1、和差倍综合应用题错题分析 开题报告1本科生毕业论文(设计)开题报告论文题目：小学生“和差倍”应用题错题分析 院 系 学生姓名 学 号 指导教师 年 月 日一、选题的目的、意义及可行性1、选题的背景1980年全美教师数学协会（NCTM)在一份文件中提出了“必须把问题解决作为80年代中学数学的核心”的口号，并且主张“在解决问题方面的成绩如何，将是衡量数学教育成效的有效标准。”至此，问题解决似乎成了国际数学教育界的一大趋势。甚至有的学者认为有关数学问题解决的研究“它不是一时一地的权宜之计，而是历史的必然，符合时代潮流的明智之举。”而数学应用题是数学教育中的重点，又是数学教育中的难点。无论是外国的教育
2、还是国内的教育都发现，很多学生存在不同程度解决应用题的困难。因此国外学者一直认为数学应用题研究是数学问题解决研究的中心课题，十余年来，国外学者针对应用题解决这一课题、数学教育学、心理学家进行了大量的研究，发表了大量的研究文章、许多专著和文集，提出了许多精辟的见解，对培养和发展学生能力，推动数学教育改革很有学习和借鉴意义。三年级是学习数学的转折阶段，这个时候不同于以往一二年级的学习。以前都是摆摆小棒，熟记乘法口诀就可以解决大部分数学题。可是到了三年级，尤其是文字应用题，对于学生的要求十分高的。比如文中的主题：和倍、差倍、和差应用题、学生们不管练习了多少遍都是错误率极高的。而和差倍综合在数学学习中
3、的意义又十分重大，为以后的解方程做了良好的铺垫。数学应用题是小学数学教学的重要内容之一，数学应用问题解决是数学问题解决中的重点和难点。作为数学教学中的一个很重要的环节，它涉及到数学建模的过程，一个应用题的成功解决需要学生的很多认知能力的参与，同时又受多种因素的影响。学生的数学应用题的解题正确率，直接决定其数学的考试成绩，而数学应用题的理解水平是学生正确解应用题的关键。随着小学生成绩的下降，我们不得不反思。究其原因，试题难度的增加其很大的一部分原因。像诸如和差倍这种问题对学生的要求越来越高，我们不得不想学生在此会产生什么样的错误，我们又能够为避免这些错误做些什么。2、选题的目的和意义小学数学教学
4、的目的，不仅为了锻炼学生的抽象思维能力，也着力培养学生的实践能力。因此，新课程标准指出，数学教学，要紧密联系学生的生活实际，希望学生能够通过课堂的数学应用题教学，从而解决生活中遇到的实际问题。因此，在小学阶段，数学应用题部分，既是难点，也是重点。随着课程改革的深化，小学生课本的难度日益加大，应用题的比重越来越大，学生们成绩的差距也十分显著。因此本研究以和差倍综合应用题为基点，考察低三年级小学生在解决这类应用题时出现的错误，通过分析小学生和倍、差倍、和差应用题错题的过程,探讨小学生在这类应用题的出现错误的类型及原因。，以期为小学的数学应用题教学提供一些有益的建议，更好的帮助小学生掌握和倍、差倍、
5、和差应用题的解题技巧，提升三年级学生的数学建模水平，改善他们对于数学知识的整体把控能力。 三年级是小学数学学习中的过渡阶段，是学生开始从具体形象思维到抽象概括思维的转变阶段。以往一二年级的应用题与实际生活联系极强，所以学生学习起来比较容易，且不费力。但是到了三年级，应用题中数与数之间的联系并不像我们生活中出现的那样，十分显而易见。而是需要我们在做题的过程中自己去建立量与量之间的关系。和倍、差倍、和差应用题就比较显著的体现了这一特点。到了这一模块，绝大多数老师在教学过程中都会要求学生画图解决问题。而画图的过程，也就是找数与数之间的联系，将题目中所给条件真正消化的过程。而画图解决问题，也是解决数学
6、应用题中 十分有利的法宝，在今后的学习中十分重要。所以学习和倍、差倍、和差应用题中，打好画图解决应用题的基础是十分重大的意义。3、选题的可行性小学生数学成绩低分化已成为各个学校教育中普遍存在的问题。应用题得分流失的现象在各个年龄阶段都较为普遍。很多学生甚至会在考试过程中将应用题的部分空出来，直接放过不答。有研究表明小学的数学成绩不及格率一直呈上升趋势。数学作为学校教育阶段的基础学科，又是一门结构性、逻辑性很强的学科，在教学中占有十分重要的地位。而随着学生年级的升高。会越学越困难，甚至还可能会越来越严重，因此对数学应该给予足够的重视。并且和倍、差倍、和差应用题涉及到找一倍量的问题，找准一倍量在以
7、后学习用方程解决问题中也是十分有必要的。所以一定要在学生刚学习这一问题时，为学生们打好基础。在首都师范大学附属小学实习的过程中，通过研读小学课本，发现小学数学课本中应用题比重十分大，而学生们会出现的错误多种多样。和差倍综合问题在课本中在学生练习时出现的较多，便于搜集整理学生错题。同时，实习学校的教师也积极配合研究，工作。他们对于数学教材的把握更加精准，对学生的实际情况了解深入，十分利于研究的顺利进行。当然，由于空间和时间的局限性，可能会导致研究有些片面。二、本题的研究现状及开题前的准备工作1、本题的研究现状（文献综述）（一）、课题研究内容的界定（1） 和差倍综合应用题的概念界定 陈英和、仲宁宁
8、等人（2003）指出，文字应用题是一种与实际生活情境相联系，要求主体选择运算形式并执行计算以解决问题的任务。它是数字题的延伸和拓展，这类题目不仅可以锻炼学生的计算能力，更重要的是在接近现实的情境中锻炼学生的数学判断和推理能力，从而达到培养学生数学思维和提高现实问题解决技巧的目的。 和倍应用题：已知两个数的和及较大数与较小数的倍数关系，要求这两个数，通常是将较小数看作一倍量，较大数就是多倍量，这样就可知两个数的总和是较小数的多少倍了，进而可以求出较小的数，再求出较大的数。差倍应用题：已知大小两数的差以及大小两数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，我们通常叫做差倍问题。差倍问题与和倍问题类似，解
9、差倍问题的关键是要确定两个数的差及相对应的倍数差。一般情况下，题目中不会直接给出这些数量，需要经过调整和计算才能得到。和差应用题：已知大小两个数的和与这两个数的差，求两个数各是多少的应用题，我们通常叫做和差问题。解决这类应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式，有些应用题明确给出这两个数的差，有些应用题将两个数的差“暗藏”起来，我们把暗藏的差叫“暗差”。（2）和差倍综合应用题的类型界定 和差倍综合应用题类型的划分没有统一的标准，都是研究者根据实际的数学试题的表述方式、试题的内容、结构的完整性来划分，主要有以下几种分类： “信息完整并直接的和倍、差倍、和差应用题”是题目中直接给出和（差）及
10、倍数关系应用就可以解答的问题，这是比较简单的和差倍综合应用题，题目中直接给出了各种学生需要的数据，这时，只需要学生将题目中的信息转化为自己理解的信息，画出示意图来，题目就会很容易解决。 “未直接给出所需信息的和倍、差倍、和差应用题”是题目中并未给出我们想要的和、差、倍数关系，而是将某一信息隐藏起来，需要我们将他挖掘出来。以下是详细介绍。在和倍问题中，有一类型是不给出两者的和（a+b,其中a是较小数，b是较大数），而是给出多个两者之和（na+nb,其中n表示几个)这时就需要我们用一步除法，求出我们想要的和；还有一类和倍问题中，不直接给出二者的和，会分别说二者的量是多少，问其中一个给另一个多少之后
11、，可以成几倍关系。这时我们要注意的是，不管二者之间的怎么给，他们的总和仍然不变，我们又知道了倍数关系，故我们仍可以求出变化后的一倍量（较小数）与多倍量（较大数），这时我们去看某一个量变化了多少就可以了；和倍问题中，不止有两者的和倍问题，甚至有三者乃至更多的和倍问题，这类问题并不难，只需找准一倍量，画好图，看一共有几倍即可，便可以像以上那样很容易地解决问题；还有一类，倍数关系并不是单纯的一倍量与多倍量，而是说b比a的n倍还多几，或者说b比a的n倍还少几，这时我们就需要将文字信息转换成图形信息。还多几，那么也就是多余的，我们算一共有几倍对应的和时，要把它减去。同样的，还少几，也就是最后要补上才行，
12、用加法把它加上。在差倍问题中，有一大类是年龄问题，告诉二者的年龄，问多少年后可以成几倍关系。学生刚拿到这种题时往往会毫无头绪，因为并没有给出我们多少年后的“差”，但是我们知道了二者的年龄，便能很容易地求出二者的差，而年龄差不管过了多少年都是不变的，也好比妈妈比儿子大几岁，那就永远大几岁，这样就能找出我们所需要的差；还有一类同样是告诉二者的量，和倍数关系，让二者同时减少或增加，这时我们要明白，二者同时增加或减少，差依旧不变；还有一类差倍问题，题目中让相同的两者一个增加一个减少，并给出倍数关系，这类问题要注意二者的差实际上应该是增加的量与减少量的和，这时同样用画图的方式最易理解；与和倍问题相同，还
13、有一类，倍数关系并不是单纯的一倍量与多倍量，而是说b比a的n倍还多几，或者说b比a的n倍还少几，这时我们就需要将文字信息转换成图形信息。还多几，那么也就是多余的，我们算一共有几倍对应的和时，要把它减去。同样的，还少几，也就是最后要补上才行，用加法把它加上。在和差问题中，同样有年龄问题，其中和直接给出的较多，但是差还是要自己去挖掘，所以在涉及到年龄问题，一定要记住年龄差不变；还有一类与差倍问题中的一类类似，两者中一个增加，一个减少，就变得相等，那么实际上增加量与减少量的和便是二者的差；还有一类问题中二者的差更难发现，题目中大多会说：其中一者给另一个多少后，二者就变得相等了，解决这类问题中，可以画
14、图，并记住相差数转移数2。还有一者给另一者多少后，一者比另一者还多几，那么这时可以应用相差数=转移数2+多几。一者给另一者多少后，一者比另一者还少几，那么这时可以应用相差数=转移数2-少几；和差问题中也不仅有两者之间的和差问题，还有三者乃至更多的和差问题。这时要一定找好最小的量，并以他为标准，多出来的都算“尾巴”用总和减去这些“尾巴”。（二）、和差倍综合应用题错误类型（1）审题错误概念不清：小学生在低年级对社会的认知度不够，对于生活中事物的理解有着较大的差异。 当题目中出现他们从未出现过的词语时，或者混淆题意中所给条件，都会导致学生不能正确解决应用题。在和差倍应用题时，学生往往看到题目中的信息
15、但是并不知道是哪一量，就会出现见数就用或者不敢下笔的现象。多余条件的干扰：当应用题中出现多余条件时，学生并不能分辨哪些事有效信息，哪些是多余信息，会出现见数就用的情况，从而导致不能正确解题。隐藏条件的干扰：应用题中并不是所有的有效信息都能被我们一目了然的看出来，有的信息需要我们通过分析与整合。但是很多低年级的学生在加工信息的方面较为薄弱，从而直接影响着应用题的解决。在和差倍应用题中这点体现的尤为明显，很多时候，题目中并不是直接给出了我们和、差、倍数关系，需要我们自己在题目中挖掘并整合信息。（2）转换错误国外将数学应用题称为数学文字题，而在在正确理解了题意之后，最关键的就是要求学生能够将语言转换
16、成数学语言，而在这一过程中，极易出现错误。数学应用题中有些词汇会反复出现，也就是大家眼中的“标志词”。而这些标志词往往在学生心目中可以直接拿数学符号来替代，比如说学生看见“一共”二字，就想用加法；看见“还剩”就用减法。这种思维定势虽然在解决大部分题时会比较简单，但是在有的问题需要进行逆向思维时，却会误导学生；或者较为复杂的题需要学生进行两次计算，学生有时往往不能正确区分每一层关系之间对应的数学信息，在转换过程中就会出现不能正确使文字和数学信息对应上的现象。这种错误是十分显著，乃至在学生到了高年级，也是老师们在教育教学中十分棘手的问题。而在和差倍综合应用题中，转化的过程也就是画图的过程。以往的数
17、学学习，很少会要求学生画图，而到了解决和倍、差倍、和差应用题时，画图是十分必要的。学生初次接触到数形结合，并不能将自己所获得的所有信息正确消化并转化成图形信息也就是很正常的了。其中在解决和倍、差倍问题时，画图中最关键的步骤就是找准一倍量。也可以说是较小的数。而学生刚刚接触乘法不久，难以正确掌握倍数的含义，导致不能准确地找准一倍量，也就大大的影响了解题的正确率。（3）计算错误非知识性错误：是指由学生由于受到思维定势的影响或者由于自身不良的学习习惯的影响所导致的错误。如抄错数字、不认真审题、注意力不集中等。而实际上低年级学生的非知识性错误所占的比重极大。知识性错误：是指学生对于计算法则概念或运算顺
18、序的不理解，或者没有很好的掌握算理所导致的错误。（3）和差倍综合应用题错题的相关研究 Newman M.A.(1977)提出了关于学生数学文字题解题错误的过程性分析框架，1980年以后，Newman的研究成果被许多教育研究者（Clarkson、Faulkner、Ellerton和Clements等）广泛应用于各国的教育研究中，研究范围也从数学阅读理解扩展到科学研究中。Clements在Newman的理论基础上有所改进，于1996年又多次进行类似的实验研究。与以往不同的是，在这些研究中，他对于学生的每个答案（无论对错）都要求学生做出解释，对学生在数学阅读理解中产生的各种错误作出了更精确的统计。潘
19、静茜，吴颖康（2008）根据Newman关于学生解决数学文字题的错误分析理论框架，结合数学阅读理解题目的特点和自身的教学经验，将学生解决数学阅读理解题目时可能发生的困难分为5种情况。吴玉凤老师指出了高效课堂的理念，认为掌握正确的解题能力是提高成绩的法宝。从老师的方面去分析了应该怎么做。首先：了解学生，了解教材；其次，创造宽松和谐的教学氛围；教给学生审题的方法，教无定法，教法的选择和应用要根据不同年龄的孩子和孩子不同的发展水平决定。沧州的马金敏老师在“文字题教学浅谈”这一文中根据文字应用题的结构特点提出了几点看法。一：求问句式采用缩句法。题目特点是末句提出要求的问题。解题思路是：明问题，抓主干，
20、理分支，列算式。从问题出发，引导学生找出所求问题的关键词语。二：比差句式采用应用题联系法。题中有“比”有“差”，还含有“某数”、“甲数”、“乙数”等词语。特点明显。“比”有差比和倍比两种，它的解题思路是：引导学生弄清谁和谁比，谁大，谁小，搞清是倍比还是差比：掌握它的等量规律。如:“甲数是45，比乙数的4倍还少3，求乙数”。可以利用应用题中的标准词、标准量、几倍量来分析。在应用题中“比”、“是”、“等于”等一些词为标准词，标准词后面的量为标准量，标准词前面的量为几倍量。对于此题，标准词是“比”，标准量是乙数，求标准量用除法。三：“得,“是”句式采用方程解答法。题中有“得川是”二字。“得,“是”字
21、实质就是一种等式符号,所以这种句式的文字题,本身就是一个等式。还含有“一个数”“某数”等词语特点,这类题是逆叙文字题,列综合算式比较困难,启发学生设要求的数为x,问题便于解决。列方程的关键是挖掘题中的等量关系。 赵满囤老师在“复杂和倍与差倍问题的简单解法”中指出：复杂和倍问题与复杂差倍问题是在简单和倍与差倍问题的基础上，又增加了一个多几或少几而演化出来的一类比较复杂的新问题。所以只要把增加的多几或少几与题中的和或差合并,这类问题就又还原成了简单的和倍及：差倍问题了。因此解这类题的关键是合并,找出了合并的方法,复杂和倍问题与差倍问题就会迎刃而解。在三年级时，并没有学习方程法解决应用题，更多的是采
22、用画线段图的方式，能够使学生对于各种数与数的关系一目了然。 骞振修老师在教育实践与研究中提出：算式解应用题，必须以问题为思考中心，通过认真分析条件中的已知量，并最终确定先算什么，再算什么，最后算什么。问题始终高高在上，而条件始终围绕问题的解决而安排计算顺序。可见，如何利用现有条件安排已知量的加减乘除顺序来最终解答问题，是列算式解应用题的特点。所以说，列算式解方程需要对条件做深入的、有条有理的分析，最终确定先算什么，再算什么，最后算什么。说的再简单直白些，把问题放于等式中列方程，就是想办法让问题与等式搞共存。共存怎么理解呢？从条件中找到等式，而等式中不含有问题 x，那么这个等式将不会解决任何问题
23、；同样，如果 x 离开等式，就如同鱼儿离开水，失去了生命的活力。它永远是个 x 而不知其值。所以说，找到含有问题的等式，就能列出方程；而列出了含有问题的方程，也就解决了问题。 心理学上把认识过程一般分为感知、理解、巩固、应用四个基本阶段。吴康银老师也把学习应用题分为四步，称为四步阅读法。第一步预读，相当于预习，进入思维准备状态；第二步通读，了解问题，理清思路，查出障碍；第三步析读，领悟并解决问题，破除障碍；第四步解读，整理思维，扫除障碍，学会应用。其实这四步与上面认识过程的感知、理解、巩固、应用是对应吻合的，虽然所述的角度不同，但都有分阶段的4步，每一步的学习要求非常相似。预习就是为了对应用题
24、初步感知，通读就是为了更好地理解题目，析读就是分析问题和巩固问题，解读就是对分析结果进行检验应用。四步阅读法符合学生的认识本质和过程，故长期严格指导学生坚持按这4个阅读步骤解决应用题，必能取得较好的效果。（4）小学生和差倍综合应用题错题的的研究现状对于数学应用题解决的研究，长期以来，国内外学者比较关注的是解题过程的思维训练，并力图通过两种途径来提高应用题的解题能力。通过开设专门的思维训练课程来提高学生的思维水平，从而迁移到应用题解题中，提高解题能力，例如，德波诺（Debo-no)的学思维教程；科尔顿（Covington）的创新性思维教程。并且，结合应用题教学，开展有关解题思维策略的训练。例如，
25、梅耶（Mayer)的解应用题思维过程的四阶段理论，勒威斯（Lewis)的语句表征训练。而近来对于数学应用题的研究又有了新的发展和变化，主要表现在研究内容和研究方法上。小学数学是小学教育的一项重要组成，其教学质量直接影响了小学生的发展，但是从目前我国多数小学数学教学现状分析，教学质量并不是十分满意，应用题中反映出学生出现的问题，很大程度上就是学生在整个数学学习中出现的问题。低年级应用题错误的原因主要在审题与计算两方面。其中审题一方面，考查了学生的综合能力。它包括：获取信息能力；甄别有效信息能力；信息加工整合能力。而学生审题能力薄弱是一个普遍存在的现象，在课堂中学生对于老师讲解的内容往往都是一听就
26、会，但是在做题过程中经常犯错，究其原因就是学生在审题时候没有做到兼顾全面。针对这一现象，我们应该加强对学生审题能力培养的重视程度。审题是学生做题的基础，审题的错误也将直接导致解题的错误，审题能力的培养不仅仅能够提高学生数学学科的成绩，还能培养学生良好的学习习惯，为小学学生以后的学习打下良好的基础。而计算又是数学的基础，低年级由于儿童的生理、心理发展尚不成熟。当计算题数据较大，运算步骤较多时，学生就会产生排斥心理，表现为极不耐烦，不认真审题，不按顺序进行计算，从而导致错误出现。而低年级学生又缺乏扎实的计算技能。缺乏自我检阅能力，从而导致了问题的出现。在和差倍综合应用题的相关研究中，大多数学者注重
27、从老师的角度上去研究如何进行教学，但是尽管教学的方式方法已经很完善，但是学生在和差倍学习上仍旧具有很大的障碍，并且在解题时依旧会犯多种多样的错误。所以在和差倍学习上，从学生出现的问题入手，重点关注学生转化文字信息，也就是画线段图的过程是十分有必要的。所以本研究从学生和差倍应用题错题入手，力求为提高学生解决和差倍应用题的正确率有一些帮助。2、开题前的准备工作（1）文献资料的查找与阅读研究（2）了解小学数学教材的知识体系整理（3）深入小学了解学生的错题类型（4）对学生的错题进行分类整理三、毕业论文(设计)的进度安排(以月为单位)2016年12月：查阅文献，撰写开题报告阶段2017年1月：观察比较小
28、学生练习册中的错题2017年2月： 放假期间，进一步完善研究方案阶段2017年3月：深入小学，定期了解学生情况，不断完善研究阶段2017年4月：深入小学，定期了解学生情况，不断完善研究阶段2017年5月：分析材料、总结材料阶段2017年6月：整合材料结题阶段四、毕业论文(设计)的研究方法1、对象 以小学生一二年级为观察对象，其中包括数学成绩一直比较好的，也要包括学习成绩差的，以班为单位，观察到多个能力层次的低学段学生的解题思路及错题类型。 借助班主任的力量，了解不同的学生容易出现哪一类的错误，调查并统计结果。2、工具本研究的研究工具是调查小学生倾向的错题原因。 测试试卷的编制主要从以下3个方面
29、来考虑：（1）所选的题目涉及小学低年级应用题中比较典型的问题类型（2）应用题类型有文字题和图形题（3）参考小学数学教材和教学标准，其中每类应用题按照任务难度不同分为两个等级（简单、复杂），每个难度等级上有2道题，这样每个类型上有4道题，共计12道题。3、研究方法(1)文献法：收集有关文献资料。(2)观察法：对学生的试卷进行实样分析。通过学生答题的正确度和作答情况进行研究总结。(3)口语报告法：采访学生在解决问题过程中的想法与思路。五、毕业论文（设计）的主要内容1、探究小学生和差倍综合应用题产生错误的多种类型2、探究影响小学生和差倍综合应用题产生错误的各项因素3、探究针对小学生和差倍综合应用题产
30、生错误的解决办法六、毕业论文（设计）的主要参考文献1.胥兴春，刘电芝.数学学习障碍儿童问题解决的表征研究.心理科学，2005, 28(1):186-1882.黄明霞.浅谈问题教学法在小学低年级应用题教学中的应用. 哲学社会科学,2009，(5)：0178-023.王曙升. 4-6年级数学学习困难学生数学应用题阅读理解特点及眼动研究D.河南：河南大学发展与教育心理学，2012:1-784.陈英和,仲宁宁,赵延芹.数学应用题规则性研究的新进展J.心理发展和教育,2003,4:82855.陈旭远.课程与教学论.长春:东北师大出版社，2002 .86.徐青，王新红. 浅析问题表征研究的重要意义J. 湖
31、北函授大学学报,2009,12:86-877.郑琳娜,张奇. 数学困难儿童的表征类型及其对应用题解决的影响.中国健康心理学杂志，2007,15（6）：521-5228.何小亚.数学应用题教学的实践与思考.数学通报，2000, (4):169.李金素.注重习惯培养 提高审题能力.小学教学参考，2016，29：29-06610.汪国华，汪洁萍.数学应用题的分类及其教学功能的探讨.理科教学探讨，2005，04-0058-0211.骞振修.和倍问题的方程解决方案的所得与分析.教育实践与研究，2009，G.1009-010X（2009）05-0062-02指导教师意见： 指导教师签字：院（系）毕业论文(设计)开题答辩小组意见 开题答辩小组组长签字：
