1、幂函数与指数函数的区别幂函数与指数函数的区别1.指数函数：自变量x在指数的位置上，y=ax（a0，a不等于1） 性质比较单一，当a1时，函数是递增函数，且y0; 当0a0.2.幂函数：自变量x在底数的位置上，y=xa（a不等于1）. a不等于1，但可正可负，取不同的值，图像及性质是不一样的。高中数学里面，主要要掌握a=-1、2、3、1/2时的图像即可。其中当a=2时，函数是过原点的二次函数。其他a值的图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像的走向即可。3.y=8(-0.7)是一个具体数值，并不是函数，如果要和指数函数或者幂函数联系起来也是可以的。首先你可以将其看成：指数函数y=8x（a=8），
2、当x=-0.7时，y的值；或者将其看成：幂函数y=x(-0.7)（a=-0.7），当x=8时，y的值。幂函数的性质：根据图象,幂函数性质归纳如下：（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点 （1,1）；（2）当a0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0,+ )上是增函数特别地，当a1时，幂函数的图象下凸；当0a1时，幂函数的图象上凸；（3）当a0，且a1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b。其中a叫做对数的底数，N叫做真数。注意:由于a0，故N0，即N为正数，可见零和负数没有对数。上面的问题:通常将以10为底的对数叫做常用对数，。以e为底的对数叫做自然对数，。2对
3、数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化。它们的关系可由下图表示。由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。3三个对数恒等式由于对数式与指数式可以互化，因此指数的恒等转化为对数恒等式。在（a0，a1）前提下有:4. 三个运算法则:指数的运算法则通过转化可变为对数的运算法则。在a0，a1的前提下有:(1) 令am=M，an=N，则有m=logaM，n=logaN， ， m+n=loga(MN)，即 (2) ，令am=M，an=N，则有m=logaM，n=logaN， ， ，即 。(3) ，令am=M，则有 m=logaM，m
4、n=n Mn=amn， mn= (nR)， n = 。5两个换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a0，a1，M0的前提下有:(1) 令logaM=b，则有ab=M，(ab)n=Mn，即 ，即 ，即:。(2) ，令logaM=b，则有ab=M，则有 即，即 ，即 当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性。而且由(2)还可以得到一个重要的结论: 例题选讲:第一阶梯 例1将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式： (1)log216=4； (3)54=625； 解： (1)24=16 (3)54=625，log5625=4. 例2解下列各
5、式中的x： (3)2x=3； (4)log3(x-1)=log9(x+5). 解： (3)x=log23. (4)将方程变形为 例3求下列函数的定义域： 思路分析： 求定义域即求使解析式有意义的x的范围，真数大于0、底大于0且不等于1是对数运算有意义的前提条件。 解： (1)令x2-4x-50，得(x-5)(x+1)0，故定义域为x|x5 04x-31。 所以所求定义域为x|-10，或0X2. 第二阶梯 例4比较下列各组数中两个值的大小 (1)log23.4， log28.5； (2)log0.31.8， log0.32.7； (3)loga5.1， loga5.9(a0，a1)。 思路分析：
6、 题中各组数可分别看作对数函数y=log2x、y=log0.3x、y=logax的两函数值，可由对数函数的单调性确定。 解： (1)因为底数21，所以对数函数y=log2x在(0，+)上是增函数，于是log23.4LOG28.5； (2)因为底数为0.3，又00.3log0.32.7； (3)当a1时，函数y=logax在(0，+)上是增函数，所以loga5.1LOGa5.9； 当0loga5.9。 说明：本题是利用对数函数的单调性比较两对数的大小问题，对底数与1的大小关系未明确指定时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小，利用函数单调性比较对数的大小，是重要的基本方法。 例5若a0，a
7、1，x0，y0，xy，下列式子中正确的个数是（ ） (1)logaxlogay=loga(x+y)； (2)logax-logay=loga(x-y)； (4)logaxy=logaxlogay； A、0 B、1 C、2 D、3 思路分析： 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。在运算中要注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算。如logaxlogax，logax是不可分开的一个整体。4个选项都把对数符号当作字母参与运算，因此都是错误的。 答案：A 例6已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求 。 思路分析：解本题的关键是设法将 的常用对数分解为2
8、，3的常用对数代入计算。 解： 第三阶梯 例7若方程lg(ax)lg(ax2)=4的所有解都大于1，求a的取值范围。 思路分析：由对数的性质，方程可变形为关于lgx的一元二次方程，化归为一元二次方程解的讨论问题。 解：原方程化为 (lgx+lga)(lga+2lgx)=4。 2lg2x+3lgalgx+lg2a-4=0， 令t=lgx，则原方程等价于 2t2+3tlga+lg2a-4=0，(*) 若原方程的所有解都大于1，则方程（*）的所有解均大于0，则 说明：换元要确保新变量与所替换的量取值范围的一致性。 例8将y=2x的图像（ ） A、先向左平行移动1个单位 B、先向右平行移动1个单位 C
9、、先向上平行移动1个单位 D、先向下平行移动1个单位 再作关于直线y=x对称的图像，可得函数y=log2(x+1)的图像。 思路分析：由于第二步的变换结果是已知的，故本题可逆向分析。 解法1：在同一坐标系内分别作为y=2x与y=log2(x+1)的图像，直接观察，即可得D。 解法2：与函数y=log2(x+1)的图像关于直线y=x以对称的曲线是它的反函数y=2x-1的图像，为了得到它，只需将y=2x的图像向下平移1个单位。 解法3： 本身。函数y=2x的图像向左或向右或向上平行移动都不会过(0，0)点，因此排除A、B、C，即得D。 说明：本题从多角度分析问题、解决问题，注意培养思维的灵活性。
10、例9已知log189=a，18b=5，求log3645的值；（用含有a、b的式子表示） 思路分析： 当指数的取值范围扩展到有理数后，对数运算就是指数运算的逆运算（扩展之前开方运算是乘方运算的逆运算）。因此，当一个题目中同时出现指数式和对数式时，一般要把问题转化，即统一到一种表达形式上。 解：由18b=5，得b=log185， 又log189=a，log189+log185=log3645=a+b，则 说明：在解题过程中，根据问题的需要指数式转化为对数式，或者对数式转化为指数式运算，这正是数学转化思想的具体体现，转化思想是中学重要的教学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活应用。 详细题解 1求值
11、:(1) (2) (3) 解:(1) 。(2) (3) 注意:lg2=log102，此为常用对数，lg22=(lg2)2，区别于。2求值:(1) (2) (3) 解:(1) (2) 。(3) 法一： 法二： 注意:运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可。(3) 的第二种方法直接运用的第一个换底公式，很方便。3已知:log23=a，log37=b，求:log4256=?解: ， ， 4已知:a2+b2=7ab，a0，b0。 求证:。证明: a2+b2=7ab， a2+2ab+b2=9ab，即(a+b
12、)2=9ab， lg(a+b)2=lg(9ab)， a0，b0， 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb， 2lg(a+b)-lg3=lga+lgb即5. 已知:求证:3ab-bc-2ac=0。证明:设 ，则: ， ， 3ab=bc+2ac，即 3ab-bc-2ac=0。6求值: 解: 另解:设 =m (m0)， ， ， ， lg2=lgm， 2=m，即。课后练习:12 34已知:xlog34=1，求:的值。5已知:lg2=a，lg3=b，求:log512的值。参考答案:1. - 2. - 3. 4. 5. 对数函数的性质及应用概念与规律:1对数函数y=logax是指数函数y=ax的反函数，
13、在学习对数函数的概念，图象与性质时，要处处与指数函数相对照。2在同一坐标系内，当a1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0A1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴。（见图1）例1求下列函数的定义域。(1) y=(2) y=ln(ax-k2x)(a0且a1，kR)解:(1)因为，所以 ，所以函数的定义域为(1， ) (，2)。(2) 因为 ax-k2x0，所以()xk。10，当k0时，定义域为R；20，当k0时，(i)若a2，则函数定义域为(k，+)；(ii)若0A2，且a1，则函数定义域为(-，k)；(iii)若a=2，则当0K1时，函数定义域为R；当k1时，此时不能构成函数，否则定
14、义域为。例2若logm3.5logn3.5(m，n0，且m1，n1)，试比较m ，n的大小。解:(1)当m1，n1时，3.51，由对数函数性质:当底数和真数都大于1时，对同一真数，底数大的对数值小，nm1。(2)当m1，0N1时，logm3.50，logn3.50， 0N1M也是符合题意的解。(3)当0M1，0N1时，3.51，由对数函数性质，此时底数大的对数值小，故0MN1。综上所述，m，n的大小关系有三种:1MN或0N1M或0MN1。例3作出下列函数的图象:(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx (2) y=lg|x| (3) y=-1+lgx解:(1)如图2； (2)如图3；
15、 (3)如图4。例4函数y=f(2x)的定义域为-1，1，求y=f(log2x)的定义域。提示:由-1x1，可得y=f(x)的定义域为，2，再由 log2x2得y=f(log2x)的定义域为，4。例5求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间。解:设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4， y=t为减函数，且0T4， y=-2，即函数的值域为-2，+)。再由:函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+30，即-1X3。 t=-x2+2x+3在(-1，1）上递增而在1，3)上递减，而y=t为减函数。 函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为1，3)。例6
16、已知f(x)=ax-a-x(其中0A1)。(1)求函数f(x)的反函数f-1(x)； (2)试判断函数f-1(x)的奇偶性，并证明你的结论。解:(1)设y=ax-a-x，则a2x-yax-1=0， ax0，解得ax=， x=loga ， 所求函数的反函数f-1(x)=loga (xR)。(2)xR且f-1(-x)=loga=loga =loga( )-1=-f-1(x)。函数f-1(x)是奇函数。例7已知f(logax)= (a0且a1)，试判断函数f(x)的单调性。解:设t=logax(xR+，tR)。当a1时，t=logax为增函数，若t1T2，则0X1X2， f(t1)-f(t2)=，
17、0X11， f(t1)F(T2)， f(t)在R上为增函数，当0A1时，同理可得f(t)在R上为增函数。 不论a1或0A1，f(x)在R上总是增函数。例8已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)。(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围。分析:与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题。f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+10的解集为R，这是不等式中的常规问题。f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍
18、一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图5，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是。解:(1)f(x)的定义域为R，即:关于x的不等式ax2+2x+10的解集为R，当a=0时，此不等式变为2x+10，其解集不是R；当a0时，有 a1。 a的取值范围为a1。(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或 0a1， a的取值范围为0a1。例9已知函数h(x)=2x(xR)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a1)，记ABC的面积为S。(1)求S=f(a)的表达式； (2)求函数f(a)的值域；(3) 判断函
19、数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S2，求a的取值范围。解:(1)依题意有g(x)=log2x(x0)，并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4)，C(a+8，log2(a+8) (a1)，如图6。 A，C中点D的纵坐标为log2a+log2(a+8) S=|BD|42=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8)。(2)把S=f(a)变形得:S=f(a)=22log2(a+4)-log2a-log2(a+8)=2log2=2log2(1+ )。由于a1时，a2+8a9，11+ ，又函数y=log2x在(0，+)上是增
20、函数， 02log2(1+ )2log2，即0S2LOG2 。(3)S=f(a)在定义域(1，+)上是减函数，证明如下:任取a1，a2，使1A1A21，a21，且a2a1， a1+a2+80， +8a20， +8a10， a1-a20， 11+ f(a2) S=f(a)在(1，+)上是减函数。(4)由S2，即得 ，解之可得:10且a1，b1时，f(x)在(-， )，(- ，+)上都是增函数，0A1时，f(x)在(-， )，(- ，+)上都是减函数。(4) f-1(x)= (x0，xR)。3. (1)证明f(x)为奇函数；(2)证明f(x)为R上的增函数。4log2 A1。专题辅导对数与对数函数
21、 1本单元重、难点分析1）重点：对数的定义；对数的性质与运算法则；在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质。2）难点：对数定义中涉及的名称较多，易混难记；对数的运算法则的指导和应用；对数函数的图象与性质及其运用。2典型例题选讲例1已知log23=a，3b=7，求log1256的值。讲解：先将3b=7转化为log37=b，然后设法将log1256化成关于log23和log37的表达式，即可求值。解法1 log23=a， 2a=3。又3b=7， 7=(2a)b=2ab，故56=23+ab。又12=34=2a4=2a+2。从而56=，故log1256=log12 。解法2 log23=
22、a， log32=，又 3b=7， log37=b，从而log1256=。解法3 log23=a， lg3=alg2，又3b=7， lg7=blg3，lg7=ablg2。从而log1256=。说明：解法1借助指数变形来解；解法2与解法3是利用换底公式来解，显得较简明，应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可。例2已知loga3logb30，则a，b，1的大小关系是_。讲解：由对数函数的性质可知，a1，b1，关键是判断a与b的大小，这可以利用对数函数的单调性来解决。解法1 由loga3logb30 0 log3blog3a0 log3blog3alog31
