1、高考数学总复习版江苏版高届高级第一章 预备知识第1节 集合的概念与运算第1节集合的概念与运算考试要求1.通过实例了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系;针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上,用符号语言刻画集合;2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义;3.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个简单集合的并集与交集;4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集;5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.知 识 梳 理1.集合的概念(1)一定范围内某些确定的、不同的对象的
2、全体构成一个集合,集合中的每一个对象称为该集合的元素.(2)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法等.(4)集合按含有元素的个数可分为有限集、无限集、空集.(5)特别地,自然数集记作N,正整数集记作N*或N,整数集记作Z,有理数集记作Q,实数集记作R,复数集记作C.2.集合间的基本关系(1)子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若aA,则aB),那么集合A称为集合B的子集,记为AB或BA.(2)真子集：如果AB,并且AB,那么集合A称为集合B的真子集,记为A B或B A.(3)空集：空集是任何集合的子集.(4)相等：如果两个集
3、合所含的元素完全相同,那么称这两个集合相等.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为S,则集合A的补集为SA图形表示集合表示x|xA,或xBx|xA,且xBx|xS,且xA4.集合的运算性质(1)AAA,A,ABBA.(2)AAA,AA,ABBA.(3)A(SA),A(SA)S,S(SA)A.常用结论与微点提醒1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n1个,非空子集有2n1个,非空真子集有2n2个.2.子集的传递性：AB,BCAC.3.注意空集：空集是任何集合的子集,是非空集合的真子集,应时刻关注对于空集的讨论.4.ABABAABBSASB.5
4、.S(AB)(SA)(SB),S(AB)(SA)(SB).诊 断 自 测1.判断下列结论的正误.(在括号内打“”或“”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2)x|yx21y|yx21(x,y)|yx21.()(3)若x2,10,1,则x0,1.()(4)对于任意两个集合A,B,关系(AB)(AB)恒成立.()解析(1)错误.空集只有一个子集.(2)错误.x|yx21R,y|yx211,),(x,y)|yx21是抛物线yx21上的点集.(3)错误.当x1时,不满足集合中元素的互异性.答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材必修第一册P9T1(1)改编)若集合PxN|x,a2,则()A.a
5、P B.aPC.aP D.aP解析因为a2不是自然数,而集合P是不大于的自然数构成的集合,所以aP,只有D正确.答案D3.(教材必修1P13练习T6)已知集合A(x,y)|x2y21,B(x,y)|x,yR且yx,则AB中元素的个数为_.解析集合A表示以(0,0)为圆心,1为半径的单位圆上的点,集合B表示直线yx上的点,圆x2y21与直线yx相交于两点,则AB中有两个元素.答案24.(2019全国卷)已知集合A1,0,1,2,Bx|x21,则AB()A.1,0,1 B.0,1C.1,1 D.0,1,2解析因为Bx|x21|x|1x1,又A1,0,1,2,所以AB1,0,1.答案A5.(2019
6、全国卷改编)已知集合Ax|x25x60,Bx|x10,全集UR,则A(UB)()A.(,1) B.(2,1)C.(3,1) D.(3,)解析由题意Ax|x3.又Bx|x1,知UBx|x1,A(UB)x|x1.答案A6.(2020青岛模拟)设P和Q是两个集合,定义集合PQx|xP,且xQ,如果Px|12x4,Qy|y2sin x,xR,那么PQ()A.x|0x1 B.x|0x2C.x|1x2 D.x|0x1解析由题意得Px|0x2,Qy|1y3,PQx|0x1.答案D考点一集合的基本概念【例1】 (1)定义PQ,已知P0,2,Q1,2,则PQ()A.1,1 B.1,1,0C. D.(2)设集合A
7、x|(xa)21,且2A,3A,则实数a的取值范围为_.解析(1)由定义,当x0时,z1,当x2时,z121或z221.因此PQ.(2)由题意得解得所以1a2.答案(1)C(2)(1,2规律方法1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合;然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.【训练1】 (1)(2018全国卷)已知集合A(x,y)|x2y23,xZ,yZ,则A中元素的个数为()A.9 B.8 C.5 D.4(2)设A是
8、整数集的一个非空子集,对于kA,如果k1A,且k1A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定S1,2,3,4,5,6,7,8,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有_个.解析(1)由题意知A(1,0),(0,0),(1,0),(0,1),(0,1),(1,1),(1,1),(1,1),(1,1),故集合A中共有9个元素.(2)依题意可知,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”时,这三个元素一定是连续的三个整数.所求的集合为1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8,共6个.答案(1)A(2)6考点二集合间的基本关系【例2】 (1)(2019苏州
9、调研)已知集合A1,1,Bx|ax10.若BA,则实数a的所有可能取值的集合为()A.1 B.1C.1,1 D.1,0,1(2)(2020苏、锡、常、镇四市调研)已知集合Ax|ylog2(x23x4),Bx|x23mx2m20),若BA,则实数m的取值范围为()A.(4,) B.4,)C.(2,) D.2,)解析(1)当B时,a0,此时,BA.当B时,则a0,B.又BA,A,a1.综上可知,实数a所有取值的集合为1,0,1.(2)由x23x40得x4,所以集合Ax|x4.由x23mx2m20)得mx2m.又BA,所以2m1(舍去)或m4.答案(1)D(2)B规律方法1.若BA,应分B和B两种情
10、况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图,化抽象为直观进行求解.确定参数所满足的条件时,一定要把端点值代入进行验证,否则易增解或漏解.【训练2】 (1)若集合Mx|x|1,Ny|yx2,|x|1,则()A.MN B.MNC.MN D.NM(2)(2020苏北四市调研)已知集合Ax|log2(x1)1,Bx|xa|2,若AB,则实数a的取值范围为()A.(1,3) B.1,3C.1,) D.(,3解析(1)易知Mx|1x1,Ny|yx2,|x|1y|0y1,NM.(2)由l
11、og2(x1)1,得0x12,所以A(1,3).由|xa|2得a2xa2,即B(a2,a2).因为AB,所以解得1a3.所以实数a的取值范围为1,3.答案(1)D(2)B考点三集合的运算多维探究角度1集合的基本运算【例31】 (1)(2019全国卷)已知集合U1,2,3,4,5,6,7,A2,3,4,5,B2,3,6,7,则B(UA)()A.1,6 B.1,7 C.6,7 D.1,6,7(2)(2020南通一模)已知全集UR,集合Ax|x40,Bx|ln x4 B.x|x0或x4C.x|0x4 D.x|x4或xe2解析(1)由题意知UA1,6,7.又B2,3,6,7,B(UA)6,7.(2)易
12、知Ax|x4,Bx|0xe2,则ABx|04.答案(1)C(2)B角度2抽象集合的运算【例32】 设U为全集,A,B是其两个子集,则“存在集合C,使得AC,BUC”是“AB”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由图可知,若“存在集合C,使得AC,BUC”,则一定有“AB”;反过来,若“AB”,则一定能找到集合C,使AC且BUC.答案C规律方法1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.2.数形结合思想的应用：(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解;(2)连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用
13、数轴时要特别注意端点是实心还是空心.【训练3】 (1)(角度1)(2018天津卷)设全集为R,集合Ax|0x2,Bx|x1,则A(RB)()A.x|0x1 B.x|0x1C.x|1x2 D.x|0x2(2)(多选题)(角度1)已知集合AxN|x|1,BxZ|y,则()A.ABA B.ABBC.BA1,2,3 D.BAx|1x3(3)(角度2)若全集U2,1,0,1,2,A2,2,Bx|x210,则图中阴影部分所表示的集合为()A.1,0,1 B.1,0C.1,1 D.0解析(1)因为Bx|x1,所以RBx|x1,又Ax|0x2,所以A(RB)x|0x1.(2)易知A0,1,B1,0,1,2,3
14、,所以AB0,1A,ABB,BA1,2,3,故A,B,C正确.(3)Bx|x2101,1,阴影部分所表示的集合为U(AB).又AB2,1,1,2,全集U2,1,0,1,2,所以U(AB)0.答案(1)B(2)ABC(3)DA级基础巩固一、选择题1.(2019全国卷)已知集合Mx|4x2,Nx|x2x60,则MN()A.x|4x3 B.x|4x2C.x|2x2 D.x|2x3解析Mx|4x2,Nx|2x3,MNx|2x0,N,则()A.M N B.N MC.MN D.MNR解析集合Mx|x2x0x|x1或x1或x0,所以MN.答案C5.设集合Ax|1x2,Bx|x0,则下列结论正确的是()A.(
15、RA)Bx|x1B.ABx|1x0C.A(RB)x|x0D.ABx|x2,RBx|x0,(RA)Bx|x1,A项不正确.ABx|1x0,B项正确,检验C、D错误.答案B6.已知集合Mx|y,Nx|ylog2(2x),则R(MN)()A.1,2) B.(,1)2,)C.0,1 D.(,0)2,)解析由题意可得Mx|x1,Nx|x2,MNx|1x2,R(MN)x|x0,xR,则AB_.解析由交集定义可得AB1,6.答案1,610.已知集合A1,3,4,7,Bx|x2k1,kA,则集合AB中元素的个数为_.解析由已知得B3,7,9,15,所以AB1,3,4,7,9,15,故集合AB中元素的个数为6.
16、答案611.已知集合Ax|x25x140,集合Bx|m1x2m1,若BA,则实数m的取值范围为_.解析Ax|x25x140x|2x7.当B时,有m12m1,则m2.当B时,若BA,如图.则解得2m4.综上,m的取值范围为(,4.答案(,412.若全集UR,集合Ax|x2x20,Bx|log3(2x)1,则A(UB)_.解析由题意,得集合Ax|x2x20x|x1或x2,因为log3(2x)1log33,所以02x3,解得1x2,所以Bx|1x2,从而UBx|x1或x2,故A(UB)x|x1或x2.答案x|x1或x2B级能力提升13.(2020启东月考)已知集合Ax|x2160,Bx|3x26x1
17、,则()A.AB B.BA C.AB0 D.AB解析由题意,得Ax|x2160x|4x4,Bx|3x26x10,6,ABx|x6或4x4,AB0,故A错误,显然B、D错误,故C正确.答案C14.已知集合Ax|y,Bx|axa1,若ABA,则实数a的取值范围为()A.(,32,) B.1,2C.2,1 D.2,)解析集合Ax|yx|2x2,因ABA,则BA.又B,所以有所以2a1.答案C15.(多填题)已知集合AxR|x2|3,集合BxR|(xm)(x2)0,且AB(1,n),则m_,n_.解析AxR|x2|3xR|5x1,由AB(1,n),可知m1,则Bx|mx2,画出数轴,可得m1,n1.答
18、案1116.集合UR,Ax|x2x20,Bx|yln(1x),则图中阴影部分所表示的集合是_.解析易知A(1,2),B(,1),UB1,),A(UB)1,2).因此阴影部分表示的集合为A(UB)x|1x2.答案1,2)C级创新猜想17.(多选题)设非空集合A为实数集的子集,若A满足下列两个条件：(1)0A,1A;(2)对任意x,yA,都有xyA,xyA,xyA,A(y0).则称A为一个数域.则下列命题正确的是()A.有理数集Q是一个数域B.若A是一个数域,则QAC.若A,B都是数域,则AB也是一个数域D.若A,B都是数域,则AB也是一个数域解析由数域的定义可得有理数集Q满足定义,是一个数域,故A正确;若A为一个数域,则A中包含任意整数和分数,故QA,故B正确;若A,B都是数域,则Q(AB),故AB中的元素均满足定义,故AB也是一个数域,故C正确;若A,B都是数域,则Q(AB),故AB中的元素均满足定义,故AB也是一个数域,故D正确.答案ABCD18.(多填题)对于任意两集合A,B,定义ABx|xA且xB,A*B(AB)(BA),记Ay|y0,Bx|ylg(9x2),则BA_,A*B_.解析由题意,得Ay|y0,Bx|3x3,ABx|x3,BAx|3x0.因此A*Bx|x3x|3x0x|3x0或x3.答案x|3x0x|3x0或x3
