1、高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形43三角函数的图象与性质教师用书理苏教【2019最新】精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4-3三角函数的图象与性质教师用书理苏教1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0).余弦函数ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1).2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xR且xk，kZ值域1，11，1R单调性在2k，2k(kZ)上递增
2、；在2k，2k(kZ)上递减在2k，2k(kZ)上递增；在2k，2k(kZ)上递减在(k，k)(kZ)上递增最值当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)(kZ)(k，0) (kZ)(，0)(kZ)对称轴方程xk(kZ)xk(kZ)周期22【知识拓展】1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.奇偶性若f(x)Asin(x)(A，0)
3、，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin x在第一、第四象限是增函数.()(2)常数函数f(x)a是周期函数，它没有最小正周期.()(3)正切函数ytan x在定义域内是增函数.()(4)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(5)ysin |x|是偶函数.()(6)若sin x，则x.()1.函数f(x)cos(2x)的最小正周期是_.答案解析最小正周期为T.2.(教材改编)函数ytan x的单调递减区间是_.答案(k，k)(kZ)解析因为ytan x
4、与ytan x的单调性相反，所以ytan x的单调递减区间为(k，k) (kZ).3.(教材改编)sin 11，cos 10，sin 168的大小关系为_.答案sin 11sin 168cos 10解析sin 168sin(18012)sin 12，cos 10sin(9010)sin 80，又ysin x在0，90上是增函数，sin 11sin 12sin 80，即sin 11sin 168cos 10.4.(教材改编)y1sin x，x0，2的图象与直线y的交点个数为_.答案2解析在同一坐标系中作出函数y1sin x，x0，2和y的图象(图略)，由图象可得有两个交点.5.(教材改编)下列满
5、足函数ytan 的条件是_.(填序号)在(0，)上单调递增；为奇函数；以为最小正周期；定义域为x|x，kZ.答案解析令0x，得00，kZ，得k0，所以，.引申探究本例(2)中，若已知0，函数f(x)cos(x)在(，)上单调递增，则的取值范围是_.答案，解析函数ycos x的单调递增区间为2k，2k，kZ，则解得4k2k，kZ，又由4k0，kZ且2k0，kZ，得k1，所以.思维升华(1)已知三角函数解析式求单调区间：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解
6、不等式求解.但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.(1)函数f(x)sin的单调减区间为_.(2)若函数f(x)sin x(0)在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减，则_.答案(1)，kZ(2)解析(1)由已知函数得ysin，欲求函数的单调减区间，只需求ysin的单调增区间.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所给函数的单调减区间为(kZ).(2)f(x)sin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数.由f(x)sin x(0)
7、在上单调递增，在上单调递减，知，.题型三三角函数的周期性、对称性命题点1周期性例3(1)在函数ycos|2x|，y|cos x|，ycos，ytan中，最小正周期为的所有函数为_.(2)若函数f(x)2tan(kx)的最小正周期T满足1T2，则自然数k的值为_.答案(1)(2)2或3解析(1)ycos|2x|cos 2x，最小正周期为；由图象知y|cos x|的最小正周期为；ycos的最小正周期T；ytan的最小正周期T.(2)由题意得，12，k2k，即k，又kZ，k2或3.命题点2对称性例4(2016盐城模拟)当x时，函数f(x)sin(x)取得最小值，则下列关于函数yf(x)的说法正确的是
8、_.是奇函数且图象关于点(，0)对称；是偶函数且图象关于点(，0)对称；是奇函数且图象关于直线x对称；是偶函数且图象关于直线x对称.答案解析当x时，函数f(x)取得最小值，sin()1，2k(kZ)，f(x)sin(x2k)sin(x)，yf(x)sin(x)sin x， yf(x)是奇函数，且图象关于直线x对称.命题点3对称性的应用例5(1)已知函数y2sin的图象关于点P(x0，0)对称，若x0，则x0_.(2)若函数ycos(x)(N*)图象的一个对称中心是(，0)，则的最小值为_.答案(1)(2)2解析(1)由题意可知2x0k，kZ，故x0，kZ，又x0，k，kZ，k0，则x0.(2)
9、由题意知k(kZ)，6k2(kZ)，又N*，min2.思维升华(1)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0，0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断.(2)求三角函数周期的方法利用周期函数的定义.利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.(1)(2016常州模拟)已知函数f(x)2sin(x)，若对任意的实数x，总有f(x1)f(x)f(x2)，则|x1x2|的最小值是_.(2)如果函数y3cos(2x)的图象关于点(，0)中心对称，那么
10、|的最小值为_.答案(1)2(2)解析(1)由题意可得|x1x2|的最小值为半个周期，即2.(2)由题意得3cos(2)3cos(2)3cos()0，k，kZ，k，kZ，取k0，得|的最小值为.5.三角函数的性质考点分析纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分.典例(1)(2015课标全国改编)函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为_.(2)已知函数f(x)2cos(x)b对任意实数x有f(x)f(x)成立，且f()1，则实数b的值
11、为_.(3)已知函数f(x)2sin x(0)在区间上的最小值是2，则的最小值为_.解析(1)由图象知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，kZ，得2kx0且|)在区间，上是单调减函数，且函数值从1减少到1，则f()_.答案解析由题意得函数f(x)的周期T2()，所以2，此时f(x)sin(2x)，将点(，1)代入上式得sin()1 (|)，所以，所以f(x)sin(2x)，于是f()sin()cos .2.函数y的定义域为_.答案2k，2k，kZ解析由2sin x10，得sin x，2kx2k，kZ.3.关于函数ytan(2x)，下列说法正确的是_.是奇函数
12、；在区间(0，)上单调递减；(，0)为其图象的一个对称中心；最小正周期为.答案解析函数ytan(2x)是非奇非偶函数，错误；在区间(0，)上单调递增，错误；最小正周期为，错误.当x时，tan(2)0，(，0)为其图象的一个对称中心.4.若函数f(x)cos 2x，则f(x)的一个递增区间为_.(，0) (0，)(，) (，)答案解析由f(x)cos 2x知递增区间为k，k，kZ，故只有满足.5.已知函数f(x)2sin(2x)(|)，若f()2，则f(x)的一个单调递减区间是_.， ， ，答案解析由f()2，得f()2sin(2)2sin()2，所以sin()1.因为|，所以.由2k2x2k，
13、kZ，得kxk，kZ.当k0时，x.6.(2016南京模拟)已知函数f(x)2sin(x)1(xR)的图象的一条对称轴为x，其中为常数，且(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为_.答案解析由函数f(x)2sin(x)1(xR)的图象的一条对称轴为x，可得k，kZ，k，从而得函数f(x)的最小正周期为.7.函数ysin x的图象和y的图象交点的个数是_.答案3解析在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图所示：由图可知交点个数是3.8.函数ycos2xsin x(|x|)的最小值为_.答案解析令tsin x，|x|，t.yt2t12，当t时，ymin.9.函数ycos(2x)的单调减区间为_.答
14、案k，k(kZ)解析由ycos(2x)cos(2x)，得2k2x2k (kZ)，解得kxk (kZ)，所以函数的单调减区间为k，k(kZ).10.用“五点法”作出函数y12sin x，x，的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间.y1；y1.(2)若直线ya与y12sin x，x，有两个交点，求a的取值范围.解列表如下：x0sin x0101012sin x13111描点连线得：(1)由图象可知图象在y1上方部分时y1，在y1下方部分时y1，所以当x(，0)时，y1；当x(0，)时，y1.(2)如图所示，当直线ya与y12sin x有两个交点时，1a3或1a1，所
15、以a的取值范围是a|1a3或1a1.11.已知函数f(x)sin(x)(0)的最小正周期为.(1)求当f(x)为偶函数时的值；(2)若f(x)的图象过点(，)，求f(x)的单调递增区间.解f(x)的最小正周期为，则T，2，f(x)sin(2x).(1)当f(x)为偶函数时，f(x)f(x)，sin(2x)sin(2x)，将上式展开整理得sin 2xcos 0，由已知上式对xR都成立，cos 0，0，.(2)f(x)的图象过点(，)时，sin(2)，即sin().又0，0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的单调区间.解(1)x，2x，sin，2asin2a，a，f(x)b，3ab，又5f(x)1，b5，3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)0，得g(x)1，4sin11，sin，2k2x2k，kZ，其中当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递增，即kxk，kZ，g(x)的单调增区间为，kZ.又当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递减，即kxk，kZ.g(x)的单调减区间为，kZ.
