1、高中数学教案选修22第2章推理与证明 目标定位：1推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方法和过去的教学内容（例如函数）相比，在本章中是把基本的数学（思维）方法（而不是某个数学对象）作为正面研究对象的因此，本章的学习过程，是中学生第一次对数学活动过程的正面的系统的审视这就是我们对本章教学活动的定位2推理方法与证明方法是从思维活动中抽象出来的，是由数学思维过程凝缩而成的“对象”我们不能离开数学思维活动来谈论数学思维方法，不能满足于把数学方法看成是既定的程序、步骤和规则，不能满足于对方法做静态的逻辑的分析（这正是过去传统的教材中所强调的），而应当从（数学）活动本身，特别
2、是从数学活动的过程来考察推理方法和证明方法建构的过程，以及这些方法是如何被运用到数学活动中成为“活”的方法的？应当着重于体会方法的特点、联系和作用（这正是传统教材中忽略的，而在苏教版教材中特别强调的）这样一来，考察和研究数学思维过程就应该成为本模块学习的出发点和归宿了3与数学知识（如概念）的建构不同，在数学方法建构的过程中，数学思维活动过程本身就是被考察的对象并提供了抽象的原型例如，在本章的引言中，教材就是通过对“摸球中的思维过程”的分析，抽象出推理、证明方法的在这里，摸球中的思维过程本身就成为抽象的原型！正是这样的特点，决定了在有关“方法”的教学必须建立在对数学思维活动做“正面”考察的基础之
3、上4课程标准明确指出：设置本模块的目的是让学生结合已学过的数学实例和生活中的实例，对合情推理、演绎推理以及数学证明的方法进行概括与总结，进一步体会合情推理、演绎推理以及两者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯，提高数学思维能力，形成对数学较为完整的认识课程标准的上述要求决定了本章中对思维过程的考察与分析应该是系统的，因为只有进行系统的考察才能让学生形成对数学较为完整的认识，才能通过对各种方法的比较，掌握各种方法的特点、作用以及它们之间的关系，更好地把它们运用到数学活动中去5本章具体的教学目标是：（1）
4、结合已经学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含意，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用（2）结合已经学过的数学实例和生活中的实例，了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理（6）通过对实例的介绍（如欧基里德几何原本、马克思资本论、杰弗逊独立宣言、牛顿三定律），体会公理化思想（7）了解计算机在自动推理领域和数学证明中的作用教材解读：1根据对本章教学的基本定位，为了帮助学生对数学思维过程作系统的正面的考察，教材做了如下的工作：（1）教科书为学习活动设置了数学探索发现活动的大背景，大框架（注意引言的作用），在分别阐述了归纳、
5、类比、演绎等推理方法以后，又专门设置了一节“推理案例赏析”所有这些，都为对思维过程进行系统的考察提供了条件（2）教科书充分地利用案例，通过案例（这些案例大多是从学生学习过的材料中选取的）提供数学思维活动的素材，把案例当成学习活动的出发点和载体，把案例分析看成是教学活动的主要形式因为惟有如此，才能使学生进行深刻的思考（反思），对思维活动过程做“正面的”审视（3）教科书注意对思维活动过程做适度的形式化概括因为惟有如此，才能把对思维过程分析的成果固定下来，形成数学方法并运用到思维活动中去以上各点可以从第一节合情推理与演绎推理的展开框图中看出：2和其他模块相比，在本章中，案例分析更具有举足轻重的作用因
6、为除了案例分析，我们实在找不到更好的方法为学生提供“数学活动过程”，让学生参与到数学活动中来体验数学方法发现的过程，看到活生生的数学方法因此，案例分析应该成为本模块教学的出发点和载体，为考察和分析数学活动过程提供素材和讨论的平台，同时，案例分析也应该是教学活动的主要手段教学方法与教学建议：1在教学中不仅要重视对推理方法和证明方法的特点进行（静态）分析，更要重视这些方法被抽象出来的过程，通过对数学活动过程的分析来认识它们的特点和作用（即对它们做动态的考察）从而正确地理解和运用这些方法，达到从整体上提高数学思维能力的目的2本章所学习的大部分内容如：合情推理、演绎推理、证明方法（包括反证法）都是学生
7、熟悉的，他们早就在自觉或不自觉地把这些方法运用于学习与生活当中了在教学中要注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点，这是学生学习和理解本章内容的基础3在教学中，要通过对学生真实的思维过程和数学发现活动的典型案例的分析，让学生形成反思的意识，养成反思的良好习惯4教学的重点应该是对基本的数学方法的理解和运用.首先是对“推理”和“证明”在数学发现活动中的作用.这就要求学生从整体上认识本章所介绍的数学方法.如在“合情推理和演绎推理”的教学中，应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想教学的重
8、点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理（它们的作用、特点、关系），理解数学发现过程，而不必追求对概念的抽象表述在证明方法的教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，掌握这些方法的思考过程，体会证明的必要性，而对证明的技巧性不宜作过高的要求5数学的推理方法和证明方法，不仅运用在数学中，而且在生活中的其它领域都有广泛的应用在教学中要引用生活中和其它学科中的例子，让学生体会数学和生活的联系，体会数学应用的广泛性，认识数学的文化价值6公理化思想和机器证明体现了数学的文化价值在教学中要让学生体会公理化思想中蕴涵的理性精神，和机器化证明中的算法思想下面是具体的教学建议，供参考 引言1华罗庚教授
9、“摸球”的例子，为推理与证明的学习提供了一个大的背景它具有丰富的教学意义在教学中不仅应该让学生体会到，“推理”与“证明”是构成探索活动的两个最基本的环节，让学生体会到，探索活动是一个不断的“提出猜想验证猜想再提出猜想再验证猜想”的过程，而且应当让学生体会到永不休止的探索精神正是理性精神的表现！而数学家就是通过不断地提出猜想、证明猜想来进行探索活动的！2引言中提出的两个问题（我们怎样进行推理？我们怎样验证（证明）结论？）是本大节的中心问题本节的教学内容就是依据它展开的21合情推理与演绎推理1合情推理和演绎推理是数学活动中常用的两种推理形式，它们具有不同的形式、特点和作用本节先分别研究它们的特点和
10、作用，然后再通过对具体的数学发现过程的分析，进一步体会它们之间的联系，在具体的数学思维过程中感受它们的作用2演绎、归纳、类比是学生熟悉的推理方式教材列举了3个例子，开始了对这些推理形式的考察教学中可以让学生举出更多的例子3通过揭示三个推理案例的共同点概括出“推理”的概念并根据它们在结构上的不同特点，进行分类研究，这个过程虽然简单，却体现了案例分析是本章教学的主要形式的特点211 合情推理1合情推理是由G波利亚提出的概念他通过对数学发现活动的分析注意到数学活动是由“猜想”和“论证”两个环节构成的，相应地在这两个不同的环节里使用着不同的思维方法，即合情推理与论证推理（教科书中称为演绎推理）G波利亚
11、并没有为合情推理下定义实际上，在教学中，只要让学生把合情推理看成是提出猜想的推理而演绎推理是可以给出证明的推理就行了据此，教科书按照G波利亚的思路，编写了引言，突出了对探索活动的分析，突出了“猜想”和“证明”两个重要的思维环节，而对合情推理的定义作淡化处理（只在阅读材料中提了一下）（课程标准给合情推理作了如下定义：合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某地结果的推理过程）2归纳、类比是合情推理的两种常用的形式，除此以外，合情推理还有其他的多种形式，如：联想、想象、直觉等等2111归纳推理1归纳推理是学生熟悉的推理方式和过去不
12、同，在本节中，我们专注于推理的形式，而不关注推理的内容，即专门对推理的形式进行考察，考察的重点则是归纳推理的特点和它的作用2归纳推理的一般模式为： S1具有P， S2具有P， Sn具有P（S1，S2，Sn是A类事物的对象） 所以，A类事物具有P教学中可以介绍给学生3“思考”要求列举更多的有关归纳推理的例子，下面的例子可供参考（1）观察：1 = 12，1 + 3 = 22，1 + 3 + 5 = 32，1 + 3 + 5 +7 = 42，由此猜想：1 + 3 + 5 + 7 + + (2n -1) = n2（2）1640年，费马在给友人的信中谈到：2 + 1 = 3，2 + 1 = 5，2 +
13、1 = 17，2 + 1 = 257，2 + 1 = 65 537都是素数，由此，他猜想：任何形如2 + 1（n N）的数（通常称为费马数，记作Fn）都是素数此后，一直未有人怀疑过这个结论直到1732年，欧拉发现F5 = 2 + 1 = 4 294 967 297 = 641 6 700 417并不是素数，才推翻费马的猜想此例还说明，在归纳推理中，根据同一个前提，可以推出不同的结论：当n 1时，Fn的末位数字是7（猜想）2要让学生体会到归纳不仅是一种方法，而且体现了一种态度欧拉说：把归纳看成是一种机会，“以便证明它或推翻它”，这就是我们对待归纳的态度，而归纳的价值就在于“在这两种情况之中我们都
14、会学到一些有用的东西”可以看出，归纳的态度就是探索的态度，这一点在华罗庚的“摸球”游戏中也得到了充分的体现要让学生体会到，探索活动是在猜想的推动下进行的，没有猜想就没有探索！而归纳的价值就在于它是提出猜想的一种方法！3在归纳推理中，根据同一个的前提，往往可以推出不同的结论例如从例4中的推理前提出发，也可以得到当n1时，Fn的末位数字是7的结论（猜想）4完全归纳法（和数学归纳法类似）实质上是一种演绎推理，它是一种必然性推理，是数学证明的工具，因此它不属于合情推理2112类比推理1类比推理是学生熟悉的推理方式和过去不同，在本节中，我们专注于推理的形式，而不关注推理的内容，即专门对推理的形式进行考察
15、2类比推理的一般模式为： A类事物具有性质a，b，c，d， B类事物具有性质a，b，c，（a，b，c与a，b，c相似或相同） 所以，B类事物可能具有性质d教学中可以介绍给学生3例1是根据等式的性质类比不等式的性质4例2可以看成是系统间的类比用现代数学的角度来看，类比就是两个具有同构关系的模型间的推理数学（科学）发现活动中的类比绝大多数都是这类类比在教学中要注意对类比过程的分析5类比可以看成是从已知的相似性，推断未知的相似性的推理在教学中要引导学生对类比的过程进行分析，弄清在推理中究竟是从哪些已知的“相似性”推出什么样的未知的“相似性”的6在运用类比推理时，首先要找出两类对象之间可以确切表述的相
16、似性（或一致性）；然后，再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想在教学中不要满足于对对象相似性的模糊认识，要坚持把它们的相似性用语言确切地表述出来只有这样，才能把类比和“比喻”区别开来212 演绎推理1演绎推理是一种重要的推理形式，通过数学学习，学生已经在广泛地使用它，在教学中，要让学生体会到演绎推理是严格按照逻辑法则进行的推理，是必然性推理的特点2三段论是演绎推理的主要形式三段论有多种格式，教科书介绍了其中常用的一种，其用意在于让学生体会到演绎推理是一种形式化程度相当高的推理，而不是正面讲“三段论”，因此，在教学中不必拓展补充3除了三段论以外，演绎推理还
17、有直接推理，关系推理、联言推理、假言推理、选言推理等多种形式4三段论也有多种形式，三段论的依据是不言自明的三段论公理：一类事物的全部是什么或不是什么，那么这类事物的部分也是什么或不是什么对此教科书中用集合论的语言和图形作了说明，其目的是帮助学生理解三段论（教学中不必提出三段论公理）5三段论推理在数学中有重要的应用，特别是在理论初建或概念性质运用的初期但是数学推理过程不全是三段论组合，直接用三段论推理的并不多，有些数学证明过程（如教科书中例2），虽然可以归结为三段论的组合，但却太为繁琐了，所以并不实用6数学并不等同于逻辑，它已独自发展几千年，尤其是它的符号系统，使得它有自身的一套简单的推理形式或
18、规则，尽管它能用三段论解释，但大可不必去追溯它的三段论本源因而在数学中，直接选定了若干演绎推理的规则如：“如果，P真，则q真”、“如果，则”（三段论的“数学形式”）等等（如课本中例2的证明就使用了这些规则）应该告诉学生，数学中的运算也是演绎推理的一种形式7在数学中学习演绎推理，并不等同于学习形式逻辑或数理逻辑，课程标准规定，本小节的学习目标是，“体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理”，相信注意到这些，就可以理解教科书的编写意图，并掌握教学的分寸了8在叙述演绎推理的特点时，要和归纳、类比的特点对照，让学生理解它们是两类不同的推理9教科书中说“演绎推理是一种
19、收敛性的思维方法，它较少创造性”，这并不是说，演绎推理就完全没有发现功能，更不是说演绎推理在数学发现活动中没有作用为了让学生全面认识演绎推理在发现活动中的作用，教科书提供了阅读材料：“海王星的发现和探索性演绎法”，这个材料对全面准确地理解演绎推理在探索活动中的作用是很有帮助的213推理案例赏析1推理案例赏析是推理方法的综合应用，是对推理方法更深层次的考察这样，教科书就为推理的教学提供了一个“总分总”的结构，而本小节正是后一个“总”它引导学生在前面学习的基础上，对各种推理方法做综合的动态的考察，帮助学生体会不同推理方法的特点和联系，感受它们在数学思维过程中的作用2在教学中，要注意对思维过程的分析
20、课本中提供的思维过程只是几种典型的解决问题的思路面对着这些问题，学生可能会有更多的想法，应该鼓励学生谈谈自己的想法，并对课本中的思考过程做出评价3关于例1的教学（1）“提出问题”是数学发现活动中重要的环节教学中要注意分析提出问题的过程在例1和例2中，都是通过类比提出研究课题的（2）课本中的思路1是“归纳的方案”，总的说，它是通过归纳提出猜想的但是应该注意到，作为归纳基础的“表”中的每个数据都是由运算提供的，也就是说，演绎提供了归纳的基础所以说：在数学发现活动中，演绎起到了类似“实验”的作用，在这里演绎为归纳提供了前提（3）在“归纳的方案”中，解题者原本希望从表2-1-5中归纳出一般结论，可是却
21、失败了，但是正是失败引导他尝试计算S1（n）和S2（n）的比，找到了通向成功的路要让学生体会到发现活动都是具有尝试的性质的，失败是经常会遇到的，所以常说“失败是成功之母”通过教学要让学生体会到，对思维过程进行调控的重要性对此，在“思路2”和例2中，都有体现教学中，要让学生体会到发现过程是一个曲折的艰苦的过程，认识到思维调控的重要性（4）尝试计算S1（n）和S2（n）的比，是导致发现的关键，这个念头是由“联想”激发的联想也是合情推理的一种方法（5）思路2是一个“演绎的方案”，但这并不是说，在这个方案中没有使用合情推理的方法，相反地，应该说合情推理在这个方案中同样起了关键的作用比如，这个方案中的“
22、初始念头”“尝试用直接相加的方法求出自然数的平方和”就是由合情推理提供的（6）在思路2的教学中，设置了“（2）从失败中汲取有用的信息，进行新的尝试”的环节，是为了让学生体会到思维调控的重要性，注意对思维过程的分析，进而养成反思的习惯（7）“既然能用上面的方法求出S1（n），那么我们也应该可以用类似的方法求出S2（n）”，这也是一个猜想，它是由类比得到的4关于例2的教学（1）例2通过具体的问题对类比推理的方法做了更深入的介绍类比在数学发现活动中具有十分重要的作用，应该让学生学会自觉地科学地把类比方法运用到发现活动中去（2）把棱台和梯形类比，开始只是模糊的念头，通过分析，清晰地认识到它们之间的“相
23、似性”，这时才会有科学的“类比推理”因此，“确定类比对象”和“对类比对象的进一步分析”都是重要的思维环节，是进行类比推理的前提学生在使用类比时，经常忽略这些环节（3）验证猜想的过程也是对猜想做调整的过程在这个过程中，合情推理仍然发挥着重要的作用教学中请注意合情推理在“验证猜想”中的作用（4）从美感出发做出的判断，可以称为审美推断本例在“验证猜想”的环节中，使用了这种方法审美推断也是一种合情推理的方法，在科学发现活动中具有重要的价值通过案例的分析，应该让学生体会到审美在发现活动中的作用（5）在公式（猜想）的调整过程中，实际上使用的是“探索性演绎法”（即在猜想的基础上进行的演绎推理），这可以让学生
24、更好地体会到“演绎推理”在数学发现活动中所具有的类似于“实验”的功能5关于实习作业学生可以通过查找资料来完成实习作业例如可以引用本书提到的数学史中的例子：如欧拉公式、哥德巴赫猜想等，也可以从教科书中选取案例如：“正弦定理的发现”、“余弦定理的发现”、“和差化积公式的推导”等等通过反思，对自己的思维活动进行分析（如你是怎样解决某个问题的）6在思考以及实习作业中，教材反复提出了相同的问题，其用意是希望为学生分析思维活动时提供一个反思的框架22直接证明与间接证明教学的重点是让学生了解直接证法与间接证法的特点，知道证明的一般步骤，能使用它们证明问题，在教学中不要拘泥于“概念”，在“概念”上下功夫21
25、直接证明1课本中选用的两个例子都是学生熟知的，在数学（必修5）的基本不等式中就采用了这两个证明现在教科书把它用作讨论综合法和分析法的素材，是为了让学生能集中精力关注这两种证明方法形式结构上的特点和区别，进而展开对证明方法的研究2一般地，分析法和综合法是两种常见的思维方法，人们利用它们来寻求证明问题的思路在教科书中是把它们看成两种证明方法的（指呈现出来的证明过程）思维方法和证明方法当然有微妙的差别，但是如果把“证明”看成是思维过程，这样做也就没有什么不可以3综合法，从条件出发，“由因导果”，分析法，紧抓证题目标，“执果索因”在实际的解题活动中，总是把两者结合起来使用的22间接证明1反证法是一种重
26、要的间接证法（同一法也是一种重要的间接证法）在教学中应先让学生弄清直接证明和间接证明的区别，然后再转入反证法2学生在学习立体几何初步时，已经使用反证法，因此他们是有经验的，但当时并没有正面介绍反证法3反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律反证法的实质在于：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是从原题的反论题“既p又q”入手，由p与q合乎逻辑地推出一个矛盾结果；根据矛盾律，两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假，断定反论题“既p又q”为假；进而再根据排中律，两个互相矛盾的判断，不能同假，必有一真由此肯定命题“若p则q”为真虽然学生没有学过排中律和矛盾
27、律，但是由于这两个定律的“准公理性”，学生还是能理解反证法的思想的，因而在教学中没有必要提出排中律和矛盾律23 公理化思想1公理化思想体现了数学中的理性精神和求真意识.为了确保命题真实性,数学对命题提出了演绎证明的要求,这种要求直接导致公理化产生.教学中要让学生体会到这一点.2.公理是“公认正确而不需证明的命题”,是“证明其它一切命题的基础”,是“选定”和“设置”的,都体现了现代公理法的思想,在教学中不要过多地强调公理是“经过长期的实践证明的”说法.3.可以建议有兴趣的学生阅读数学史初步中有关非欧几何的材料教学案例:归纳推理执教:高建国(扬州大学附属中学)点评:张乃达 (江苏省扬州中学)1.概
28、念、技能、能力、态度我们可以从不同的层面来看归纳第一种是把它看成一个概念，这要弄清什么是推理？什么是归纳推理？这是从知识层面来看归纳的；第二种是把归纳看成是一种方法，这就要弄清怎样进行归纳？归纳有哪几步？第一步怎么做？第二步又怎么做？等等，这是从技能层面来看归纳的第三种是把归纳看成是一种能力，提高学生的归纳能力归纳的能力实质上就是分析，分析到位了，思维能力提高了，归纳才能得到有价值的东西这是从能力的层面看归纳的长期以来，我们的教师大都习惯于从上面三个层次看归纳，并以此确定本节课的教学内容和重点，这正是习惯于从知识与能力的层面看待数学教育的体现！其实，如果从文化的视角来分析，就可以看到归纳还可以
29、被看成是一种态度，一种对待事物的态度归纳的态度实际上就是探究的态度，它总是用探究者的眼光来看世界看到某些现象，总想从中归纳出某种规律！促使哥德巴赫提出那个著名的猜想的正是这种态度，向中学生介绍哥德巴赫猜想的目的也正是让他们学习这种态度！这种态度正是理性精神的表现！也是这节课中最有教育价值的东西！通过上面的分析，对这节课应该怎么上就清楚了通过这节课当然应该让学生知道什么是推理？什么是归纳？怎样进行归纳？但是这并不是重点，其实学生早就在使用归纳的方法了，现在只要正面的小结一下就可以了！提高归纳的能力也不是这节课能够实现的目标，归纳的能力，是思维能力的体现，它不能独立于思维能力之外，也不是通过这节课
30、就能实现的目标！这节课的重点应该是归纳态度的培养和探究精神的激发！在本节课中，执教老师对课的定位是比较准确的，较好地处理了概念、技能、能力和态度的关系渗透了归纳态度的培养，探求欲望的激发，让学生体会到，在我们的周围，到处都存在着值得探索的问题，到处都可以运用归纳的方法来提出猜想，进而展开探索的活动，这对学生理性精神的形成是很有意义的2用数学（家）的眼光看世界态度的培养和形成是数学文化教育所关注的问题，而用数学的眼光看世界正是数学文化教育的主要途径从根本上说，数学（家）的眼光就是理性探索的眼光理性表现了人类的自信，坚信人类是可以认识世界的，是可以揭开自然的奥妙的；而探索則是理性付诸于实际的行动，
31、是理性精神的表现！所以离开了探索活动的归纳只是一种游戏，也就无法体现归纳态度的价值所以归纳态度的培养必须放在探索活动的大背景下进行这时归纳表现的则是认识世界的欲望！所以欧拉是这样评价归纳的，他说：把归纳看成是一种机会，“以便证明它或推翻它”，这就是我们对待归纳的态度，而归纳的价值就在于“在这两种情况之中我们都会学到一些有用的东西”可以看出，归纳的态度就是探索的态度，没有猜想就没有探索！而归纳的价值就在于它是提出猜想的一种方法！为了让学生尝试用数学的眼光看世界，课本在本章的引言中，特别介绍了华罗庚教授提出的“摸球”游戏，其目的不仅仅是为了说明“猜想”和“证明”在探索活动中的重要性而且是为了让学生看到理性精神在探索活动中的作用在“摸球”游戏中，从一个布袋里摸出的
