1、慧华教育五年级下册数学第三单元知识点易错点汇总慧华教育五年级下册数学长方体与正方体知识点易错点汇总练习一、长方体和正方体的认识【知识点1】 要素立体图形棱面顶点数量特征数量特征数量特征长方体12互相平行的棱长度相等6相对的面完全相同8同一个顶点引出的三条棱分别叫做长、宽、高特殊长方体12垂直于正方形面的棱长度相等6两个面是正方形，其余四个面是完全相同的长方形8正方体12所有的棱长度都相等6所有面都是正方形且完全相同8一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有6各面是正方形，但不会存在3个、4个、5个面是正方形！练习：（1）判断并改正： 有三个面是正方形的长方体一定是正方体。（ ） 有两个相
2、对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。（ ） 长方体和正方体最多可以看到3个面。（ ） 长方体的12条棱中，长、宽、高各有4条。（ ）正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。（ ） 一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。（ ）（2）一个长方体最多有（ ）个面是正方形，最多有（ ）条棱长度相等。（3）一个长方体的底面是一个正方形，则它的4个侧面是（ ）形。（4）正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（ ），它的六个面都是相等的（ ）形。（5）把长方体放在桌面上，最多可以看到（ ）个面。最少可以看到（ ）个面。【知识点2】棱长和公式：长方体棱长
3、和=（长+宽+高）4 长+宽+高=棱长和4 长方体棱长和=下面周长2+高4 长方体棱长和=右面周长2+长4 长方体棱长和=前面周长2+宽4 正方体棱长和=棱长12 棱长=棱长和12棱长和的变形：例如：有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带？ 分析：本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的， 因此，在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长和。 前面和后面的彩带长度=高的长度；左面和右面的彩带长度=高的长度； 上面和下面的彩带长度=长的长度。 需要彩带的长度=高4+长2+打结部分长度 204+302+10=15
4、0cm练习： （1）看图2-7并填空单位：厘米这是一个( )体，正方体的棱长是( )厘米，棱长之和是( )厘米，每个面的面积是( )平方厘米。（2）有一个长方体的鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高30厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处，需要（ ）米的铝合金。（3）一个长方体的棱长总和是 80厘米，其中长是 10厘米，宽是 7厘米，高是（ ）厘米。（4）把两个棱长 1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（ ）厘米。（5）至少需要（ ）厘米长的铁丝，才能做一个底面周长是18厘米，高3厘米的长方体框架。（6）一个长方体长 12厘米宽 8厘米高 7厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正
5、方体的棱长是（ ）。（7）一个长方体的礼堂如图，过节时需要在四周装上成串的彩灯，每串彩灯长2m，一共需要多少串彩灯？（8）一个长方体棱长和164cm，已知长方体的底面周长为 72cm，长方体的高是多少cm？【知识点3】折叠可以组合成正方体:经过折叠可以组合成长方体：练习：下列三个图形中，能拼成正方体的是（ ） 【知识点4】长方体或正方体的切割组合对棱长的影响（1）切割将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条长和4条宽；（棱长增加的最长）将长方体竖向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条宽和4条高；（棱长增加的最短）将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后
6、，棱长将比原来增加4条棱。（2）组合将两个完全相同的长方体沿上下面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条宽；（棱长减少的最多）将两个完全相同的长方体沿前后面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条高；将两个完全相同的长方体沿左右面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条宽和4条高；（棱长减少的最少）将两个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来两个正方体时减少8条棱；一次类推将三个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来三个正方体时减少16条棱，四个组合减少24条棱，五个组合减少32条（公式：8（N1）例如：将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为140厘米，原来每个
7、正方体的棱长和是多少？分析：五个正方体棱长共有125=60条； 将五个完全相同正方体组合后棱长比原来减少32条，还剩60-32=28条； 即这28条棱的长度和即为新长方体的棱长和，所以正方体一条棱的长度为：14028=5cm； 所以一个正方体的棱长和为：512=60cm。【知识点5】小正方体拼大正方体的规律由于正方体，每条棱的长度相等，所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应该是相等的，因此要拼出最小的正方体至少需要222=23=8个（也就是说每条棱上放2个小正方体），接着再往大了拼正方体，就是每条棱上放3个小正方体即333=33=27个，依次类推接下来是444=43=64
8、个；555=53=125个 从中我们可以发现要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方。这就要求我们能够熟记一些数的立方：23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729 103=1000 小正方体拼大长方体的规律规律同正方体，首先观察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的a倍，宽是小正方体棱长的b倍，高是小正方体棱长的c倍，则，大长方体就是由abc个小正方体组成的。练习：（1）用棱长为1厘米的小正方体拼一个棱长为6厘米的大正方体需要（ ）个小正方体。（2）用棱长为3厘米的小正方体拼棱
9、长为9厘米的大正方体需要（ ）个小正方体。 A、8个 B、27个 C、26个 D、64个（3）用棱长为2厘米的小正方体拼一个稍大一些的正方体至少需要（ ）个小正方体。 A、4个 B、8个 C、16个 D、27个（4）下列有一些数量的棱长为1厘米的小正方体，哪些数量可以拼成较大的正方体。 （ ） A、27个 B、4个 C、1个 D、8个 E、32个 F、125个 （5）一个长方体的长宽高分别是18、12、9，如果用棱长为3的小正方拼一个这样的长方体，一共需要（ ）块这样的小正方体。（6）用（ ）个棱长为4cm的小正方体可以拼出一个长为16cm，宽和高均为8 的长方体。（7）一个长方体的盒子里面长
10、5分米，宽4分米，深3分米，放棱长为5厘米的正方体小木块共可以放（ ）块。（8）两个棱长1厘米的正方体木块，拼成一个长方体，这具长方体表面积是（ ）平方厘米。2、长方体和正方体的表面积【知识点1】 长方体表面积=（长宽+长高+宽高）2 =（ab+ac+bc）2 =（前面面积+上面面积+右面面积）2正方体表面积=棱长棱长6=aa6=6a2 =任意一个面的面积6前面面积=后面面积；左面面积=右面面积；上面面积=下面面积 两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体，表面积不一定相等！表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体，棱长和也不一定相等！ 练习：（1）一个正方体的棱长总和是48分米，
11、它的棱长是（ ），表面积是（ ）。（2）一个长方体长6厘米，宽4厘米，高3厘米。这个长方体上下两个面的面积各是（ ）平方厘米，前后两个面的面积各是（ ）平方厘米，左右两个面的面积各是（ ）平方厘米，表面积是（ ）平方厘米。（3）判断题：长方体的表面积一定比正方体的表面积大。 ( ) 如果一个长方体能锯成四个完全一样的正方体，那么长方体前面的面积是底面积的4倍（）（4）把一个棱长为6米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（ ）。（5）长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的棱长总和是 （ ）厘米，六个面中最大的面积是（ ）平方厘米，表面积是（ ）平方厘米。（6）用
12、字母表示正方体（或长方体）的表面积（ ）；用字母表示长方体的体积公式是（ ）。（7）下面哪些问题跟长方体表面积有关。 （ ） A：在一个长方体木箱外面刷油漆，刷油漆的面积一共有多少平方分米？ B：做一个长方体的金鱼缸需要多少玻璃？C： 求一个长方形足球场需多少平方米的草皮？（8）一个长方体的长是5分米，宽和高都是4分米，在这个长方体中，长度为4分米的棱有（ ）条，面积是20平方分米的面有（ ）个。（9）一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（ ）。（10）一个正方体的底面积是64平方厘米，它的表面积是（ ）。【知识点2】长方体
13、表面求法的变形：1贴商标类型：只求四周面积。例如：一个长方体包装盒，长宽高分别为8,4,5，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸的面积是多少？2游泳池类型：只求四周和底面。例如：一座游泳池，长宽高分别为10m，4m，1.5m，需要在池内贴上边长为1dm的瓷砖，大约需要多少块瓷砖？3抽纸盒类型：六个面面积减去缺口面积。 例如：一款抽纸盒，长宽高分别是20cm，12cm，5cm，上面有长14cm，宽3cm的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬纸片？4占地面积问题：只求底面面积。例如：一个长方体蓄水池，长12m，宽8m，深3m，这个水池占地面积多少平方米？练习：（1）一盒饼干长20厘米，宽15厘米，高30
14、厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，如果商标纸的接头处是4厘米，这张商标纸的面积是多少平方厘米？（2）一种长方体硬纸盒，长10厘米，宽6厘米，高5厘米，有2平方米的硬纸板210张，可以做这样的硬纸盒多少个？（不计接口） （3）一个通风管的横截面是边长是0.5米的正方形,长2.5米.如果用铁皮做这样的通风管50只,需要多少平方米的铁皮? （4）一个房间的长6米，宽3.5米，高3米，门窗面积是8平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米？如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？ （5）在一节长120厘米，宽和高都是10厘米的通风管，至少需要铁皮多少平方厘米？做1
15、2节这样的通风管呢？ （6）做一个正方体无盖纸盒，棱长是21厘米，至少需要多少平方厘米的纸板？（7）一个抽屉，长50厘米，宽30厘米，高10厘米，做这样的2个抽屉，至少需要木板多少平方厘米？（8）长方体的长为12厘米，高为8厘米，阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？（9）一只鱼缸，棱长和为280cm，其中，底面周长为50cm，右面周长为40cm，前面周长为50cm，这只鱼缸的占地面积是多少平方厘米？（10）一块长方形铁皮长60厘米，宽40厘米，如 图， 从四个角上剪去边长是10厘米的正方形，然后做成盒子，这个盒子的表面积是多少平方厘米？【知识点3】棱长变
16、化对表面积、体积的影响： 正方体正方体的棱长扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍；正方体的棱长扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。 长方体长方体的长宽高同时扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍； 长方体的长宽高同时扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍； 长方体的长宽高同时扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。练习：（1）大正方体的棱长是小正方体的棱长的2倍，那么大正方体的表面积是小正方体表面积的（ ）
17、倍。（2）正方体的棱长缩小5倍，它的体积就缩小（ ）倍（3）一个长方体的长、宽、高都扩大4倍，它的表面积就（ ）。（4）正方体的棱长扩大6倍，表面积扩大（ ）倍。（5）一个正方体的棱长为4厘米扩大为2倍后，其棱长和为（ ）厘米，表面积为（ ）平方厘米比原来扩大了（ ）。（6）一个长方体长扩大2倍，高扩大4倍，体积扩大（ ）倍。（7）大正方体的表面积是小正方体的4倍，那么大正方体的棱长是小正方体的（）；大正方体棱长之和是小正方体的（ ） A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 （8）把一个正方体切成大小相等的8个小正方体，8个小正方体的表面积之和（ ）。 A.等于大正方体的表面积 B.等于大正方
18、体表面积的2倍 C.等于大正方体表面积的3倍（9）一个表面积为36平方厘米的正方体木块，切成两个长方体，表面积增加了（ ）平方厘米。（10）一个正方体棱长缩小2倍，表面积缩小（ ）倍，体积缩小（ ）倍。（11）长方体的长、宽、高各缩小为原来的一半，它的体积会缩小为原来的（ ）倍。（12）长方体的长扩大为原来的2倍，宽不变，高缩小为原来的一半，体积（ ）。【知识点4】 立体图形的切割：（切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题） 长方体沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。而且每切一刀增加两个完全
19、相同的面，切两刀增加四个完全相同的面，依次类推。 正方体无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，增加的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。例如：两盒磁带有三种不同的包装方式，你说哪一种最省包装纸？ 要求最省包装纸，即表面积最小，也就是表面积比原来单独包装时减少的表面积最多，根据规律应该选择第一种包装方式。练习：（1）把一个棱长为6米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（ ）。（2）用两个长4厘米、宽4厘米、高1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积最大是（ ）平方厘米，最小是（ ）平方厘米。（3）把一根长80厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木料锯
20、成长都是40厘米的两段，表面积比原来增加了（ ）平方厘米。 （4）用两个长、宽、高分别是3厘米，2厘米，1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是（ ）平方厘米。（5）棱长是a的两个立方体拼成长方体，长方体的表面积比正方体的表面积和减少（ ）。（6）一根长方体木料，长1.5米，宽和厚都是2分米，把它锯成4段，表面积最少增加（ ）平方分米（7）一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体，截成两个形状，大小完全一样的长方体，表面积最多能增加多少平方厘米？（8）把一根长2米的方木（底面是正方形）锯成三段，表面积增加5.76平方分米，原来这根方木的底面积是多少平方分米？（9）一根1.8m
21、长的木材，锯成三个完全相同的正方体后，表面积比原来增加多少平方厘米？（10）一个长方体长为1.5分米，宽为0.5分米，高位1分米，锯三刀之后之后可以锯成6个完全相同的正方体，每个正方体的表面积是多少？这时表面积之和比原来增加多少？从一个长方体中切出一个最大的正方体问题应该以长方体中最短的棱作为切出正方体的棱长，这样的正方体将是能切出的最大正方体，否则切出的将不是正方体。例如：在一个长是4厘米，宽为3厘米，高为2厘米的长方体中切出一个最大的正方体，该正方体的棱长和是多少？剩余部分的表面积是多少？分析：以最短的棱为正方体的棱长，即以高为2cm的棱为正方体的棱长，那么正方体的棱长和为：212=24c
22、m。切去正方体后所剩部分的长为4-2=2cm，宽为3-2=1cm，高仍为2cm，因此所剩部分表面积为：（21+22+12）2=16cm2。 立体图形的组合（组合只会使表面积减少，因此存在减少最多或最少的问题） 长方体将原来长方体的最大面组合在一起，其表面积比原来减少的最多。将原来长方体的最小面组合在一起，其表面积比原来减少的最少。而且两个组合将减少两个完全相同的面，三个组合减少四个完全相同的面，依次类推。 正方体无论沿那个面组合，都将减少两个正方形的面，减少的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。练习：（1）把三个棱长是1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（ ），比原来3个正方
23、体表面积之和减少了（ ）。（2）把三个棱长是2分米的正方体拼成一个长方体，表面积是（ ），体积是（ ）。（3）用27个体积是1立方厘米的小正方体粘合成一个大正方体，粘合后的大正方体的表面积是（ ）（4）把三个完全相等的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350平方米。这个正方形的表面积是多少平方米？（5）一个长方体的长8厘米，宽6厘米，高5.5厘米。将两个这样的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是多少？体积是多少？（6）一种长方体积木，长3厘米，宽2.5厘米，高2厘米。将两块这样的长方体拼成一个新的长方体，表面积最小是多少？（7）用3个棱长5分米的正方体粘合成一个长方体，表面积减少多少平
24、方分米？表面积是多少平方厘米？（8）有三个大小相等的正方体，将他们拼成长方体，表面积减少32平方厘米。求所拼长方体的表面积。（9）用两个同样的长、宽、高分别为4厘米、3厘米和2厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？（10）用两个长6厘米，宽3厘米，高1厘米的长方体一起包装，至少需要包装纸多少？ 【知识点5】小正方体拼成的大正方体表面涂漆问题大正方体长、宽、高上有几个小正方体，则将长、宽、高上的正方体数相乘就是大正方体所含小正方体的总数；在顶点位置的小正方体露在外面的面有3个；在棱上（不包含顶点位置）的小正方体露在外面的面有2个；在面上（不包含棱上）的小
25、正方体露在外面得面有1个；用总数3个面的2个面的1个面得=没有露在外面的小正方体的个数。 在该正方体表面涂上漆，有三个面涂上漆的小正方体有几个？有两个面图上漆的小正方体有几个？有一个面涂上漆的小正方体有几个？没有涂上漆的小正方体有几个？图中，长方体共有（ ）个小正方体；其中两个面露在外面的小正方体共有（ ）个；没有露在外面的小正方体共有（ ）个。图二中三个图中分别有（ ）、（ ）、（ ）小正方体组成。第二个长方体中有三个面在外面得正方体有（ ）个，两个面在外面的正方体有（ ）个，一个面在外面的有（ ）个，没有露在外面的小正方体（ ）。（知识点6）小正方体拼成的大正方体在取走一部分后表面积的变化
26、挖去的小正方体在顶点位置，则大正方体的表面积不变，因为原来在顶点位置小正方体露在外面的面为3个，挖去后露出来的面也是3个，所以表面积不变。 挖去的小正方体在棱的位置，则大正方体的表面积增加，因为原来在棱上的小正方体露在外面的面有2个，挖去后会露出4个面，所以表面积会增大。 挖去的小正方体在面上，则大正方体的表面积也会增加，因为原来在面上的小正方体只有1个面露在外面，挖去后会露出5个面，所以表面积会增大。练习：（1）图一是由棱长是2厘米的小正方体拼成的立体图形，求这个立体图形的表面积。 图二 图一 （2）图二用12个小正方体拼成的长方体中，如果拿掉带阴影部分的2个小正方体，它的表面比原来（ ）。
27、【知识点7】单位换算长度单位：mm、cm、dm、m 相邻两个单位进率为10面积单位：mm2、cm2、dm2、m2 相邻两个单位进率为100体积单位：mm3、cm3、dm3、m3 相邻两个单位进率为1000容积单位：ml、l 相邻两个单位进率为1000特别的：1ml=cm3 1l=1dm3 1方=1m不是同一类型的单位，数据不能比较大小，同一类型的单位中右边的单位比左边的单位大。大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率。例如：手指尖约占了1立方厘米的空间，即它的体积约为1立方厘米。 一个粉笔盒的体积约为1 dm。 建一游泳池，约要挖土6000方。 1.36 dm =1360 cm 4.57
28、3m =4573 dm 一个烧杯约能装水500ml。 520ml=0.52L 5.67L=5.67 dm =5670cm练习：(1)3.2立方分米=（ ）立方厘米 500立方分米=（ ）立方米9立方米500立方分米=（ ）立方米=（ ）立方分米3.6升=（ ）毫升=（ ）立方厘米 1700平方厘米=（ ）平方分米=（ ）平方米2.8立方分米=( )立方厘米 0.8升=( )毫升720立方分米=( )立方米 51000毫升= ( )升32立方厘米=( )立方分米 4.25立方米=( )立方分米=( )升(2)一个水池能装水400立方米，这是指（ ），占地2公顷指的是（ ）。 一块橡皮擦的体积约是
29、8( )。 一本书的封面约是2( )。 运货集装箱的体积约是40( )。 一支钢笔长18( )。 一台录音机的体积约是20( )。三、长方体和正方体的体积【知识点1】容积与体积基本概念体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积；一个物体的容积一般都比它的体积小。当容器壁厚度忽略不计时体积=容积；否则体积容积。比如说，一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积。（容器壁忽略不计）体积计算方法：长方体的体积=长宽高正方体的体积=棱长棱长棱长长方体和正方体的体积=底面积高=右面面积长=前面面积宽体积相等的两个长方体或者一个长方体与一个正方体，表面积不一定相等，棱长和也不一定相等。体积相等的两个正方体，表面积一定相等，棱长和也一定相等。体积相等的情况下正方体的表面积比长方体的小；表面积相等的情况下正方体的体积比长方体的体积大。练习：（1）表面积是54平方厘米的正方体，它的体积是（ ）立方厘米（2）一个长方体框架长8厘米，宽6厘米，高4厘米，做这个框架共要（ ）厘米铁丝，是求长方体（ ），在表面贴上塑料板，共要（ ）塑料板是求（ ），在里面能盛（ ）升水是 求（ ），这个盒子有（ ）立方米是求（ ）（3）长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的棱长总和是 （ ）厘米，六个面中最大的面积是（ ）平方厘米，表面积是（ ）平方厘米，体积是（
