1、二次函数知识点总结与典型例题次 函数知 识点总 结及典 型例题一、 二次函数的概念和图像1 、二次函数的概念一般地，如果y ax2 bx c(a,b, c是常数，a 0)，那么y叫做x的二次函数。2y ax bx c(a,b,c是常数，a 0)叫做二次函数的一般式。2、 二次函数的图像K二次函数的图像是一条关于 x 对称的曲线，这条曲线叫 抛物线。2a抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、 二次函数图像的画法-五点法：二、 二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：y2 axbx c(a,b,c 是常数，a 0)(2)顶点式：ya(xh)2k(a, h,k是常数，
2、a 0)(3)当抛物线y2 axbxc与x轴有交点时，即对应二次好方程ax2 bx c 0次函数y ax2 bx c可转化为两根式y a(x xj(x x2)。如果没有交点，则不能这样表示。三、抛物线y ax2 bx c中，a, b, c的作用(1) a决定开口方向及开口大小，这与 y ax2中的a完全一样.(2) b和a共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线b bx ，故：b 0时，对称轴为y轴所在直线；b 0 (即a、b同号)时, 2a a对称轴在y轴左侧；b 0 (即a、b异号)时，对称轴在 y轴右侧.a(3)c的大小决定抛物线 y ax2 bx c与
3、y轴交点的位置.当x 0时，y c，二抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点(0, c):c 0，抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立 .如抛物线的对称轴在 y轴右侧，则 - 0.a四、二次函数的性质1、二次函数的性质五、二次函数与一元二次方程的关系元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 X轴的交点坐标。因此一元二次方程中的b2 4ac，在二次函数中表示图像与 x轴是否有交点。当 0时，图像与x轴有两个交点;当 =0时，图像与x轴有一个交点;当 0时，图像与x轴没有交点。补充： 函数平移规律：左加右减、上加下减，即
4、当如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）b . 4ac b2时，y最值2a 4a典型例题5.在平面直角坐标系中，将抛物线 yx2 2x 3绕着它与y轴的交点旋转180 ，所得抛物线的解析式是（).2A. y (x 1)2 B.y(x1)2 42c. y (x 1)2 D.y(x1)2 4b2 4acabc 02a b 0a b c 0a b c 0，则正确的结论是27抛物线y ax bx c上部分点的横坐标 x，纵坐标y的对应值如下表:x-2-1012y04664从上表可知，下列说法中正确的是 （填写序号）2抛物线与x轴的一个交点为（3,0 ）；函数y ax b
5、x c的最大值为6；1抛物线的对称轴是 x -； 在对称轴左侧， y随x增大而增大.28.如图，在平面直角坐标系中， O是坐标原点，点 A的坐标是（一2, 4）,过点A作ABLy轴，垂足为B,连结OA（1） 求AOAB的面积；（2） 若抛物线y x2 2x c经过点A.1求c的值；2将抛物线向下平移 m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在 OAB勺内部（不包括 O/B的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）.1 2 39.已知二次函数 y= 4 x + 2 x的图像如图.(1)求它的对称轴与 x轴交点D的坐标；(2) 将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与 x轴、y轴的交点分别
6、为A、B C三点，若/ ACE=90 求此时抛物线的解析式；(3) 设(2)中平移后的抛物线的顶点为 M以AB为直径，D为圆心作O D,试判断直线CM与O D的位置关系，并说明理由.10.如图，在平面直角坐标系 xOy中，AB在x轴上，AB= 10,以AB为直径的O O与y轴正半轴交于点C,连接BQ AC CD是O O的切线，ADL CD于点D, tan / CAD=丄，抛物线22y ax bx c 过 A, B, C三点.(1 )求证：/ CAD=Z CAB(2 求抛物线的解析式；判定抛物线的顶点 E是否在直线CD上，并说明理由；(3)在抛物线上是否存在一点 P,使四边形PBCA是直角梯形.
7、若存在，直接写出点 P的 坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由.与y轴相交于点 M 且M是BC的中点，A B D三点的坐标分别是 A (-1 , 0), B( -1 , 2), D( 3，0)，连接DM并把线段DM沿 DA方向平移到 ON若抛物线y=ax2+bx+c经过点D M N.(1)求抛物线的解析式(2) 抛物线上是否存在点 P.使得Paf PC若存在，求出点 P的坐标；若不存在.请 说明理由。(3) 设抛物线与x轴的另一个交点为 E.点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点 Q在什么位置时有QE QC最大？并求出最大值。y轴交于C点，且A （一 1,0）求m勺值.12.如图，抛物线
8、y= - x2+bx 2与x轴交于A B两点，与2求抛物线的解析式及顶点 D的坐标；判断 MB啲形状，证明你的结论；点Mm 0）是x轴上的一个动点，当 CMDM勺值最小时,20A和0C分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线 y=ax+bx+c( a0)过矩形顶点B、C(1 )当n= 1时，如果a= 1，试求b的值；(2)当n= 2时，如图2,在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M , N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；(3)将矩形OABC绕点0顺时针旋转，使得点 B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时 经过原点0,1试求出当n=3时a的值；2直接写出a关于n的关系式.
