1、中考九年级证明圆的切线例题方法解析切线证明法一、若直线l过O上某一点A，证明l是O的切线，只需连OA，证明OAl就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与O相切.证明：连结OE，AD. AB是O的直径， ADBC. 又AB=BC， 3=4. BD=DE，1=2. 又OB=OE，OF=OF， BOFEOF（SAS）. OBF=OEF. BF与O相切， OBBF. OEF=900. EF与O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD是BAC的
2、平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与O相切.证明一：作直径AE，连结EC. AD是BAC的平分线， DAB=DAC. PA=PD， 2=1+DAC. 2=B+DAB， 1=B. 又B=E， 1=E AE是O的直径， ACEC，E+EAC=900. 1+EAC=900. 即OAPA. PA与O相切.证明二：延长AD交O于E，连结OA，OE. AD是BAC的平分线， BE=CE， OEBC. E+BDE=900. OA=OE， E=1. PA=PD， PAD=PDA. 又PDA=BDE, 1+PAD=900 即OAPA. PA与O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解
3、题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC，AB是O的直径，O交BC于D，DMAC于M求证：DM与O相切.证明一：连结OD. AB=AC， B=C. OB=OD， 1=B. 1=C. ODAC.D DMAC， DMOD. DM与O相切证明二：连结OD，AD. AB是O的直径， ADBC. 又AB=AC, 1=2. DMAC， 2+4=900C OA=OD， 1=3. 3+4=900. 即ODDM. DM是O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.例4 如图，已知：AB是O的直径，点C在O上，且CAB=300，BD=O
4、B，D在AB的延长线上.求证：DC是O的切线证明：连结OC、BC. OA=OC， A=1=300. BOC=A+1=600. 又OC=OB， OBC是等边三角形. OB=BC. OB=BD， OB=BC=BD. OCCD. DC是O的切线.说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB是O的直径，CDAB，且OA2=ODOP.求证：PC是O的切线.证明：连结OC OA2=ODOP，OA=OC， OC2=ODOP， . 又1=1， OCPODC. OCP=ODC. CDAB， OCP=900. PC是O的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例
5、6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出CFG的外接圆，但CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CEOC即可得解.证明：取FG中点O，连结OC. ABCD是正方形， BCCD，CFG是Rt O是FG的中点， O是RtCFG的外心. OC=OG， 3=G， ADBC， G=4. AD=CD，DE=DE， ADE=CDE=450， ADECDE（SAS） 4=1，1=3. 2+3=900, 1+2=900. 即CEOC. CE与CFG的外接圆相切二、若直线l与O没有
6、已知的公共点，又要证明l是O的切线，只需作OAl，A为垂足，证明OA是O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，D与AB切于E点.求证：AC与D相切.证明一：连结DE，作DFAC，F是垂足. AB是D的切线， DEAB. DFAC， DEB=DFC=900. AB=AC， B=C. 又BD=CD， BDECDF（AAS） DF=DE. F在D上. AC是D的切线证明二：连结DE，AD，作DFAC，F是垂足. AB与D相切， DEAB. AB=AC，BD=CD， 1=2. DEAB，DFAC， DE=DF. F在D上. AC与D相切.说明：证明一是通过证明三角
7、形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例8 已知：如图，AC，BD与O切于A、B，且ACBD，若COD=900.求证：CD是O的切线.证明一：连结OA，OB，作OECD，E为垂足. AC，BD与O相切， ACOA，BDOB. ACBD， 1+2+3+4=1800. COD=900， 2+3=900，1+4=900. 4+5=900. 1=5. RtAOCRtBDO. . OA=OB， . 又CAO=COD=900， AOCODC， 1=2. 又OAAC，OECD, OE=OA. E点在O上. CD是O的切线.证明二：连结OA，OB，作O
8、ECD于E，延长DO交CA延长线于F. AC，BD与O相切， ACOA，BDOB. ACBD， F=BDO. 又OA=OB， AOFBOD（AAS） OF=OD. COD=900， CF=CD，1=2. 又OAAC，OECD， OE=OA. E点在O上. CD是O的切线.证明三：连结AO并延长，作OECD于E，取CD中点F，连结OF. AC与O相切， ACAO. ACBD， AOBD. BD与O相切于B， AO的延长线必经过点B. AB是O的直径. ACBD，OA=OB，CF=DF， OFAC， 1=COF. COD=900，CF=DF， . 2=COF. 1=2. OAAC，OECD， OE
9、=OA. E点在O上. CD是O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明1=2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明1=2.证明三是利用梯形的性质证明1=2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点切线的性质定理的推论: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连
10、线平分两条切线的夹角。一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径【例1】如图1，已知AB为O的直径，点D在AB的延长线上，BDOB，点C在圆上，CAB30求证：DC是O的切线思路：要想证明DC是O的切线，只要我们连接OC，证明OCD90即可证明：连接OC，BCAB为O的直径，ACB90CAB30，BCABOBBDOB，BCODOCD90DC是O的切线【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线【例2】如图2，已知AB为O的直径，过点B作O的切线B
11、C，连接OC，弦ADOC求证：CD是O的切线思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理欲证明CD是O的切线，只要证明ODC90即可证明：连接ODOCAD，13，24OAOD，1234又OBOD，OCOC，OBCODCOBCODCBC是O的切线，OBC90ODC90DC是O的切线【例3】如图2，已知AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D求证：AC平分DAB思路：利用圆的切线的性质与圆的切线垂直于过切点的半径证明：连接OCCD是O的切线，OCCDADCD，OCAD12OCOA，1323A
12、C平分DAB【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线【例4】 如图1，B、C是O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CDAB于D，ACD=2BAC是O的切线吗？为什么？解：AC是O的切线理由：连接OC，OC=OB，OCB=BCOD是BOC的外角，COD=OCB+B=2BACD=2B，ACD=CODCDAB 于D，DCO+COD=90DCO+ACD=90即OCACC为 O上的点，AC是O的切线【例5】 如图2，已知是ABC的外接圆，AB是的直径，D是AB的延长线上的一点，AEDC交D
13、C的延长线于点E，且AC平分EAB求证：DE是O的切线证明：连接OC，则OA=OC， CAO=ACO，AC平分EAB，EAC=CAO=AC，AECO，又AEDE，CODE，DE是O的切线二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】 如图3，AB=AC，OB=OC，O与AB边相切于点D证明:连接OD，作OEAC，垂足为EAB=AC,OB=OCAO为BAC角平分线，DAO=EAOO与AB相切于点D，BDO=CEO=90AO=AOADOAEO，所以OE=ODOD是O的半径，OE是O的半径O与AC 边相切【例7】 如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径
14、的O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与O相切.证明：连结OE，AD. AB是O的直径， ADBC. 又AB=BC， 3=4. BD=DE，1=2. 又OB=OE，OF=OF， BOFEOF（SAS）. OBF=OEF. BF与O相切， OBBF. OEF=900. EF与O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 【例8】如图，AD是BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与O相切.证明一：作直径AE，连结EC.AD是BAC的平分线， DAB=DAC. PA=PD， 2=1+DAC. 2=B+DAB， 1=B. 又B=E， 1=E
15、AE是O的直径， ACEC，E+EAC=900. 1+EAC=900. 即OAPA. PA与O相切.证明二：延长AD交O于E，连结OA，OE. AD是BAC的平分线， BE=CE， OEBC. E+BDE=900. OA=OE， E=1. PA=PD， PAD=PDA. 又PDA=BDE, 1+PAD=900 即OAPA. PA与O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.【例9】如图，AB=AC，AB是O的直径，O交BC于D，DMAC于M求证：DM与O相切.证明一：连结OD. AB=AC， B=C. OB=OD， 1=B. 1=C. ODAC.D DMAC，
16、DMOD. DM与O相切证明二：连结OD，AD. AB是O的直径， ADBC. 又AB=AC, 1=2. DMAC， 2+4=900C OA=OD， 1=3. 3+4=900. 即ODDM. DM是O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.【例10】 如图，已知：AB是O的直径，点C在O上，且CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是O的切线证明：连结OC、BC. OA=OC， A=1=300. BOC=A+1=600. 又OC=OB， OBC是等边三角形.D OB=BC. OB=BD， OB=BC=BD
17、. OCCD. DC是O的切线.说明：此题解法颇多，但这种方法较好.【例12】 如图，AB是O的直径，CDAB，且OA2=ODOP.求证：PC是O的切线.证明：连结OC OA2=ODOP，OA=OC， OC2=ODOP， . 又1=1， OCPODC. OCP=ODC. CDAB， OCP=900. PC是O的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的【例13】 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出CFG的外接圆，但CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CEO
18、C即可得解.证明：取FG中点O，连结OC. ABCD是正方形， BCCD，CFG是Rt O是FG的中点， O是RtCFG的外心. OC=OG， 3=G， ADBC， G=4. AD=CD，DE=DE， ADE=CDE=450， ADECDE（SAS） 4=1，1=3. 2+3=900, 1+2=900. 即CEOC. CE与CFG的外接圆相切二、若直线l与O没有已知的公共点，又要证明l是O的切线，只需作OAl，A为垂足，证明OA是O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”【例14】 如图，AB=AC，D为BC中点，D与AB切于E点.求证：AC与D相切.证明一：连结DE，作DFAC，F是垂足. A
19、B是D的切线， DEAB. DFAC， DEB=DFC=900. AB=AC， B=C. 又BD=CD， BDECDF（AAS） DF=DE. F在D上. AC是D的切线证明二：连结DE，AD，作DFAC，F是垂足. AB与D相切， DEAB. AB=AC，BD=CD， 1=2. DEAB，DFAC， DE=DF. F在D上. AC与D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.【例15】 已知：如图，AC，BD与O切于A、B，且ACBD，若COD=900.求证：CD是O的切线.证明：连结OA，OB，作OECD于E，延长DO交CA延长线于F. AC，BD与O相切， ACOA，BDOB. ACBD， F=BDO. 又OA=OB， AOFBOD（AAS） OF=OD. COD=900， CF=CD，1=2. 又OAAC，OECD， OE=OA. E点在O上. CD是O的切线.
