1、新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,第 2 课时,排列与组合,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,2014考纲下载理解排列、组合的概念能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式能解决简单的实际问题,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,请注意！排列、组合问题每年必考以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分 类讨论的思想及解决问题的能力以选择、填空的形式考查，或在解答题中和概率相结合 进行考查.,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,新
2、课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,1两个概念排列从 n 个不同元素中取出m 个元素(mn)，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列组合从 n 个元素中取出 m 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个组合,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,2两个公式(1)排列数公式,n,Am,规定 0！1.(2)组合数公式,C,m,n,.,n,规定 C0,n(n1)(n2)(nm1),n n1,n2 nm1 m！,n！.,nm！,n！,m！nm！,1.,新课标版 高三数学（理
3、）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,3组合数的两个性质,m,(1)Cn,；,(2)C,m,n 1,.,C,n m,n,C,m 1,n,C,m,n,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,1下列等式不正确的是(,),n,AC,C,mnm,n,n,BCm,Am,n,n！,C(n2)(n1)A,m,n,A,m2,n2,DC,r,n,C,r1,n1,C,r,n1,n,解析Cm,答案BAm,n,m！,.,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,2从 1,2,3,4,5,6 六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一
4、个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有(),B24 个D54 个,A9 个C36 个 答案D,33,解析选出符合题意的三个数有 C1C29 种方法，每三个数,3,可排成 A36 个三位数，,共有 9654 个符合题意的三位数,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,3(2012北京)从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(),A24C12,B18D6,答案B解析若选 0，则 0 只能在十位，此时组成的奇数的个数是,3,A2；若选 2，则 2 只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是,3,2A212，
5、根据分类加法计数原理得总个数为 61218.,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,4为了应对欧债危机，沃尔沃汽车公司决定从 10 名办公室工作人员中裁去 4 人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的 裁员方案的种数为 答案182,28,解析甲、乙中裁一人的方案有 C1C3种，甲、乙都不裁的,方案有 C4种，故不同的裁员方案共有 C1C3C4182 种8288,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,5(2013重庆)从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内
6、科医生都至少有 1 人的选派方法种数是(用数字作答)答案590解析按每科选派人数为 3,1,1 和 2,2,1 两类当选派人数为 3,1,1 时，有 3 类，共有C3C1C1C1C3C1C13453453,45,C1C3200(种),当选派人数为 2,2,1 时，有 3 类，共有C2C2C1C2C1C2C13453453,45,C2C2390(种),故共有 590 种,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,例 1(1)解方程,x,A7A5,Ax,x589.,1,C,3,n,(2)解
7、不等式,12,CC,nn,45.,n,【思路】(1)可直接使用公式 Am,n！,nm！,.,(2)使用阶乘形式的组合数公式求解,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,【解析】,A7,x,(1)原方程可化为 x90，A5,x！x5！,x7！x！,90.(x6)(x5)90.,解得 x15 或 x4(舍)经检验 x15 是原方程的解,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,(2)原不等式可化为,3！n3！4！n4！25！n5！,n！n！n！,，,(n3)(n4)4(n4)254，即 n211n120，解得1n12.又nN*且
8、 n5，n5,6,7,8,9,10,11.【答案】(1)x15(2)n5,11且 nN*,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,探究 1运用排列数、组合数公式证明等式时，一般用阶乘式运用排列数、组合数公式计算具体数字的排列数、组合数时 一般用展开式，直接进行运算,x,8,x2,8,思考题 1(1)解不等式 A 6A.,(2)计算：C2C2C2.2310,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,【解析】(1)原不等式可化为 8,8！8！,x！x！,6 10，,(10 x)(9x)6，即 x219x840，7x12.又x8
9、且 x20.2x8.又 xN*，x8.(2)C2C2C2C223410C3C2C2C233410C3C2C24410C3C2C25510,11,C3 165.,【答案】(1)x8,(2)165,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,例 27 位同学站成一排：站成两排(前 3 后 4)，共有多少种不同的排法？其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的 排法有多少种？,新课标版 高三数学（理）,课前自助
10、餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？【思路】本题是有关排列的一道综合题目，小题比较多，包括排列中的各种方法和技巧，请同学们认真思考,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,7,【解析】(1)站成两排(前 3 后 4)，共有 A7种不同的排法；,6,(2)其中甲站在中间的位置，共有 A6种不同的排法；,(3)甲、乙只能站在两端的排法共有 A2A5种；
11、,25(4)甲不排头、乙不排尾的排法共有：,6,方法一：甲站排尾；共有 A6种不同的排法；,555,甲不站排尾，共有 A1A1A5种不同的排法；,故共有 A6A1A1A5种不同的排法；6555,7,方法二：7 位同学站成一排，共有 A7种不同的排法；,6,甲排头，共有 A6种不同的排法；,6,乙排尾，共有 A6种不同的排法；,5,甲排头且乙排尾，共有 A5种不同的排法；,故共有 A72A6A5种不同的排法765,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,(5)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余,6,的 5 个元素(同学)一起进行全排列有 A6种
12、方法；再将甲、乙两个,2,同学“松绑”进行排列有 A2种方法，所以这样的排法一共有,A6,6,2,A21 440 种,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,(6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有：方法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此 时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其,5,余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾，有 A2种方法；,4,将剩下的 4 个元素进行全排列有 A4种方法；最后将甲、乙两个,同学“松绑”进行排列有 A2种方法，所以这样的排法一共有 A225,42,A4A2960
13、 种方法,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,方法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素,5,若丙站在排头或排尾有 2A5种方法，所以丙不能站在排头和,排尾的排法有(A62A5)A2960 种方法652方法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此 时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其,4,余的四个位置选择共有 A1种方法,5,再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A5种方法，最后将甲、,452,乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有 A1A5A2960 种方,法,新课标版 高三数学（理）,课前
14、自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有：方法一：(排除法)A7A6A23 600(种)762,5,方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A5种方法，此时,他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有 A2种方法，所以一共有 A5A23 600 种方法656(8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有：,4,先将其余四个同学排好有A4 种方法，此时他们留下五个,5,“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有 A3种,45,方法，所以一共有 A4A31 440 种,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以
15、渔,自助餐,课时作业,高考调研,(9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有：,7,7 位同学站成一排，共有 A7种不同的排法；,53,甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有 A5A3720 种,故共有 A7A5A3种不同的排法753(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法：先排甲、乙、丙之外,4,的 4 人，共有 A4种排法，产生 5 个“空”再将甲乙(视为一个元,素)与丙排入有 A2种，再将甲、乙全排，有 A2，共有 A2A4A2种52245A7,2,(11)(消序法)共有7种,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,(1)A7,7,(2)A6,6,(3)A2A5
16、,55,(4)3 720,【答案】(5)1 440,(6)960,(7)3 600,(8)1 440,(9)4 320,(10)960,1,7,(11)2A7,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,探究 2涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊元素的排法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素或其他位置(这种方法称为元素分析法或位置分析法)；或者，先求出不加限制条件的排列数，再减去不符合条件的排列数(也叫做间接法或 排除法)，这是解排列题的基本策略所谓“捆绑法”与“插空 法”，实际上都是特殊元素(位置)特殊考虑的结果本题中要求 相邻(或连排)的是特殊元素，
17、先把他们捆绑处理，要求两两不相 邻的需要用“插空法”,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,思考题 2(1)(2013北京)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张如果分给同一人的 2 张参观 券连号，那么不同的分法种数是【解析】5 张参观券分成 4 份，1 份 2 张，另外 3 份各 1张，且 2 张参观券连号，则有 4 种分法，把这 4 份参观券分给 4,4,人，则不同的分法种数是 4A496.,【答案】96,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,(2)从 1,2,3,4
18、,5,6,7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为【解析】因为奇数有 4 个，偶数有 3 个，所以要想从取出 的四个数字中组成四位数且是奇数，个位数字必须是奇数，因而,4323,这样的奇数有 C2C2C1A3216.,【答案】216,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,(3)有两排座位，前排11 个座位，后排12 个座位现安排2人就座，规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相 邻，那么不同排法的种数有【解析】前排中间 3 个座位不能坐，实际可坐的位置前排 8 个，后排 12 个,8122,两人一个
19、前排，一个后排，方法数为 C1C1 A2；,两人均在后排，共 A2 种，还需排除两人相邻的情况：A11211A2，即 A2 A1 A2；212112,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,442,两人均在前排，又分两类：a.两人一左一右，为 C1C1A2，,b.两人同左或同右时，有 2(A2A1A2)种432综上，不同排法的种数为 C1C1 A2(A2 A1 A2)C1C1A28122121124422(A2A1A2)346.432【答案】346,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,例 37 名男生 5 名女生中选取
20、 5 人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？,(1)A，B 必须当选；(3)A，B 不全当选；,(2)A，B 必不当选；(4)至少有 2 名女生当选；,(5)选取 3 名男生和 2 名女生分别担任班长、体育委员等 5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担 任,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,【解析】(1)由于 A、B 必须当选，那么从剩下的 10 人中,10,选取 3 人即可，有 C3 120 种,(2)从除去的 A、B 两人的 10 人中选 5 人即可，,10,有 C5 252 种,(3)全部选法有 C5 种，A、B 全当选有
21、 C3 种，1210故 A，B 不全当选有 C5 C3 672 种1210,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,注意到“至少有 2 名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，有 C5 C1C4C5596 种选法12577分三步进行：,75,第一步：选 1 男 1 女分别担任两个职务为 C1C1；,64,第二步：选 2 男 1 女补足 5 人有 C2C1种；,3,第三步：为这 3 人安排工作有 A3.,由分步乘法计数原理共有,75643,C1C1C2C1A312 600 种选法,(1)120(2)252(3)672,(4)596,【答案】(
22、5)12 600,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,探究 3有限制条件的组合问题的解题思路同样要从限制条件入手因组合问题只是从整体中选出部分即可相对来说较简 单常见情况有：某些元素必选某些元素不选把元素分组，根据在各组中分别选多少，分类排除法,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,有 4 个不同的球，四个不同的盒子，把球全部,思考题 3放入盒内,共有多少种做法？恰有一个盒子不放球，有多少种放法？恰有一个盒内放 2 个球，有多少种放法？恰有两个盒子不放球，有多少种放法？,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔
23、,自助餐,课时作业,高考调研,【解析】(1)一个球一个球的放到盒子里去，每只球都有 4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44256(种)(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意,4,拿出去 1 个，即将 4 个球分成 2,1,1 的三组，有C2种分法；然后,再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可由分步乘法计数原理知，共有放法,4432,C1C2C1A2144(种),新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,(3)“恰有一个盒子内放 2 个球”，即另外的三个盒子放 2个球，每个盒子至多放 1 个球，即另外三个盒子中
24、恰有一个空盒因此，“恰有一个盒子放 2 球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事故也有 144 种放法,4,(4)先从四个盒子中任取两个有 C2种，问题转化为：“4 个,球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可 分为(3,1)，(2,2)两类第一类：可从4 个球中先选 3 个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C3C1种放法；第二类：有 C2种放424法因此共有 C3C1C214(种)由分步乘法计数原理得“恰有424,两个盒子不放球”的放法有 C21484(种),【答案】(1)256,4(2)144(3)144(4)84,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作
25、业,高考调研,例 4有五张卡片，它们的正、反面分别写着 0 与 1,2 与 3,4与 5,6 与 7,8 与 9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？【解析】方法一：(直接法)从 0 与 1 两个特殊值着眼，可分三类：,4,取 0 不取 1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有 C1种,2,选法；0 可在后两位，有 C1种方法；最后剩下的三张中任取一张，,3,有 C1种方法；又除含 0 的那张外，其他两张都有正面或反面两,423,种可能，故此时可得不同的三位数有 C1C1C122(个),新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,取
26、1 不取 0，同上分析可得不同的三位数 C222A3(个)430 和 1 都不取，有不同的三位数 C323A3(个)43综上所述，共有不同的三位数：C1C1C122C222A3C323A3432(个)4234343,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,方法二：(间接法),任取三张卡片可以组成不同的三位数,C323A3(个)，其中 0 在百位的有 C222A2(个)，这是不合题意的，5342故共有不同的三位数：C323A3C222A2432(个)5342,【答案】,432,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,探究 4
27、解排列组合的应用题，要注意三点：仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；要按元素的 性质分类，按事件发生的过程进行分步深入分析，周密思考，分清是乘还是加，既不少也不多，多角度分析，全面考虑，提高逻辑推理能力对有附加条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题，然后再用分类计数原理或分步计数原理求解,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,思考题 4(1)(2012山东)现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4 张从中任取3 张，要求这3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同
28、取法的种数 为,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,【解析】分两种情况：不取红色卡片，有 C3 3C3各或 C1C1C1C1C2C1C1(种)1244443424取红色卡片 1 张，有 C1C2 种或 C1(3C2C2C1C1)(种)41244344所以不同的取法有 C3 3C3C1C2 472(种)124412【答案】472,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,(2)由 0,1,3,5,7 这五个数字组成的无重复数字且 0 与 3 不相邻的五位数的个数为,【解析】可采用排除法，不考虑 0 和 3 的要求，共有 C
29、1A4,44,96 个五位数，从中排除 0 和 3 相邻的情况因为 0 不能作为,3,首位，所以分两类，第一类首位是3，共有 A3种，第二类首位不,是 3，共有 C1A2A3种.96A3C1A2A354，故选 B.3233323【答案】54,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,1解排列组合题的“16 字方针，12 个技巧”：“16 字方针”是解排列组合题的基本规律，即：有序排 列、无序组合；分类为加、分步为乘“12 个技巧”是速解排列组合题的捷径即：,相邻问题捆绑法；多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法；,不相邻问题插空法；定序问题倍缩法；有序
30、分配问题分步法；交叉问题集合法；,至少(至多)问题间接法；局部与整体问题排除法；,选排问题先取后排法；复杂问题转化法,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,计数重复或遗漏的原因在于分类、分步的标准不清，一般来说，应检查分类是否按元素(或特殊元素)的性质进行的，分 步是否按事件发生的过程进行的画示意图是寻找解题途径的有效手段,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,1某单位要邀请 10 位教师中的 6 位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加
31、，则邀请的不同方法有(),A84 种C112 种,B98 种D140 种,答案,D解析由题意分析不同的邀请方法有：,C1C5C611228140(种)288,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,2若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能,),B19 种D9 种,出现错误的种数是(A20 种C10 种 答案B,解析“error”由 5 个字母组成，其中 3 个相同，这相当于 5个人站队，只要给e、o 选定位置，其余三个相同的字母 r，位置 固定，即所有拼写方式为 A2，error 拼写错误的种数为：A215519.,新课标版 高三数学（理）
32、,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,3安排 7 位工作人员在 10 月 1 日到 10 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在 10 月 1 日和 10 月 2 日的 不同的安排方法共有 种答案2 400,55,解析共有 A2A52 400 种不同的安排方法,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,4若三位正整数如“abc”满足 ac，则这样的三位数称为凸数(如 120,121,352)，那么所有的三位凸数的个数为 答案240解析a、b、c 无重复数字时可组成凸数，A2C3 C22042109,10,个；a、b、c 有重复数字
33、时有 C2 936 个，故共有 240 个,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,5(2014昆明模拟)新学期开始，某校接受 6 名师大毕业生到校学习学校要把他们分配到三个年级，每个年级 2 人，其中 甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为 答案9解析先安排高三年级，从除甲、乙、丙的 3 人中选 2 人，有 C2种选法；再安排高一年级，有 C1种方法，最后安排高二年33级，有 C2种方法，由分步乘法计数原理，得共有 C2C1C29 种2332安排方法,新课标版 高三数学（理）,课前自助餐,授人以渔,自助餐,课时作业,高考调研,6某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班，选课结束后，有 4 名同学要求改修数学，但每班至多可再接收 2名同学，那么不同的分配方案有 种 答案54解析依题意，就要求改修数学的 4 名同学实际到三个班
