1、版新设计一轮复习数学文通用版讲义第一章第一节 集 合第一节集_合一、基础知识批注理解深一点1集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法(3)元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为.(4)五个特定的集合及其关系图：N*或N表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集2集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作AB(或BA)(2)真子集：如果集
2、合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作A B或B A.A B既要说明A中任何一个元素都属于B，也要说明B中存在一个元素不属于A.(3)集合相等：如果AB，并且BA，则AB.两集合相等：ABA中任意一个元素都符合B中元素的特性，B中任意一个元素也符合A中元素的特性 (4)空集：不含任何元素的集合空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集记作.0，0，之间的关系：，0，0,00，03集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB，即ABx|xA，且xB(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属
3、于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作AB，即ABx|xA，或xB(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作UA，即UAx|xU，且xA求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为UA.二、常用结论汇总规律多一点(1)子集的性质：AA，A，ABA，ABB.(2)交集的性质：AAA，A，ABBA.(3)并集的性质：ABBA，ABA，ABB，AAA，AAA.(4)补集的性质：AUAU，AUA，U(UA)A，AA，AA.(5)含有
4、n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n1个真子集，2n1个非空子集(6)等价关系：ABAAB；ABAAB.三、基础小题强化功底牢一点(1)若x2,10,1，则x0,1.()(2)x|x1t|t1()(3)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21()(4)任何一个集合都至少有两个子集()(5)若A B，则AB且AB.()(6)对于任意两个集合A，B，关系(AB)(AB)恒成立()(7)若ABAC，则BC.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(二)选一选1已知集合AxR|03x2，BxR|0x2，则AB()A0,3 B1,2C0,3) D1,3解析：选C因为AxR|03x2x
5、R|1x3，所以ABxR|0x3.2若集合AxN|x，a2，则下面结论中正确的是()AaA BaACaA DaA解析：选D因为2不是自然数，所以aA.3(2018全国卷)已知集合A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，则A中元素的个数为()A9 B8C5 D4解析：选A法一：将满足x2y23的整数x，y全部列举出来，即(1，1)，(1,0)，(1,1)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，共有9个故选A.法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2y23中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.(三)填一填4若集合Ax|2x1，
6、Bx|x3，则AB_.解析：由集合交集的定义可得ABx|2x1答案：x|2x15已知集合U1,0,1，Ax|xm2，mU，则UA_.解析：Ax|xm2，mU0,1，UA1答案：1 典例(1)(2017全国卷)已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，则AB中元素的个数为()A3 B2C1 D0(2)已知a，bR，若a2，ab,0，则a2 019b2 019的值为()A1 B0C1 D1解析(1)因为A表示圆x2y21上的点的集合，B表示直线yx上的点的集合，直线yx与圆x2y21有两个交点，所以AB中元素的个数为2.(2)由已知得a0，则0，所以b0，于是a21，即a1或a1.又根
7、据集合中元素的互异性可知a1应舍去，因此a1，故a2 019b2 019(1)2 01902 0191.答案(1)B(2)C解题技法与集合中的元素有关的解题策略(1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集(2)看这些元素满足什么限制条件(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性提醒集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意题组训练1设集合A0,1,2,3，Bx|xA,1xA，则集合B中元素的个数为()A1 B2C3 D4解析：选A若xB，则xA，故x只可能是0，1，2，3，当0B时，101A；当1B时，1(1)2A；当2B时
8、，1(2)3A；当3B时，1(3)4A，所以B3，故集合B中元素的个数为1.2若集合AxR|ax23x20中只有一个元素，则a等于()A. B.C0 D0或解析：选D若集合A中只有一个元素，则方程ax23x20只有一个实根或有两个相等实根当a0时，x，符合题意当a0时，由(3)28a0，得a，所以a的值为0或.3.（2018厦门模拟）已知P=x|2xk,xN,若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为 . 解析：因为P中恰有3个元素，所以P=3，4，5，故k的取值范围为5k6. 答案：（5，6 典例(1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则()ABA BABCA B DB A
9、(2)(2019湖北八校联考)已知集合AxN*|x23x0，则满足条件BA的集合B的个数为()A2 B3C4 D8(3)已知集合Ax|1x3，Bx|mxm，若BA，则m的取值范围为_解析(1)由x23x20得x1或x2，A1,2由题意知B1,2,3,4，比较A，B中的元素可知A B，故选C.(2)AxN*|x23x0xN*|0x0时，因为Ax|1x3若BA，在数轴上标出两集合，如图，所以所以0m1.综上所述，m的取值范围为(，1答案(1)C(2)C(3)(，1变透练清1.若本例(2)中A不变，Cx|0x5，xN，则满足条件ABC的集合B的个数为()A1 B2C3 D4解析：选D因为A1,2，由
10、题意知C1,2,3,4，所以满足条件的B可为1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,42.若本例(3)中，把条件“BA”变为“AB”，其他条件不变，则m的取值范围为_解析：若AB，由得m3，m的取值范围为3，)答案：3，)3已知集合A1,2，Bx|x2mx10，xR，若BA，则实数m的取值范围为_解析：若B，则m240，解得2m0，Bx|2x2，则如图所示阴影部分所表示的集合为()Ax|2x4 Bx|x2或x4Cx|2x1 Dx|1x2解析(1)A1,2,3,4，B1,0,2,3，AB1,0,1,2,3,4又CxR|1x2，(AB)C1,0,1(2)依题意得Ax|x4，因此RAx|1x4，
11、题中的阴影部分所表示的集合为(RA)Bx|1x2答案(1)C(2)D解题技法集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解对于端点处的取舍，可以单独检验(3)集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中a元素，剩余元素成补集考法(二)根据集合运算结果求参数典例(1)已知集合Ax|x2x120，Bx|xm若ABx|x4，则实数m的取值范围是()A(4,3) B3,4C(3,4) D(，4(2)(2019河南名校联盟
12、联考)已知A1,2,3,4，Ba1,2a，若AB4，则a()A3 B2C2或3 D3或1解析(1)集合Ax|x4，ABx|x4，3m4，故选B.(2)AB4，a14或2a4.若a14，则a3，此时B4,6，符合题意；若2a4，则a2，此时B3,4，不符合题意综上，a3，故选A.答案(1)B(2)A解题技法根据集合的运算结果求参数值或范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解(3)根据求
13、解结果来确定参数的值或取值范围题组训练1已知集合A1,2,3，Bx|(x1)(x2)0，xZ，则AB()A1 B1,2C0,1,2,3 D1,0,1,2,3解析：选C因为集合Bx|1x2，xZ0,1，而A1,2,3，所以AB0,1,2,32(2019重庆六校联考)已知集合Ax|2x2x10，Bx|lg x2，则(RA)B()A. B.C. D解析：选A由题意得A，B(0,100)，则RA(，1)，所以(RA)B.3(2019合肥质量检测)已知集合A1，)，B，若AB，则实数a的取值范围是()A1，) B.C. D(1，)解析：选A因为AB，所以解得a1.1(2019福州质量检测)已知集合Ax|
14、x2k1，kZ，Bx|1x4，则集合AB中元素的个数为()A1 B2C3 D4解析：选B依题意，集合A是由所有的奇数组成的集合，故AB1,3，所以集合AB中元素的个数为2.2设集合U1,2,3,4,5,6，A1,3,5，B3,4,5，则U(AB)()A2,6 B3,6C1,3,4,5 D1,2,4,6解析：选A因为A1,3,5，B3,4,5，所以AB1,3,4,5又U1,2,3,4,5,6，所以U(AB)2,63(2018天津高考)设全集为R，集合Ax|0x2，Bx|x1，则A(RB)()Ax|0x1 Bx|0x1Cx|1x2 Dx|0x2解析：选B全集为R，Bx|x1，RBx|x1集合Ax|
15、0x2，A(RB)x|0x14(2018南宁毕业班摸底)设集合Mx|x4，集合Nx|x22x0，则下列关系中正确的是()AMNM BM(RN)MCN(RM)R DMNM解析：选D由题意可得，N(0,2)，M(，4)，所以MNM.5设集合A，Bx|ln x0，则AB为()A. B1,0)C. D1,1解析：选A2x，即212x2，1x，A.ln x0，即ln xln 1，0x1，Bx|0x1，AB.6(2019郑州质量测试)设集合Ax|1x2，Bx|xa，若ABA，则a的取值范围是()A(，2 B(，1C1，) D2，)解析：选D由ABA，可得AB，又因为Ax|1x2，Bx|xa，所以a2.7已
16、知全集UAB中有m个元素，中有n个元素若AB非空，则AB的元素个数为()Amn BmnCnm Dmn解析：选D因为中有n个元素，如图中阴影部分所示，又UAB中有m个元素，故AB中有mn个元素8定义集合的商集运算为，已知集合A2,4,6，B，则集合B中的元素个数为()A6 B7C8 D9解析：选B由题意知，B0,1,2，则B，共有7个元素9设集合Ax|x2x20，Bx|x1，且xZ，则AB_.解析：依题意得Ax|(x1)(x2)0x|1x2，因此ABx|1x0，所以该方程有两个不相等的实根，所以AB中含有2个元素答案：212已知集合Ax|log2x2，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是_解析：由log2x2，得0x4，即Ax|0x4，而Bx|xa，由于AB，在数轴上标出集合A，B，如图所示，则a4.答案：(4，)13设全集UR，Ax|1x3，Bx|2x4，Cx|axa1(1)分别求AB，A(UB)；(2)若BCB，求实数a的取值范围解：(1)由题意知，ABx|1x3x|2x4x|2x3易知UBx|x2或x4，所以A(UB)x|1x3x|x2或x4x|x3或x4(2)由BCB，可知CB，画出数轴(图略)，易知2aa14，解得2a3.故实数a的取值范围是(2,3)
