耗条件仅仅是福斯特定理成立的充分条件，而非必要条件。认识到这一点后，我着手推导天线的 RLC 等效电路。对于一个封闭的单端口系统，其 RLC等效电路的推导是十分简单的，大多数微波电路书籍都有介绍。对于一个开放的天线系统，其推导过程则变得较为复杂。由物理常识可知，等效 RLC 电路中的电阻 R 表示系统损耗，电感 L 表示系统磁储能，电容 C 表示系统电储能。对于封闭的单端口系统，总电能和总磁能均为有限值，因此 L 和 C 都是有限的。然而天线是个开放系统，周围的总电能和总磁能都是无穷大。为了推导天线的 RLC等效电路，必须解决这个无穷大问题（物理学里的无穷大问题是令物理学家最头疼的
13、问题）。事实上天线的总能量和天线的总辐射能量都是无穷大，一个合理的做法是将天线周围的储能定义为总能量减去总辐射能量，两个无穷大相减得到一个有限值，即为天线周围的储能。这个想法最早出现在 Counter 的 1948 年的文章中9。Collin 和 Rothschild 于 1964 年发表了题为天线 Q 的计算的经典论文11，文中沿用了 Counter 的思想来计算天线周围的储能，但没有计及天线外切球内的能量。1969年Fante在论文8中进一步推广了Collin和Rothschild的工作，但仍然没有考虑天线外切球内的储能。值得指出的是当忽略了天线外切球内的储能时，算得的天线Q值远远小于实际
14、Q值。为了得到天线的RLC等效电路参数，必须考虑天线外切球内的储能，否则所得到的等效电路参数没有实用价值。基于这一考虑，我从电磁理论出发，利用上述天线储能定义严格推导了发射天线的RLC 等效电路。得到天线的 RLC 等效电路后，天线的福斯特定理以及 Q 与带宽的关系就呼之欲出了。早在 1957 年，微波天线专家 Levis 就对天线的福斯特定理做过研究，发表了题为“天线的电抗定理”的论文12。1977年，Rhodes 又对天线的福斯特定理做了进一步研究，发表了论文“电抗定理”13。这两篇论文都错误地假定天线端口模式电流与频率无关，推得的输入电抗对频率导数的表达式过于复杂，从中得不出任何有意义的
15、结果。这导致人们普遍认为不管天线是否有欧姆损耗，福斯特定理对天线是不成立的。前面我们用一个具体算例说明了天线端口的模式电压和电流都是与频率有关的。其实还可从另外一个角度来认识这个问题。实际情况中天线总是通过波导来馈电的，而波导通常都假定工作在单模状态。当天线用来传递信号时，为了减少信号畸变，所有信号分量都必须限制在单模工作频率范围内。分析这类问题的第一步是采用傅立叶变换将问题转换到频率域来研究。因此所有物理量，包括端口模式电压和模式电流，都代表傅立叶变换。除非输入信号是脉冲，否则它们都是频率的函数。有趣的是 Rhodes 在1977年的文章中便假设端口电流是时间的函数。众所周知，脉冲含有宽广的
16、频率分量。它在波导中将激发大量高次模，使波导变成多模传输线，输入阻抗的定义于是变得不确定。这个错误的假设表明人们对波导的时域理论没有研究透彻，后面我们会回到这个问题上来。要推导天线输入电抗对频率导数的表达式必须摆脱端口模式电流与频率无关的假定。1960年，Fano，朱兰成和Adler 三人合作出版了一部优秀的著作电磁能量传输与辐射14。该书利用复变函数论中的柯西-黎曼条件推导了封闭的单端口无耗网络的福斯特定理，整个过程都是在复频域中进行，没有用到端口模式电流与频率无关的假定，这对我启发很大。通过采用复频域分析和Counter的储能计算方法，我最终证得福斯特定理对无耗的理想天线是成立的，而天线的
17、 Q值与带宽互为倒数的关系只是福斯特定理用于 RLC 等效电路的一个简单推论5。在论文5中，我们解决了天线理论中的四个难题：一是天线的等效RLC 电路推导；二是理想天线的福斯特定理；三是天线 Q 值与带宽互为倒数的证明；四是实际天线 Q 的计算，即天线实际 Q 值可由已知的天线输入阻抗计算而得。此文发表后，我意外地收到了素未谋面的Fante博士的来信。他在信中说道：I enjoyed reading the paper by you and your co-authors in the March 2000 issue of the IEEE Transactions on Antennas
18、and Propagation. For more than thirty years I had hoped that someone would tie up some of the loose ends in my 1969 paper. It seems you have done it. Good job! Fante 在信中说他很欣赏我们的文章，并说三十多年来一直盼望有人能解决他1969年论文中 8 存在的问题。他这里所说的问题是指推导天线带宽与 Q值关系时用到了天线端口模式电流与频率无关的假定。Fante博士是知道这个问题来龙去脉和症结所在的几位资深电磁科学家之一。然而论文5发表
19、后，引来很多质疑的声音。A. Yaghjian 博士和S. Best 博士就是其中的代表。 2003年 7月上旬，我在公司收到 Best 的电话留言，说他对论文5很感兴趣，并认为是很好的工作。Best 当时是 Cushcraft 天线公司总裁，现在美国军方工作。在以后的一个月内，我们通过电邮就怎样计算天线输入阻抗交换了看法。他给我寄来了用 NEC软件模拟的天线输入电抗曲线，显示出即便是理想天线也不满足福斯特定理。这也是天线工程领域大多数专家认为福斯特定理对天线不成立的主要原因。其实天线输入阻抗的计算要求对天线馈线即波导理论十分熟悉，这正是大多数天线教科书讨论天线时所忽略的地方。几乎所有的教材都
20、不将馈线看作天线的一部分，而是将馈线进行简化，其过程十分粗糙，使得天线输入阻抗的定义变得模糊不定。天线输入阻抗应定义为馈线工作在单模状态时天线端口的模式电压和模式电流之比。这里的单模假定是十分重要的，往往被天线工程师忽略。常犯的错误是在计算天线输入阻抗时不管馈线是否工作在单模状态，或假定馈线工作在单模状态而最后阻抗计算结果的频率范围超出单模工作频率范围，馈线变成多模传输线。当频率超出单模工作频率范围时，推导天线福斯特定理所做的单模假定不再成立，因此电抗曲线会出现负斜率。一些资深的天线专家也经常犯同样的错误。另一个常被天线工程师忽略的问题是天线输入端口位置的选择。为使天线端口处只存在单模，天线端
21、口要离开一切不连续性，否则天线在某些频率范围也不满足福斯特定理。考虑图 3 所示的双线馈电的偶极子天线。该天线的馈电线直接被偶极子天线照射，在靠近天线附近有大量的高次模，天线端口与天线的距离 L 必须大于天线单臂长度D。IEEE 天线学会终身会士，丹麦 Aalborg大学教授J. B. Andersen等在质疑论文5时用时域有限差分法计算了该天线的输入阻抗，如图 4（a）所示15。计算结果表明天线的输入电抗在频率为 1G 附近出现负斜率。然而，他们的计算结果完全是由于计算误差和天线端口位置选择不当引起的。图 4（b）给出了用矩量法（IE3D）算得的结果，显然双线馈电的偶极子天线输入电抗的斜率是
22、正的。更详细的讨论见16。电磁计算软件 NEC 是基于线模型和矩量法，为了分析简单起见，它去掉了天线馈线，而代之以电压源。天线馈线用电压源代替的前提是线天线的半径必须很小，理论上应为无穷小。故计算有限半径的线天线输入阻抗时不能将频率算得太高。而Best 的 NEC 计算结果都是将频率算得很高，违背了使用电压源的前提。我将他送来的结果进行重新计算并将线天线半径变小，发现所有结果都满足福斯特定理。因此 Best 的计算结果完全是由于忽视了电压源的使用前提所致。类似的错误出现在很多经典教科书和大量的科技文献中。例如 Balanis 的教材中就有这样的例子17。该书图9.15给出了折叠振子的输入电抗，
23、为方便起见示于图5（a）。显然电抗曲线出现负斜率，计算结果不满足福斯特定理，原因是导线的半径太粗或频率范围太广。要在如此宽的频率范围内采用电压源计算天线输入阻抗，必须假定导线很细。图 5（b）是利用同样公式重新计算所得结果，可看出福斯特定理是成立的。与 Best 讨论的同时，我与 Collin 教授就天线输入阻抗的计算问题进行了广泛深入的探讨。他当时已是 75岁高龄，还亲自使用 MININEC 软件做数值计算。下面的文字和图片是从他给我寄来的PDF文件中摘录下来的：I also used MiniNEC to compute the current distribution on a dipo
24、le antenna 0.9 wavelengths long using both a localized source and for a uniform incident electric field acting along the whole dipole. For this case I found two current distributions were quite different and the polar patterns were also quite different. Thus the longer dipole antenna does not scatte
25、r with the same polar pattern as it has when used for transmission. For this case I believe it would be necessary to compute the scattered field from the short circuited antenna and then superimpose a transmitted field component in order to obtain the total scattered field and the correct scattered
26、power. A knowledge of the port currents alone will not enable us to know the current distributions on the long dipole. I have included a sketch of the current distribution on the long dipole antenna for the two excitations as well as sketches of the polar field patterns for the transmitting and scat
27、tering cases.图 5 （a）折叠振子的输入电抗（引自17图9.15）. （b）折叠振子的输入电抗图 6 Collin 教授用 MININEC 算得的偶极子天线电流分布和方向图Collin 教授的上述见解对我们了解发射天线与接收天线的区别是很有帮助的。接收天线的工作过程比发射天线复杂。接收天线在入射波照射后会产生散射，散射场中包括接收天线的再次辐射场和接收天线短路后的散射场。我在 RIM 公司做的第一个产品是电邮机的内置双馈收发天线。由于难度较大，经常和技术员加班到深夜，亲自刻制调试天线和焊接匹配电路元件。经过数年的努力积累了一定的实践经验，研发的天线由最初的单频段发展到双频段，三频段和四频段。这些天线产品的性能都很不错，比国际同类产品好得多。但当时深感天线理论知识贫乏，在教科书中找不到天线的一般性理论，于是决定自己探索。2003年，IEEE会刊天线与传播第八期同时刊登了我的两篇文章，题目分别为“天线的物理限制”18和“电小天线的 Q 值计算”19。第一篇文章回答的问题是当天线的最大尺寸给定后，能获得的最大可能天线增益带宽积是多少。这个问题的研究最
