1、学年高三数学 51等差数列与等比数列复习学案doc2019-2020学年高三数学 5.1等差数列与等比数列复习学案【知识特点】（1）数列是高中数学的主要内容之一是高考的常考内容；（2）数列具有函数特征，又能构成独特的递推关系，故使得数列与函数、方程、不等式等知识有较密切的联系，因此高考命题时常将数列与函数、不等式、向量等交汇，考查学生的逻辑思维能力、运算推理能力，呈现出综合性强、立意新的特点；（3）数列、等差与等比数列的概念和性质、通项公式、前n项和公式等知识，突出了“小、巧、活”的特点，也提供了知三求二的理论依据；（4）数列的规律性较强，学习时一定要从其规律入手来计算、分析、解决有关问题。【
2、重点关注】（1）要正确理解数列、等差、等比数列的基本概念，掌握各公式之间的联系和内在规律，掌握公式的灵活运用，甚至要灵活地回归定义，巧用性质，使运算更简捷；（2）要善于运用函数与方程、化归与转化、分类讨论等思想方法去分析问题、解决问题；（3）本章另一重点是由递推公式得出数列，以及数列的前n项和Sn与通项 之间的关系。体现了由特殊到一般的思维规律；（4）与数列有关的应用题也是高考考查的重点，特别是数列建模问题；（5）数列证明问题与数学归纳法的联系。【地位和作用】数列是函数大家庭中的一员，其特殊性在于其定义域是正整数，它是按一定次序排列的一列数，数列在中学数学中既具有相对的独立性，又具有较强的综合
3、性，它是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，因此历年的高考中占有较大的比重，在选择、填空题中，突出“小、巧、活”的特点。递推思想可以极大地激活人们探索与发现真理的能力，由给出的前若干项及an与an+1的关系式得到的数列叫递推数列，该关系式叫递推公式。高考命题中数列善于占有重要一席，而运用递推式是解题的起点。对于本章而言，从新课改近几年各省份的高考信息可以看出，高考命题呈现出以下几个特点：1、考查题型较为全面。选择、填空、解答均有所考查，一般一小一大，分值占10%，其中解答题难度较大；2、重点考查等差数列、等比数列的定义，通项公式和前n项和公式，注重在知识的交汇处命题，如数列与函数、方程、不等式
4、等知识的综合应用。注意对观察、转化与化归能力及数学归纳法的考查；3、预计今后高考仍将以等差数列、等比数列的定义，通项公式和前n项和公式为考点，同时与其他章节结合命题将是数列解答题的命题方向。第一节 等差数列与等比数列【高考目标导航】一、数列的概念与简单表示法1、考纲点击（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数。2、热点提示（1）已知数列的通项公式或递推关系，求数列的各项；（2）以数列的前几项为背景，考查“归纳推理”思想。（3）由数列的递推关系式求数列的通项公式是本节重点，也是本节的难点。二、等差数列及其前n项和1、考纲点击（1）
5、理解等差数列的概念；（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；（4）了解等差数列与一次函数的关系。2、热点提示（1）等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点；（2）归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、运用函数的性质解决等差数列问题是重点，也是难点；（3）题型以选择题和填空题为主，与其他知识结合则以解答题为主。三、等比数列及其前n项和【考纲知识梳理】一、数列的概念与简单表示法1、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。2、数列的分类分类原则 类型 满足条件按项数分类 有穷数列
6、 项数有限 无穷数列 项数无限按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中 递减数列 常数列 按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使 摆动数列 的符号正负相间，如1，-1，1，-1，3、数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法。注：数列可以看作一个函数，其定义域是正整数集 （或它的有限子集1，2，3，n）,可表示为 。4、数列的通项公式如果数列 的第n项 与序号n之间的关系可以用一个公式 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。注：数列的通项公式不唯一，如数列-1，1，-1，1，通项公式可以为 或 ，有的数列没有通项公式。5、数列与函数的内在联系从映射、函数的观点看，
7、数列可以看作是一个定义域为正整数集 （或它的有限子集 ）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。6、递推公式如果已知数列 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。二、等差数列及其前n项和1、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用d表示，其符号语言为： 2、等差数列的通项公式若等差数列 的首项为 ，公差是d,则其通项公式为 。注：已
8、知等差数列 的第m项为 ，公差为d，则其第n项 可以表示为： 。3、等差中项如果三个数a,A,b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，且有 。4、等差数列的前n项和公式 三、等比数列及其前n项和等比数列的相关概念相关名词 等比数列 的有关概念及公式定义 通项公式 前n项和公式 等比中项 设a、b为任意两个同号的实数，则a、b的等比中项为： 注： 是a,b,c成等比的必要不充分条件，当b=0,a,c至少有一个为零时， 成立，但a,b,c不成等比，反之，若a,b,c成等比，则必有 方法提示：1、数列的项与集合中元素的区别：把数列中的项与集合中的元素相比较，数列中的项具有确定性、有序性、可重复性，不
9、具有互异性；集合中的元素具有确定性、无序性、互异性。2、求通项公式的技艺：根据数列的前几项写出数列的通项公式时，常用到“观察、归纳、猜想、验证”的数学思想方法，即先找出各项相同的部分（不变量），再找出不同的部分（可变量）与序号之间的关系，并用n表示出来，不是所有的数列都有通项公式，一个数列的通项公式在形式上可以不唯一。【要点名师透析】一、数列的概念与简单表示法（一）由数列的前几项求数列的通项公式相关链接数列的通项公式（1）据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征等，并对此进行归纳、联想。（2
10、）观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）转换而使问题得到解决。（3）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着从特殊到一般的思想，由不完全归纳提出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用 或 来调整。例题解析例写出下列各数列的一个通项公式： 思路解析：由所给数列前几项的特点，归纳出其通项公式，注意项与项数的关系，项与前后项之间的关系，通项公式的形式并不唯一。解答：（1）各项是从4开始的偶数，所以 ；（2）每一项分子比分母少1，而分母可写成21，22，23，24，25，
11、故所求数列的一个通项公式可定为 ；（3）带有正负号，故每项中必须含有一个 这个因式，而后去掉负号，观察可得。将第二项-1写成 。分母可化为3，5，7，9，11，13，为正奇数，而分子可化为12+1，22+1，32+1，42+1，52+1，62+1，故其一个通项公式可写为： ；（4）将数列各项写为 分母都是3，而分子分别是10-1，102-1，103-1，104-1，所以 （二）由递推公式求数列通项公式相关链接1、由 和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用化归法、累加法、累乘法等。（1）构造等比数列，已知首项 ，递推关系为 ，求数列 的通项公式的关键是将 转化为 的形式，其中a的值可由待
12、定系数法确定，即 （2）已知 且 可以用累加法，即 ， ， ， 。所有等式左右两边分别相加，得 即： （3）已知 且 可以用累乘法，即 ， ， ， ，所有等式左右两边分别相乘，得 注：并不是每一个数列都有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式在形式上也可以不止一个。2、由 与 的关系求 由 求 时，要分n=1和n2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为 。例题解析例(1)在数列an中，a1=1，an+1=(1+ )an+ 设 求数列bn的通项公式;(2)已知数列an中，a1=1,an+1=(n+1)an，求数列an的通项公式思路分析:
13、(1)首先由递推公式得到 的关系式： 再借助于累加的方法求出数列bn的通项公式；(2)由题设可得 利用累乘的方法求解.解析:(1)由已知可得b1=a1=1，且 即 从而有bn=b1+(b2-b1)+(bn-bn-1)= (n2)，又因为b1=a1=1，故所求的通项公式为 (2)an+1(n1)an， a11.累乘可得，ann(n-1)(n-2)321n！.故ann！.（二）数列的单调性及其应用例(12分)已知数列的前n项和为 ,并且满足 （1）求 的通项公式；（2）令 ，问是否存在正整数m,对一切正整数n，总有 ，若存在，求m的值；若不存在，说明理由。思路解析：（1） (2)由已知得 的表达式
14、 求 最大项 得结论.解答:(1)令n=1, (2) 注:(1)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用作差法，作商法，结合函数图象等方法。（2）求最大项 ，则 满足 ；若求最小项 ，则 满足 。二、等差数列及其前n项和（一）等差数列的基本运算相关链接1、等差数列的通项公式 = +（n-1）d及前n项和公式 ，共涉及五个量 ， ，d,n, ,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而 和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注：因为
15、 ，故数列 是等差数列。例题解析例已知数列 的首项 =3，通项 ，且 ， ， 成等差数列。求：（1） 的值；（2）数列 的前n项和 的公式。思路解析：（1）由 =3与 ， ， 成等差数列列出方程组即可求出 ；（2）通过 利用条件分成两个可求和的数列分别求和。解答：（1）由 =3得 又 ，得 由联立得 。（2）由（1）得 ， （二）等差数列的判定相关链接1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义， ，第二种是利用等差中项，即 。2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。（1）通项法：若数列 的通项公式为n的一次函数，即 =An+B,则 是等差数列；（2）前n项和法：若数列 的
16、前n项和 是 的形式（A，B是常数），则 是等差数列。注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。例题解析例已知数列 的前n项和为 ，且满足 （1）求证： 是等差数列；（2）求 的表达式。思路解析：（1） 与 的关系 结论；（2）由 的关系式 的关系式 解答：（1）等式两边同除以 得 - +2=0，即 - =2（n2）. 是以 = =2为首项，以2为公差的等差数列。（2）由（1）知 = +（n-1）d=2+(n-1)2=2n, = ,当n2时， =2 = 。又 ，不适合上式，故 。（三）等差数列的性质相关链接1、等差数列的单调性：等差数列公差为d，若d0,则数列递增
17、；若d0,d0,且满足 ，前n项和 最大；（2）若a10，且满足 ，前n项和 最小；（3）除上面方法外，还可将 的前n项和的最值问题看作 关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意 。例题解析例1(2011如皋模拟)已知在等差数列an中，a1=31，Sn是它的前n项和，S10=S22，(1)求Sn；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值.思路解析：利用等差数列的性质求解第(1)题、第(2)题，解题关键是写出前n项和公式，利用函数思想解决.(1)S10=a1+a2+a10，S22=a1+a2+a22，又S10=S22a11+a12+a22=0， 即a11+a22=
18、2a1+31d=0, 又a1=31，d=-2，Sn=na1+ =31n-n(n-1)=32n-n2.(2)方法一：由(1)知Sn=32n-n2，当n=16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256.方法二：由Sn=32n-n2=n(32-n)，欲使Sn有最大值，应有1n0,d0时，满足 的项数m使得Sn取得最大值为Sm；(2)当a10时，满足 的项数m使得Sn取得最小值为Sm.(3)关于最值问题，除上面介绍的方法外，还可利用等差数列与函数的关系来解决，等差数列的前n项和 Sn可看成关于n的二次函数式且常数项为0，利用二次函数的图象或配方法解决最值问题.三、等比数列及其前n项和（一）等比数列的的运算
19、相关链接1.等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题，数列中有五个量 ， ， ， ， ，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）所求问题可迎刃而解。2.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。3.在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式。例题解析例设数列 的前n项和为 ，且 =2-2 ；数列 为等差数列，且 。（1） 求数列 的通项公式；（2） 若 ， 为数列 的前n项和，求证： 。思路解析：（1） 得结论；（2） 放缩得结论。解答：（1）由 =2-2 ，得 ，
20、又 = ，所以 = ，由 =2-2 得 -得 ， 即 ， 是以 为首项，以 为公比的等比数列，所以 = 。（2） 为等差数列， ， 从而 -得例在数列 中， 。（1） 证明数列 是等比数列；（2） 求数列 的前n项和 ；（3） 证明不等式 对任意 皆成立。思路解析：证明一个数列是等比数列常用定义法，即 ，对于本例（1）适当变形即可求证，证明不等问题常用作差法证明。解答：（1）由题设 得 。又 所以数列 是首项为1，且公比为4的等比数列。（2）由（1）可知 ，于是数列 的通项公式为 。所以数列 的前n项和 。（3）对任意的 ， ，所以不等式 对任意 皆成立。（三）等比数列性质的应用相关链接1.等
21、比数列的性质可以分为三类：(1)通项公式的变形，(2)等比中项的变形，(3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.2.等比数列的常用性质(1)数列an是等比数列，则数列pan(p0，p是常数)也是等比数列；(2)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an+k,an+2k,an+3k,为等比数列，公比为qk.(3)an=amqn-m(n,mN+)(4)若m+n=p+q(m,n,p,qN+)，则aman=apaq；(5)若等比数列an的前n项和为Sn，则Sk、S2k-Sk、S3k-S2k、S4k-S3k是等比数列.（6）等比
22、数列的单调性 3. 由于数列和函数之间有着密切的联系，所以在解决许多数列问题时，可以借鉴函数的有关思想和方法，本例在求解过程中，就是先求导数，利用数列这一特殊函数的性质解决的，所以在解决数列问题时，应善于运用函数的思想方法解决问题.注：等比数列中所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号也相同。例题解析例1已知等比数列前n项的和为2，其后2n的和为12，求再往后3n项的和。思路解析：由已知条件，根据前n项和公式列出关于首项 和公比 及n的两个方程，应能解出 和 关于n的表达式，这样可能较繁琐又不便于求出结果，若采用整体处理的思想，问题就会变得简单，也可采用等比数列的性质问题简化。解答：方法一：利用
23、等比数列的性质。由已知 ， .注意到 也成等比数列,其公比为 ,于是,问题转化为已知: 方法二:利用求和公式.如果公比q=1,则由于 ,可知 ,与条件不符,q1,由求和公式,得 又 式除以式得 ，又再往后3n项的和为 式除以式得 。例2(2011青岛模拟)已知函数f(x)=ax2+bx(a0)的导函数f(x)=-2x+7,数列an的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(nN+)均在函数y=f(x)的图象上.(1)求数列an的通项公式及Sn的最大值;(2)令 其中nN+,求nbn的前n项和Tn.思路解析：对函数f(x)的字母系数通常用待定系数法确定，再把函数问题转化为数列问题求解.对nbn求和，若
24、bn为等比数列可考虑用错位相减法求和.解析:(1)由题意可知：f(x)=ax2+bx(a0),f(x)=2ax+b，由f(x)=-2x+7对应相等可得:a=-1,b=7,所以可得f(x)=-x2+7x，又因为点Pn(n,Sn)(nN+)均在函数y=f(x)的图象上,所以有Sn=-n2+7n当n=1时,a1=S1=6；当n2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8，a1=6适合上式，an=-2n+8(nN+)令an=-2n+80得n4,当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.综上,an=-2n+8(nN+),当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.(2)由题意得 即数列bn是首项为8,公比为 的等比
25、数列，故nbn的前n项和Tn=123+222+n2-n+4 Tn=122+22+(n-1)2-n+4+n2-n+3所以-得： Tn=23+22+2-n+4-n2-n+3 【感悟高考真题】1. （2011江西高考文科5）设 为等差数列，公差 , 为其前n项和 ，若 ，则 A18 B20 C22 D24【思路点拨】首先求出 ，再根据等差数列的通项公式求 。【精讲精析】选B. 2. （2011陕西高考文科T10）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总
26、和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）（A）1和20 （B）9和10 (C) 9和11 (D) 10和11【思路点拨】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论【精讲精析】选D （方法一）选项 具体分析 结论A 1和20： 比较各个路程和可知D符合题意B 9： 10： =2000C 11： =2000D 10和11：路程和都是2000（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和进行比较即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是 ；树苗放在
