1、量化资产配置专题报告量化资产配置专题报告1、简介 之前的量化资产配置系列报告讨论和应用了相关的资产配置模型和方法，比如有均值方差模型、风险平价资产配置方法、高阶矩资产配置方法等。在实际投资中没有完美的资产配置方案，所有的资产配置模型或者方法在不同市场不同时期都会有不同的表现。在这些模型或者方法中，没有存在哪一个可以持续性地战胜哪一个，在实际运用中需要考量当时的经济环境背景。这篇报告将会围绕着 Black-Litterman 模型（BL 模型）来展开，此模型最早是由 Fischer Black 和 Robert Litterman 1990 在高盛工作时期发明并且 1992 年在 Financi
2、al Analysts Journal 上发表。 区别于传统资产配置模型，BL 模型在不完全受限于历史数据的情况下可以加入一些主观观点。资产历史回报均值和协方差矩阵是传统资产配置模型的核心输入变量，同时这也突出了传统模型的弊端，过度地依赖历史数据，并且输出结果对数据的变化较为敏感。 在 BL 模型中，资产回报均值混合了投资者的预期观点和市场均衡回报，资产回报协方差矩阵则是在资产历史回报协方差矩阵的基础上加入了不确定性参数。主观观点和不确定性参数在 BL 模型中尤为重要，如果数值估计不当则会对输出结果产生较为负面的影响甚至会导致结果无意义。 对于 BL 模型的讨论和应用在业内和学术界有很多优秀的
3、文章，主观观点有时候会是一些问卷调查的均值结果，有时候会是一些数据终端提供的分析师一致预期，还有一些主观观点是来自不同模型的估计。这篇报告会应用一些宏观经济变量然后通过回归树去估计主观预期，并且基于线性回归的残差去估计不确定性参数。 2、理论背景 2.1 BL 模型 这个章节会主要介绍模型里的一些核心参数，详细的数学推导过程可以查阅参考资料里的相关文章。如图表 1 所示，Idzorek 总结了 BL 模型的核心步骤，BL 模型涉及的参数有风险厌恶系数(Risk Aversion Coefficient)、协方差矩阵(Covariance Matrix)、市值权重(Market Capitali
4、zation Weights)、观点(Views)、观点不确定性(Uncertainty of Views)、隐含均衡回报向量(Implied Equilibrium Return Vector)、先验均衡分布(Prior Equilibrium Distribution)、观点分布(View Distribution) 、 新 结 合 的 回 报 分 布 (New Combined Return Distribution)，先验均衡分布里的 是先验分布的信心常数，最后一步中的 P 是观点的一部分，全部参数如表格 1 所示： 在核心步骤中出现了先验均衡分布，可以看出 BL 模型的开发是基于贝叶
5、斯法则(Bayes theorem)，BL 模型结合了投资者对资产的预期回报和市场均衡回报，从而形成一个新的预期回报向量。当投资者对自己的观点较为确定的时候观点不确定性参数较小，当投资者对自己的观点没有十足把握的时候观点不确定性参数较大，这体现出 BL 模型可以在适当的时候减少对历史数据的依赖程度。贝叶斯法则的常见数学表达式： P(A|B) = P(B|A)P(A)P(B) 上式等同于密度函数版本的表达式： f(|x) = 𝑓(𝑥|)𝑓()𝑓(𝑥) 𝑓()是的先验分布，它表示在没有考虑数据x的情况对
6、的所有认知；𝑓(𝑥|)是似然函数，比如 𝑥|N(, 1)，𝑓(𝑥|)则是均值为方差为 1 的正态随机变量密度函数；在考虑数据 x 之后，f(|x)是的后验分布；𝑓(𝑥)是一个归一化常数确保后验分布积分等于 1，所以后验分布 f(|x) 𝑓()𝑓(𝑥|)。BL 模型在贝叶斯法则下的定义如图表 2所示： 通过 BL 模型得出两个重要的参数：资产预期回报(𝜇bl)和资产的协方差矩阵(bl)， 𝜇bl = 1P
7、+ ()111Q + ()1 bl = + ()1 + (1P)1 剩下计算权重的优化过程和均值方法模型是一样的，关于优化问题和均值方差模型可查阅金融数量方法论系列报告-资产配置的基石：组合优化问题的核心概念、量化资产配置系列报告-基于权重调整频率和协方差矩阵改善来提高资产配置方法的可能性和量化资产配置系列报告-加入协偏度和协峰度的高阶矩资产配置方法。 在 BL 模型中，要计算出𝜇bl和bl，需要先估计以下参数：、𝑊𝑚𝑘𝑡、Q、P。首先和主观观点相关的是（P，Q，），P是一个mxn的矩阵，Q是一个mx1的向量，是一
8、个mxm的对角矩阵，它们是用来表达资产的观点和观点不确定性其中 m 代表观点个数，n 代表资产个数，比如一个投资者对五只股票（X，Y，Z，F，G）有四个观点（只是举例说明，不具有任何代表性）： 1.预计股票 X 将会有 8%的年化收益，不确定性为 0.003 2.预计股票 Y 将会有 5%的年化收益，不确定性为 0.002 3.预计股票 Z 将会有 3%的年化收益，不确定性为 0.001 4.预计股票F的年化收益比股票G的年化收益多2%，不确定性为0.0005 很明显观点的取值会直接影响到𝜇bl和bl的最终结果，虽然 BL 模型可以灵活的加入投资者的主观观点，但是主观观点会直接
9、影响到最后的配置结果，所以在设置主观观点的时候需要十分谨慎。Q代表的资产预期回报可以通过多种方式得出，有使用一些数据终端提供的分析师一致预期也有通过单因素或者多因素资产定价模型估算出来的预期回报等方法；另一方面 代表的观点不确定性也可以通过多种方式得出，Walters 描述有四种方式计算：1). = diag(P()P)， 2).运用置信区间，3).运用因素模型残差的方差，4).Idzorek 方法。和目前业内对BL 模型研究报告不一样的是，本篇报告将会把一些常见的宏观经济变量运用在回归树模型和线性回归模型中然后分别得出 Q 和 的估计值。 上面介绍了 P，Q，还剩下 ，𝑊&#
10、119898;𝑘𝑡，其中 是资产历史回报的协方差矩阵。 是先验分布的信心常数，一个较小的 值表示对先验分布有较高的信心，在目前文献中对于 的取值一般是在0.01到0.05之间（较为常用的是在0.025-0.050之间），也有 = 1/Obs，其中Obs是样本的大小，当样本无限大的时候 值接近于 0 也就是说在有足够多的数据下投资者对先验分布的不确定性会越小，所以根据样本的大小来取值 也是比较合理的。𝑊𝑚𝑘𝑡是市值权重，这里可以理解成此权重构建的市场组合可以紧密跟踪基准指数。 是风险厌恶系数， = &
11、#120583;𝐵/𝜎𝐵𝑊𝑚𝑘𝑡𝑊𝑚𝑘𝑡其中𝜇𝐵和𝜎𝐵 是基准指数的均值回报和标准差，最后隐含均衡回报=𝑊𝑚𝑘𝑡。想要具体的了解这些参数可查阅 Walters的文章“The Black-Litterman Model in Detail”。 2.2 回归树 机器学习(Machine Learni
12、ng)传统意义上可以分为监督学习(Supervised Learning)和无监督学习(Unsupervised Learning)，然而在监督学习里包含了分类(Classification)和回归(Regression)两大类算法，回归决策树(Regression Decision Trees 简称回归树)就是回归算法里的其中一种，在不考虑深度学习(Deep Learning)和强化学习(Reinforcement Learning)的情况下，图表 3 罗列了一些常见的机器学习算法，算法还有很多,特别是一些算法即可以运用于分类也可以用于回归或者聚类，在这些算法中又有一些其他辅助算法比如回归树
13、可以通过交叉验(Cross Validation) 或者套装( Bagging)等算法尝试着去改善输出结果，另一方面当变量过多的时候可以通过进行主成分分 析 (Principal Component Analysis) 或 者 因 子 分 析 (Factor Analysis)等方法去降维。 在介绍回归树之前，先简单介绍一下监督学习和无监督学习。监督学习是基于输入和输出的数据去发展一个具有预测能力的模型，然而无监督学习是基于拥有的数据去寻找数据中隐含的结构；换句话说监督学习的目的是在两个数据集之间创立一个关系然后通过一个数据集去预测另外一个，可以说线性回归就是这样一个最简单的模型；与监督学习不
14、一样的是，无监督学习并没有对数据集贴上输入或者输出的标签（自变量或者因变量）然后通过指定的算法去探索数据集自身存在的规律或者去识别数据集背后的主要驱动因素。监督学习在金融市场的运用相对比较多一些，但是这么多的算法到底哪个更好，这里没有标准的答案，因为不存在单个最好方法能够解释市场的千变万化。寻找适用的算法一方面需要反复实验另一方面需要考虑到数据样本的大小和数据的类型。如果预测的数值是连续数值(比如股票的预期回报是 3%，3.5%，3.88%等)会选择回归，如果预测的数值是离散数值(比如买的信号=1，卖的信号=0；或者上涨=1，下跌=0)会选择分类。在 BL 模型中，Q 是资产回报的观点和是观点
15、的不确定性，它们是连续数值，所以会从回归中选择合适的算法。 线性回归可以被认为是一个最简单的监督学习方法，但是线性回归存在很多的不足之处。比如当数据中存在异常值，模型中有很多的变量或者变量间自相关，变量存在非线性的关系，在这些情况下线性回归不是一个最佳的选择。回归树可以说和线性回归的关系不大，并且它的计算过程也比较快，但是它对变量的敏感度较高并且容易出现过度拟合(overfitting)，这需要在选择变量的时候尽量避免波动幅度较大的变量和通过辅助算法减少过度拟合。本篇报告选择的一些宏观变量总体上来说波动都不是非常的显著。 回归树正如它的名字一样，它最终呈现出来的结果类似树的形状，每一个估计值是
16、叶子节点(leaf nodes)的最终结果，然而每个下层的叶子节点都是都是由上层的节点经过特定地不等式分支出来，当这一系列不等式分支出来的结果达到一定条件的时候就会停止分支。这些条件是用来选择每个节点最优的估计值，它背后的逻辑是减小均方误差(mean squared error)，详细的理论和推导可以查阅 Breiman et al.的著作“Classification and Regression Trees”；另一方面这些条件也有人为的设定，比如限制最大的节点数量或者在计算过程中的样本数量等设定。回归树计算的结果如图表 4 所示（只是举例说明，不具有任何代表性）： 上图的回归树结果可以表达
17、为，如果 x1-0.198119 & x2-0.326928, y 的估计值为-1.2999；如果 x1=-0.326928, y 的估计值为 0.19786；如果 x1=-0.198119 & x2=0.238403,y 的估计值为0.92458，其他结果以此类推，所有的这些条件和输出值是为了减小估计值和实际值之间的偏离程度。 3、结合回归树的BL 模型 3.1 宏观经济变量与大类资产 上文提到过主观观点和不确定性参数在 BL 模型中尤为重要，如果数值估计不当则会对输出结果产生较为负面的影响甚至会导致结果无意义。本文主观观点的数值会从回归树视角下的宏观经济变量与大类资产回报之间的关系来估计。
18、 宏观经济变量有很多，在高盛“Understanding Chinas Economic Statistics-Second Edition”里介绍了至少 50 个以上经济指标，它的研究团队总结了 10 个重要的经济指标：国内生产总值(Gross Domestic Product)、工业增加值(Industry Production)、固定资产投资(Fixed Asset Investment)、社会消费品零售总额(Retail Sales)、进出口金额(Merchandise Trade)、外汇储备(Foreign Exchange Reserves)、居民消费价格指数(Consumer P
19、rice Index)、工业生产者出厂价格指数(Producer Price Index)，广义货币(M2)、社会融资规模(Total Social Financing)，这些重要的经济指标是本篇报告的兴趣变量，除此之外还加入采购经理指数(Purchasing Managers Indices)指标，在实际的模型运用中只加入月频率的指标，这些经济指本篇报告选择了四类资产：权益、固收、货币、商品，每类资产的代表分别是沪深 300 指数(000300.SH)、中证国债指数(H11006.CSI)、中证货币基金指数(H11025.CSI)、SGE 黄金 (AU9999.SGE)。选择这四类资产主要是
20、因为它们几乎都有对应的 ETF 产品，然而通过 ETF 构建组合具有五省的优点：省事-解决选股难题、省心-运作简单透明、省钱-交易成本低廉、省时-资金使用效率高、省力-投资灵活高效（详细的介绍可以查阅上海证券交易所编著的ETF 投资：从入门到精通）。每类资产规模前三的 ETF 产品如表格 3 所示：截止 2019 年 8 月中旬，从表格 3 中可以看出，Wind的数据显示规模最大的是货币型 ETF，华宝添益(511990.SH)的规模约 988 亿元，规模最小的是上证 10 年期国债 ETF(511260.SH)约 2.1 亿元，最大规模的300ETF(510300.SH)有 365 亿元左右
21、。目前在我国 ETF 市场中，权益类ETF 规模最大的是华夏上证 50ETF(510050.SH)约 493 亿元(成立日2004/12/30)；固收类 ETF 规模最大的是平安中高等级公司债利差因子 ETF(511030.SH)约 52 亿元(成立日 2018/12/27)；商品类和货币类 ETF规模最大的是表格 3 里的华安黄金易(ETF)和华宝添益，相比全球资产管理规模最大的 BlackRock 旗下的 iShares ETF 产品的种类和规模，说明了我国的 ETF 市场还有很大的发展空间。iShares 权益类、固收类、商品类前三的 ETF 产品规模如表格 4 所示： 3.2 样本外回
22、测结果 回归树的自变量是上文提及的 10 个经济指标 X，因变量则是四类资产的回报 y1,y2,y3,y4，它们是 t-1 时刻和 t 时刻变量之间的关系。模型估计的时间开始于 2009，这主要是为了避免 2007-2008 年的大涨和大跌造成了结构性断层，还有一些经济指标的统计口径在后面的时间里也已经有所调整。获取数据之后，首先样本内训练(X,y1)、(X,y2)、(X,y3)、(X,y4)，然后通过自变量现时刻的数值去估计因变量下一时刻的预测值，得出的预测值则是 BL 模型的观点 Q；另一方面线性回归得到的标准化残差的方差则是 BL 模型下的不确定性，整一个估计和回测是基于滚动窗口。表格
23、5 罗列了 BL 模型最终的参数设置，𝑊𝑚𝑘𝑡 此权重构建的组合紧密跟踪基准指数中证时钟配置策略指数(931061.CSI)，如图表 5 所示，这个指数同样包含了四类资产，相对来说是一个比较合适的基准指数。 样本外的回测结果如图表 6 所示，结合了回归树的 BL 模型表现相对较好，区间的回报约 74%，同期的沪深 300（000300.SH）和中证时钟配置（931061.CSI）的回报分别约 29%和 49%；但是在最大回撤方面，中证时钟配置表现最好约 7.88%，结合了回归树的 BL 模型的最大回撤约13.71%，沪深 300
24、则高达 40.56%。总体上来说，估计主观观点基于回归树视角下的宏观经济变量与大类资产回报之间的关系还是提供了一定的参考价值。 4、总结本篇报告资产配置模型的核心是BL模型，区别于传统的资产配置模型，BL 模型的优点是可以灵活的加入投资者的主观观点。当过往历史数据和最新实际数据存在背离时，传统的资产配置模型往往会产生表现相对较差的结果，当投资者的主观预期和最新实际情况只是存在较小偏差的时候，BL 模型的配置结果表现会相对较好。BL模型的优点往往也是缺点，因为当主观预期和实际情况之间存在较大的背离时会严重影响资产配置结果，所以在给出主观观点的时候需要十分谨慎。本篇报告把回归树和 BL 模型相结合，预期回报来自于回归树视角下的宏观经济变量与大类资产回报之间的关系，最终结果显示结合了回归树的 BL模型在资产配置上存在一定的价值。
