1、人教版初三数学上册241圆周角定理圆周角（第一课时）教学设计鞍山市第五十一中学 孟威威圆周角（第一课时）教学设计 鞍山市第五十一中学 孟威威一、内容和内容解析本节教学内容源于人教版九年级上册“24.1.4圆周角”，属于“空间与图形”领域中“圆”的内容。圆心角、圆周角是与圆有关的角，圆周角是在垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系定理的基础上学习的。圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等以及证明圆中三角形相似等数学问题提供了十分便捷的方法和思路。圆周角定理的证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和一般到特殊的化归思想，使学生学会化未知为
2、已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的思考方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步发展学生的逻辑思维能力和演绎推理能力。教学过程中，应注意积极创设问题情境，突出图形性质的探索过程，垂视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来发现和探索圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系，同时还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。基于上述分析，确定本节教学重点是：直观操作与推理论证相结合，探索并论证圆周角定理及其推论，发展推理能力，渗透分类讨论和化归等数学思想和
3、方法。二、目标和目标解析1理解圆周角的定义。通过与圆心角的类比，明确圆周角的两个特征：顶点在圆上；两边都与圆相交，会在具体情景中辨别圆周角。2掌握圆周角定理及其推论。经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理的探索过程，发展学生的逻辑思维能力和推理论证以及用几何言语表达的能力；提高运用数学解决实际问题的意识和能力，同时对学生进行辩证唯物主义的教育。3通过对圆周角定理的论证，渗透分类讨论、化归等数学思想和方法。4引导学生对图形进行观察、研究、添加辅助线，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，培养学习的自信心。三、问题诊断分析教师教学可能存
4、在的问题：（1）创设问题情景，以具体的实际问题为载体，引导学生对概念和性质的学习是新课程倡导的教学方法，在本课中要求列举一些典型的、贴近学生生活实际的例子是不容易做到的；（2）不能设计有效的数学问题，使学生通过有思维含量的数学问题，展开有效的数学教学活动，引导学生积极地探索圆周角的性质，发展学生的教学思维；（3）过分强调知识的获得，忽略了数学思想和方法的渗透；（4）对学生学习过程中所体现出来的态度和情感关注不够，以至于不能很好地激发好奇心和求知欲，体验成功的乐趣，培养自信心。学生学习中可能出现的问题：（1）对圆柱形海洋馆的构造缺乏了解，致使不能很好地理解视角、圆周角等概念；（2）对完全归纳法、
5、分类讨论等数学思想和方法理解有困难；（3）一般到特殊的转化、辅助线的添加、论证过程的书写等都将是学生学习过程中的弱点。鉴于上述分析，确定本节的教学难点是：列举典型的、贴近学生生活实际的例子，通过设计有效的、有思维含量的数学问题，激活学生的数学思维，引导探索圆周角的性质，理解分类讨论证明数学命题的思想和方法。四、教学支持条件设计教学中，为帮助学生更好地探索发现圆周角与同弧所对的圆心角的关系，在学生动手操作的基础上，利用几何画板的度量功能和动画功能，准确、全面验证在试验操作中发现的结论，直观、形象地展现了同弧所对的圆周角与圆心角及同弧所对的圆周角之间的关系，感受过程的真实性，增强了学生的参与程度，
6、提高了学习的积极性。五、教学过程设计活动一 创设情景，引入概念，发展规律师：（出示圆柱形海洋馆图片）下图是圆柱形海洋馆的俯视图。海洋馆的前侧延伸到海洋里，并用玻璃隔开，人们站在海洋馆内部，透过其中的圆弧形玻璃窗可以观看到窗外的海洋动物。下图是圆柱形的海洋馆横切面的示意图，弧AB表示圆弧形玻璃窗。同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E。师：同学甲的视角AOB的顶点在圆心处，我们称这样的角为圆心角。同学乙的视角ACB、同学丙的视角ADB和同学丁的视角AEB不同于圆心角，是与圆有关的另一类角，我们称这类角为圆周角。师：观察ACB、ADB、AE
7、B的边和顶点与圆的位置有什么共同特点？生1：这三个角的共同点有两个：顶点都在圆周上；两边都与圆相交。师：归纳得很准确，我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。（教师板书圆周角定义，并强调定义的两个要点。学生在学案上写出圆周角的定义）【设计意图】 从生活中的实例入手，让学生经历观察、分析，抽象出图形的共同属性，得出圆周角定义，理解圆周角概念的本质。师：请同学们根据定义回答下面问题：在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角？哪些不是，为什么？ 1 2 3 4 5 6（学生思考片刻之后，教师就每个图形分别请一些学生作答） 【设计意图】 为了使学生更加容易地掌握概念，此处教师并排地呈现正例和反例
8、，可以有利于学生对本质属性与非本质属性进行比较。师：下面我们继续研究海洋馆的问题，设想你是一名游客，甲、乙、丙、丁四位同学的位置供你选择，你认为在哪个位置看到的海洋景象范围更广一些？生2：（很自信地）当然是同学甲的位置可以看到更广大的海洋范围了。师：你是如何知道的？生2：因为我发现AOB比ACB、ADB和AEB都大。师：如果在乙、丙、丁三位同学的位置中选择，哪个位置看到的海洋范围更广一些？生3：（停顿片刻）三个位置看到的海洋范围的大小应该是一样的。师：这你又是如何知道的？生3：我也是观察得到的。师：有句话说“看到的未必是真实的”，请同学们验证你们的说法，并与同伴交流。（学生开始动手操作验证：有
9、的借助量角器，用度量的方法进行验证；有的采用折叠重合的方法进行验证）生4：（兴奋地惊叫着）老师，我发现了：同学乙、丙、丁的视角ACB、ADB和AEB相等，同学甲的视角AOB比其他同学的视角都大，是他们的2倍！（其他同学也都兴奋极了，教室里一片欢腾）【设计意图】 引导学生经历观察、猜想、操作、分析、验证、交流等基本教学活动，探索圆周角的性质，感知基本几何事实，初步体会两种数量关系：同弧所对的圆周角和圆心角的关系；同弧所对的圆周角的关系。师：下面，老师用计算机进一步验证我们刚才所得到的结论：（教师开始在计算机上进行验证。）首先采用几何画板的度量功能，量出AOB、ACB、ADB和AEB，发现：AOB
10、最大，ACB=ADB=AEB，接着，采用计算机功能，计算ACB和AOB的比值，发现：ACB：AOB=1：2然后教师分别从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化：拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；改变圆心角的度数；改变圆的半径大小。同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角的一半 【设计意图】 教师使用几何画板做进一步演示与验证，用几何动态的语言来研究圆周角与圆心角的关系，在某些量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，帮助学生更好地理解圆周角与圆心角的关系。师：既然这样，我们请一位同学把所发现的结论用文字语言表述一下。生6：他的说法不准确，应
11、该是：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，并且都等于这条弧所对的圆心角的一半。丢掉了“在同圆或等圆中”和“这条弧所对的”这两点。师：前一位同学总结得很好，但最后一位同学总结得更准确，我们要学习他们这种严谨治学的态度和精神。【设计意图】 这里把直观操作与逻辑推理有机结合，使将要进行的推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。活动二 用分类讨论的方法证明定理师：为了更好地说明结论的正确性，下面我们探究其论证方法。先请同学们在右图的O中尽可能多地画弧AB所对的圆周角，并思考圆心与圆周角有哪几种位置关系？（学生画图，教师巡视，在同学们所画的图形中发现圆心与圆周角的三种位置关系的例子，并在展
12、示台上演示）生7：我发现，圆心与圆周角有三种位置关系，即圆心可能在圆周角的一边上，可能在圆周角的内部，也可能在圆周角的外部。师：下面老师借助计算机进行动画演示，观察并验证你发现的三种位置关系。教师演示，并依次归纳出三种位置关系：【设计意图】 以动态演示的方式，帮助学生发现并理解圆心与圆周角的三种位置关系，为分情况证明圆周角定理奠定基础。此处分类的标准是关键，教学中，让学生通过合作探究，学会运用分类讨论的教学思想研究问题，培养学生思维的完整性和深刻性。师：圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部。（如下图） 师：在上述三种情况中我们先选择其中的一
13、种情况进行证明，选哪种情况，如何证明？（学生先独立思考，然后在同伴间悄悄交流自己的思路）生8：选择第一种情况进行证明，因为圆心在圆周角的一边上，是最简单的一种情况。因为圆心角在圆周角的一边上，所以AC是圆的直径，由同圆半径相等可知，OC=OB，所以C=B，根据定理“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得，AOB=C+B=2C，即同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。师：证明的非常好，掌声给予鼓励！师：当圆心在圆周角的一边上的时候，圆周角ACB的边AC部分就是O的直径，因此给予证明思路的寻找带来了不少方便，沿CO对折O，展开后你有什么发现？对该情况下命题的证明有哪些启示？（学生开
14、始对折图形纸片，观察、分析、交流）生9：由对折发现，可以转化为第一种情况的证明，即，如果做过点C的直径CD，那么，由（1）中的结论可知：ACD=1/2AOD，BCD=1/2BOD，两式相加即可得到ACB=1/2AOB。师：很好！ 请同学们在学案上写出这种情况下的证明过程，之后完成最后一种情况的证明，同伴之间交流自己的证明思路。（学生完成证明过程，思考交流后一种情况的证明思路，在展示台上展示学生的证明过程，教师做思路和规范性点评）【设计意图】 通过观察度量、实验操作、图形变换、推理来探索图形的性质，从而让学生学会分析问题和解决问题的方法。另外，尽可能地从教学语言的三种形态“文字语言、图形语言、符
15、号语言”进行描述，以强化对数学知识的学习与理解，加强数学语言的运用与表达。师：通过上述证明，我们得到：同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。其实，等弧的情况下该命题也是成立的，命题“同弧或等弧所对的圆周角相等”也是正确的，想一想为什们？（教师板书）圆周角定理：在同圆或等园中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。活动三 巩固练习，拓展性质1. 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？2. 如图，点A、B、C、D在圆O上，若C=60,则D=，O=。3. 如图，等边ABC的顶点都在O上，点D是O上一点，则
16、BDC=。 第1题 第2题 第3题（学生独立思考，交流，回答问题，教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果）【设计意图】 通过转化考查了学生对定理的理解和应用，并使学生在从复杂的图形中分解出基本图形的训练中，培养空间识图能力。活动四 课堂小结，巩固反思师：下面我们进行课堂小结与反思：请你选择下面一个或几个关键词谈本节课的体会：知识、方法、思想、收获、喜悦、困惑、成功生10：我选择关键词：知识。这结课的学习圆周角的定义和圆周角的定理，知道圆周角有两个要点，同弧对的圆周角相等的关系，圆心角和圆周角是二倍的关系。生11：我选择“方法”和“思想”。通过这节课的学习，学到了全面考虑问题的方法，学会了
17、从特殊到一般的解决问题的方法，渗透了分类和转化的数学思想。生12：这节课的学习，我感到很高兴，因为我学到了好些解决问题的方法，更重要的是，老师的提问和鼓励使我认识到自己的能力，相信一定能学好这门课！师：同学们都反思总结得很好，真诚希望在今后的学习中，能一如既往地养成勤反思、多总结的学习习惯，使我们的学习成绩更上一层楼。布置作业：第87页2、3题，习题24.1第4、5、12题。【设计意图】 通过小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联结，有利于培养学生数学思想、教学方法、数学能力和对数学的积极情感。六、教学反思1.问题设计引导课堂教学思维由问题开
18、始，问题是思维的起点，又是思维的能力。在数学教学中，以问题为载体，设计有思维含量的问题，可以激发学生的思考，充分调动学生学习的积极性和主动性，触及问题的本质，使学生主动学习。在本课的教学中，努力以问题引导学习，以问题串的形式引领整个教学过程。如在探索发现同弧所对的圆周角、同弧所对的圆周角与圆心角的关系时，设计了两个问题：同学甲和同学乙的视角（AOB和ACB）有什么关系？你是如何发现的？同学乙、丙、丁看到的海洋范围一样吗？他们的视角ACB、ADB和AEB有什么关系？与同学甲的视角AOB又有什么关系？这样分别以两个问题为引导，探索并发现的是对应的两个结论：同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半、同
19、弧所对的圆周角相等。通过设计低起点、高效益和自然的、有思维含量的数学问题，使学生的数学思维自然地流淌，让学生学习自然的数学，从而很好地激发数学思维。2.情景设置所解决的问题本节课，采用教材设置的情景-圆柱形海洋馆为例，基本能较好的引入圆周角的学习，但实际情况是绝大多数学生没有参观过海洋馆，对海洋馆的了解甚微，也就是说，本情境与学生的现有生活经验不相符，有较大的距离，因此导致学生对情境的理解和圆周角的导入产生了困难。基于上述分析，有两种修改方案，要么重新设置学习情境，如投篮的问题，或足球射门的问题等，尽管这些情境与学生的生活有一定的联系，但对于没有参加过这类活动的学生来说，同样没有相应的生活经验
20、；要么仍然采用现在的情景，这样的话就必须对情景有更明确的说明或引导，因此需要结合海洋馆的图片和示意图做进一步的讲解，只有这样，才能使学生很好地理解实际生活，从实际生活中抽象出数学问题，同时把数学知识运用于生活实践，很好地体会数学的实际意义，增强学数学的积极性。3.核心概念学习与定理证明上的特色本节内容的核心概念是圆周角定义和圆周角定理。在课堂教学中有意识地创造让学生探究的时间和空间，在教学方式上，采用让学生先自行探究，然后小组讨论的形式，有利于不同层次学生的提高，也体现了团队合作的精神。能以实际情景为载体，恰如其分地运用几何画板的动画、度量与演示功能，以问题串的形式设计教学环节，抓问题的本质属
21、性，去除非本质属性，巧妙地引导学生归纳、总结，抽象出概念，随后，通过正、反两方面的练习进行概念辨析以概念的外延强化对概念内涵的理解。通过设计问题不断地引导学生进行思考，在定理的探究阶段，花费时间多一些是值得的，因为让学生经历自己探讨、发现结论的过程，能够逐步提高学生分析问题、解决问题的能力。在整个教学过程中，教师让学生经历观察、分析、猜想、交流、验证、证明等教学活动过程，在感受概念的产生过程和基础上，较好地发展了学生的推理能力和逻辑思维能力，提高了学生归纳、总结、探索、创新的能力。4.数学思想和方法的渗透教学中，先要求学生在已知圆中尽可能多地画出同弧所对的圆周角，并引导学生初步观察圆心角与圆周角的位置关系，接着利用几何画板的动画演示功能，设计了圆周角的顶点在圆周上运动的动画，直观地展示了圆心与圆周角的三种位置关系，为圆周角定理的证明创设了条件，较好地体现了分类讨论的数学思想。在探究圆周角定理的教学过程中，从圆心在圆周角一边上这种简单情况出发，体会与其他情况相比的特殊性-圆心在圆周角的一边上，从而为后续两种情况下的证明提供了思路，即，通过做过点C的直径，把一般情况转化为特殊情况，渗透了转化的数学思想。总之，本课的教学设计在改革教法、优化教学方法方面作了一些有益的尝试，较为成功。
