1、拉普拉斯变换法在常微分方程中的应用集湖学院2012届木科毕业论文（设计）拉普拉斯变换法在常微分方程（组）中的应用作者：倪敏学号:08025085（巢湖学院数学系安徽巢湖238000）摘要本文给出了常微分方程（组）的基本概念性质及两种解法，常数变易法 及拉普拉斯变换法，常微分方程属于数学分析的一支，是数学中与应用密 切相矢的基础学科，其自身也在不断发展中，学好常微分方程基本理论与 方法对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要。通过对微分方程 的研究，分析对比常数变易法和拉普拉斯变换法这两种求解方法，我们可 以很明了的得出相对于繁琐的常数变易法，拉普拉斯法是非常简便的，它 可以使求解简化很多即
2、对一个函数作拉普拉斯变换，然后在复数域作各 种运算得到结果，再通过拉普拉斯反变换，可以很简单的求得实数域中相 应的所需结果在实际生活中，拉普拉斯变换法也与很多应用有着密切联 系.矢键词：常微分方程；常微分方程组；常数变易法；拉普拉斯变换法拉普拉斯变换在常微分方程中的应用Laplace transform method in ordinary differential equation(group)Name: Ni Min StuNo: 08025085(Depailment of Mathematics Chaohu College Chaohu Auliui 238000)AbstractT
3、his paper gives the differential equation (Group) the basic concept piopeities and two kinds of solution, the variation of constants method and Laplasse transfbnn, differential equation of mathematical analysis for a branch of mathematics and applications, is closely related to the basic subject, it
4、s oneself also is in ceaseless development, learn the basic theoiv and method of oidinaiy diffeiential equations on fiuther study of mathematical theoiv and practical applications are veiy nupoitant.Based on the study of differential equations, analysis and companson of the vanation of constants met
5、hod and Laplace transfomi method the two solution methods, we can be veiy clear that relative to the complex variation of constants method, the Laplace method is veiy simple, so that it can solve a lot of.That is a fimction of the Laplace transfomi. and then in the complex domain for a vanetv of ope
6、rational results, by Laplace inverse tiansfbnu, can be very sunpie to achieve real field conesponding to the desned results.Iii real life, Laplace tiaiisfbnn method and also a lot of applications are closely lniked.Key words: oidinaiy differential equations; Oidinaiy differential equations; Laplace
7、transfomi method集湖学院2012届本科毕业论文（设计）拉普拉斯变换法在常微分方程（组）中的应用 I引言 1L1常微分方程基本概念 11.2线性微分方程的相尖定义及性质 312 1引言 31.2.3 非齐次线性微分方程的定义及性质 41.3线性微分方程的一般理论 51.3.1齐次线性微分方程组 51.3.2非齐次线性微分方程组的性质定理 62.1拉普拉斯变换的介绍 62.2拉普拉斯变换的定义性质及部分变换 73微分方程的求解 83.1用常数变易法求解常系数齐次线性微分方程 83.2用矩阵法求解常系数线性微分方程组 94拉普拉斯变换法在求解常微分方程（组）中的应用 114.1拉普拉
8、斯变换在常微分方程中的应用 114.1.1求解过程说明 114.2对比两种方法在常微分方程中的求解 124.2拉普拉斯变换法在常微分方程组中的应用 134. 2.1求解过程说明 134.2.2对比两种方法在常微分方程组中的求解 135探索 15结束语 19参考文献 20巢湖学院2012届木科毕业论文（设计）引言常微分方程在许多领域有重要的应用，各种电子学习设备的设计，弹道计算，飞机 和导弹的 飞行稳定性，化学反应过程的稳定性等等.应用拉普拉斯变换法求解齐次微分方程，可以将微分方 程化为代数方程，使问题得以解决.常微分方程理论中的应用己取得的伟大成就，但是现有的理论 仍然远远不能满足需求，需要进
9、一步发展，使这门学科拥有较完整的理论.1常微分方程1.1常微分方程基本概念1.1.1常微分方程和偏微分方程微分方程就是含有微分未知数的方程，如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，这种微分方程就叫做常微分方程；自变量的个数为两个或者多个的微分方程就叫做偏微分方程.方程cy = M)就是常微分方程的例子，这里y是未知函数，t是自变量.方程咚+咚+咚=0 ar dy dr就是偏微分方程的例子，这里T是未知函数，xyz,t都是自变量方程含有三个自变量、而方程(4)含有两个自变量.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数.尸yyr ay a y 就是一般微分方程的具体形式. 这里 是
10、半的己知函数，而且一定含有孕；y是未知函I dx )数，x 釜 ax ax ax自变量.我们学习的这门课程是常微分方程今后，我们把常微分方程简称为“微分方程”，有时更简称为“方程”.1丄2线性和非线性如果方程(5)的左端为y及？，；工的一次有理整式，则称(1.5)为n阶线性微dxdx分方程侧如，方程(1.1)是二阶线性微分方程.一般阶线性微分方程具有形式器+讣)铝+ 牛(嵋+2” (6)例如，方程嘤+今=0是二at-1(5)微分方程组用两个及两个以上的矢系式表示的微分方程称为微分方程组习惯将一阶常微分方程写成最高阶导数的形式dM) = g(f,Z,乙；dT) (7)其中如篇2諾r叫箸.如果把心
11、;严卅都理解为未知函数，取变* (n-1)% = z2 = z, ； = V则1】阶方程(7)可以用一阶方程组n-1一 YdTy（/y片=g（f 片）集湖学院2012届木科毕业论文(设计)代替，即可以将高阶微分方程或高阶微分方程组变换为一般的一阶微分方程组牛二,或更简单的写成向量形式其中y”) ,/ = 1,2,$ = / (r； V) aty/ 儿 一儿儿I_人(s，儿) fn (， 儿)前面提到的线性和非线性，等概念同样适合微分方程组.1. 2线性微分方程的相矢定义及性质121引言我们讨论如下的U阶线性微分方程dlx / dx ( * x 伐乔+(1)沪+% “)防， (丿其中q (f)
12、(1 = 1,2,./)及/都是区间atbk的连续函数.女口果/ (f)三0,贝IJ方程(8)变为dx z .d,tAx z xdx /、八我们把它叫做n阶齐次线性微分方程，简称齐次线性微分方程，而称形如方程(8)的方程为11阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且通常把方程(9)叫做对应于方程(8)的齐次线性微分方程.定理1如果q (f)(心1,2,./)及/都是区间atb的连续函数，则对于任一0丘。上及任意的兀，兀(1),.,兀”円)，方程(8)存在唯一解x=0 (f)，定义于区间atbk,且满足初值条件(10)(p(to) = Xo,AA =1.2.2 齐次线性微分方程的解的性
13、质(11)我们先來讨论齐次线性微分方程+ . +Cln(t) F Cln(t)x = O定理2(1)(叠加原理)女口果不(0,耳(。，忑卩)是方程(11)的k个解，则它们的线性组 合c內+人耳(!)+勺匚、心)也是的解，这里q,q,.,q是任意常数.特别地，当k=n时，即方程(11)有解x=(r)+c2%2 (f)+.+q 血 (12)它含有n个任意常数.定理3若函数不心，母在区间xrvb线性相矢，则在a,b上它们的朗 斯基行列式W(f)三0.定理0如果方程(9的解兀(1)()，(1)在区间atbk线性无矢，则 兀 还兀在这个区间的任何点上都不等于零，即W H0(d G b).定理5凶n阶齐次
14、线性微分方程(9)必然会有一个线性无矢的解.定理6(6)(通解结构定理) 如果不，乞，兀是方程(9)的n个线性无矢的解，则方程(12)的通解可表为x =f(r)+C2X2(f) + +c”兀(/) , (13)其中q,q,.,c“是任意常数.且通解(12)包括了方程(9)的所有解.方程(9)的一组11个线性无尖解称为方程的一个基本解组.显然，基本解组不是唯一的.特别 地，当w(r0) = 1时称其为标准基本解组.1.2.3非齐次线性微分方程的定义及性质分析n阶非齐次线性微分方程4dnx / dM (、dx I、 “、肋r+乔才+弘防+色“/巢湖学院2012届木科毕业论文(设计)易见方程(9)是
15、它的特殊情形.性质r10 如果】是方程的解，而是方程(9)的解，则曲)+ /也是方 程的解.性质2切方程(8)的任意两个解之差必为方程(9)的解.定理7(2) 设兀(0,冯兀(”为方程(9)的基本解组，而】(/)是方程的某解，则方程(8)的通解可表示为A = CiXi(r)+c2Xi(r)+.+cnA7i(r)+3: (r), (13)其中sc?,.,c “为任意常数.1.3线性微分方程的一般理论定义 线性微分方程组 x=A(r)x+/(r), (14)的一般理论，主要是研究它的解的结构问题.女口果于(”工0则可称(14)为非齐次线性的.女口果/(” = 0,则方程的形式为 y= (15)可称
16、(14)为齐次线性的.通常(15)称为对应于(14)的齐次线性微分方程组.1.3.1 齐次线性微分方程组定理8 171 (叠加原理)如果H(F)和” /)是(15)的解，则它们的线性组合 购(l)+0v(f)也是( 的解，这里亿0是任意常数.定理9(2) 如果向量函数兀()，兀兀(J在区间上线性相矢，则它们的朗斯基行列式W=0(必Ub).定理10(5) 如果(15)的解兀，兀，,线性无矢，那么，它们的朗斯基行列 式 w(r) = o(rZ?).巢湖学院2012届木科毕业论文（设计）定理11 151齐次线性微分方程组（15）定存在11个线性无矢的解不“)，不兀”()定理12如果兀巧是(15)的1
17、】个线性无矢的解，则(15)的任一解x均可表为xF) =qX (F) +qXi(l)+.+c (f)这里 q,七相应的确定常数.1.3.2非齐次线性微分方程组的性质定理非齐次线性微分方程x = A Ct) x-vf (t),(14)的解的结构问题，这里)是区间atb的己知“X”连续矩阵，/(I雇区间动上的己知n维连续列 向量.向量/ ()通常称为强迫项，如果(14)描述一个力学系统，/ (f)就代表外力.性质1如果0 (/)是(14)的解，0(1雇(14)对应的齐次线性微分方程组(15)的 解. 贝巾(1H 0(1 (14)的解.性质2刃如果0(1)和刃)是(14)的两个解，则0) -0 (“
18、是(14)的解.定理13何设(1)是(1.17)的基解矩阵，KJ是(14)的某一解，则(14)的任一解0 (f)都可表为0 (f) =(/r所定义的确定于复平面(Resb)上的复函数s的函数H5),称为函数/(/)的拉普拉斯变换，其中/()于加0有定义，且满足不等式W7八vM严，这里M,b为某两个正常数.我们将称/()为原函数，而F(s)称为像函数.定理1 口】如果对向量函数/存在常数M0及b0使不等式I |/(l)vM严对所有充分大的t成立，则初值问题x=Ax+/f)二力的解o及其导数c均像彳7丿r羊满足类似的不等式|/(r)|02t1厂Re503fn严Re504占1Re 5 Rete:1R
19、e 5 Re6n(泸Re 5 Re3微分方程的求解3.1用常数变易法求解常系数齐次线性微分方程定义n阶常系数非齐次线性微分方程念三等+4缶+% #+% = )对应的n阶常系数齐次线性微分方程为，如 + 占 + .+汕+% = 0,护* 严 rTdt1 (2.其中吆皿为常数，/(f)为连续函数.基本解组设几为(2)的特征根，可以为实数，也可以为复数.对方称(2)变形：dp/ +。宀(兄” + 必”+ .+%2 + 务)“三 F訂其中F(2)4“ + + +血=0 , (3)为方程(2)的特征方程.当特征根兄是单根时，设人，血，人是特征方程(3)的个彼此不相等的根，则相应地方程(3.2)的基本解组
20、为：訐“，若2,(/= 1,2,.,/?)为实数，则(2)的通解表示为x= + a- +. + c肿若人(心1,2,屮)为复根，则(2)的两个实值解为严cosO/,严smOf.当特征根兄有重根时：有k重根时，方程(2)的基本解组为：有2k重根时，方程(2)的基本解组为：出 cospt9tea cos阳出 cos cos J3t凸 sin儿泌 smptfeat /F smpt定理1给出方程：巢湖学院2012届木科毕业论文(设计)dgxdf (、dx (、人 /a丽曲1)丽叶+%不+讥片=0 (4)丽+ 萨 +张1)不+ )*/(/) (5)设兀(1L,心为方程的基本解组，而壬是方程(5)的某一解
21、，则方程(5)的通解可表示为x = qXi(/)+c2X2 (f)+cxf)+X (f),其中 q,q,.,c“为任意常数.对任一 n阶常系数非齐次线性微分方程都可以由上述方法求出对应的齐次线性微分(2)的 基本解组，再应用常数变易法求得(1)的一个特解，这样，根据定理一即可写出方程(1)的通解表达 式.例1试求方程/ -的通解.cosf解：对应的齐次线性微分方程为x+x = 0.特征方程久 + 2 = 0的根为入二入二1.所以原方程对应的齐次微分方程的基本解组为cos/,sill/应用常数变易法，令x = q(f)cosf 十c2 ()sinf将它代入方程，则可得决定c； (/)和c； (/
22、)的两个方程.c 1 (f) cos r + c； (f) sin/ = 0 及一sin tc (f)十 cos fc； (f)= 一cost解得：c； (f)= 一里巴,c； (f) = 1.积分得：q(/) = ln|cosfl-x, c(f) = / + 人 cost 于是原方程的通解为：x = q(f)=齐cosr + /2smf + cosfln|cosr| +lsuit其中齐，人为任意常数.3.2 用矩阵法求解常系数线性微分方程组定理2何如果矩阵A具有n个线性无矢的特征向量：，它们对应的特征值分别为人，人，.，人(不必各不相同)，那么矩阵（/）=戶 必1,一S是常系数线性微分方程组
23、TX =Ax+f (t)的常数变易公式，这里的人是n阶常数矩阵，7 （f）是己知的连续向量函数因为（7）对应的齐 次线性微分方程组（6）的基解矩阵为（1匕exp如，这时我们有T（s） = exp（-s4）gT（s） = exp（/_s）4,若初值条件是 （*）= ，则& (/) = exp(/-/o)4 (7)的解就是例 2：设 4=7（0二，试求方程&丿满足初值条件（0） =1O(r) = exp(r-ro)A ； 7+exp(r-5) A/ (5) 6/s的解“）解：求得exp At =代入公式（3.8）(f) V(3+5 少。(3-5e + ei w +严小i V1 （严）_严”）丄）池
24、（35八匕 丿1 小汐I )八卩i汐 3+5 占 5 B 1，得到（利用ro = O）(cos5/ sin St VOAi r-sin5r cos5f 丿(1 丿丿。 3(_$)fcos5/i-sui 5/sm 5fcos 5/,cos5(f-s) sin5(Z-5) V 厂 sin5(f-$) cos5(/-5)丿(0 )ds我们计算上面的积分如下:(6)集湖学院2012届木科毕业论文(设计)利用公式或者分部积分法，得到I e,4v cos 5scls = ( 4 cos 5s+ 5 sin 5s)Jo 16 + 25、二/45l匕(nm5一5cos5s)最后我们得到4拉普删变换法在求解常微
25、分方程(组)中的应用寺n4 cos 5/+ 46 sm 5f 4 厂八拉普拉斯变换在常微分方程中的应用4.1.1求解过程说明设给定微分方程竺+ 占+.+4“ 口)dtn 1 d/”T ” 八丿及初始条件兀(0)=兀，兀(0)”，严(0)=兀冋，其中4,“是常数，而/连续且满足原函数的条件。注意，如果兀是方程的任意解，则x(r)及其各阶导数d仏二1,2,3,./)均是原函数.记那么，按原函数微分性质有Lx(/) = 5Xxo,L )(/) =sX(sm_ 严虬一一兀 I,于是，对方程(1)两端施行拉普拉斯变换，并利用线性性质就得到$”X (S) 11。-S“2Xo _ 必 0 心)+ 严X(S)
26、 广乂 _.7(”T) r+.+%sX(S) 7 + d”X($) = F(s),即 (s” + 4严 + + a) X 二F (S) + ( st + qs+ .+a_Jxo + (s$ + + .+Jxo+.+xo或 A (5)X(5) =F (5)人(5),其中A,5和F(s)都是己知多项式，由此这就是方程的满足所给初始条件的解x(f)的像函数.而X (F)可直接查拉普拉斯变换表或由反变换公式求得.4.1.2对比两种方法在常微分方程中的求解例1:求方程计-x = F满足初始条件x(0) = 0的解.解：对方程两端施行拉普拉斯变换，得到方程的解的像函数所满足的方程$X-x (0) -X =
27、亠s 2由此，注意到x(O) = O,得X= 丄 直接查拉普拉斯变换表,5-1可得丄和丄的原函数分别为戶和H5-2 5-1因此，利用线性性质，就求得X(s)的原函数为这就是所要求的解.例2：求方程V + x =的通解.cost解：对应的齐次线性微分方程为/ + X = 0,特征方程才+兄二0的根为=人2 = 7.所以原方程对应的齐次微分方程的基本解组为cosr,sim-，应用常数变易法，令x = q(l)cosf+q(l)sinf将它代入方程，贝IJ可得决定q和勺1)的两个方程.cos 忆;(/ )+sin (/) = 0 及sin fq(/) + cos 忆三(/ )= 1cost巢湖学院2012届木科毕业论文(设计)解得：4(/)= 一邑巴，叮(/) = 1.积分得：q(0 = lii|cosf + 齐,c,(f) = F +于是原方程 cost 的通解为：只=齐COS/ +儿smr + cosrhi|cosr|4-rsnu,M中儿必为任意常数.通过上面的例题我们发现用常数变易法求解往往是比较繁琐的，而且必须经过积分 运算，这 无异于乂增加了题目的难度。而拉普拉斯变换法把常系数线性微分方程转换成 复数S的代数方程， 再通过代数运算进行计算，方法十分简单方便.4.2拉普卿T变换法在常微分方程组求解中的应用4. 2.1求解过程说明首先将拉普拉斯变换推广到向量函数的情形.定
