1、精选高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题四立体几何练习理专题四 立体几何练习 理立体几何高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)空间概念，空间想象能力，点线面位置关系判断，表面积与体积计算等，A级要求；(2)线线、线面、面面平行与垂直的证明，B级要求.真 题 感 悟1.(2015江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_.解析设新的底面半径为r，由题意得r24r28524228，解得r.答案2.(2016江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E
2、分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC，于是DEA1C1.又DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.又A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平
3、面ABB1A1，所以A1C1B1D.又B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1.所以B1D平面A1C1F，因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.考 点 整 合1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.2.空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：S柱侧ch(c为底面周长，h为高)；S锥侧ch(c为底面周长，h为斜高)；S台侧(cc)h(c，c分别为上下底面的周长，h为斜高)；S球表4R2(R为球的半径).(2)柱体、锥体和球的体积公式：V柱体Sh(S为底面面积，h为高)；V锥
4、体Sh(S为底面面积，h为高)；V球R3.3.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性质定理：，a，bab.4.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)线面垂直的性质定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala.热点一空间几何体的有关计算问题【例1】 (1)(2016连云港调研)如图，在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B
5、1上，且C1E4，C1F3，连接EF，FB，DE，BD则几何体EFC1DBC的体积为_.(2)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_.(3)(2016南京、盐城模拟)设一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为_.解析(1)如图，连接DF，DC1，那么几何体EFC1DBC被分割成三棱锥DEFC1及四棱锥DCBFC1，那么几何体EFC1BDC的体积为V346(36)66125466.故所求几何体EFC1DBC的体积为66.(2)VD1EDFVFDD1ESD1DEAB111.另解(特殊点法)
6、：让E点和A点重合，点F与点C重合，则VD1EDFSACDD1D111.(3)由题意可得正四棱锥的高为2，体积为(2)228，则正方体的体积为8，所以棱长为2.答案(1)66(2)(3)2探究提高(1)涉及柱、锥及其简单组合体的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，再分析几何体的结构特征，从而进行解题.(2)求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.(3)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法求解.【训练1】 (1)(2014江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体
7、积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且，则的值是_.(2)(2012江苏卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为_cm3.(3)(2016苏州调研)将半径为5的圆分割成面积之比为123的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1r2r3_.解析(1)设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由，得，则.由圆柱的侧面积相等，得2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，则，所以.(2)关键是求出四棱锥A BB1D1D的高，连接AC交BD于O，在长方体中，ABAD3，BD3且A
8、CBD.又BB1底面ABCD，BB1AC.又DBBB1B，AC平面BB1D1D，AO为四棱锥A BB1D1D的高且AOBD.S矩形BB1D1DBDBB1326，VABB1D1DS矩形BB1D1DAO66(cm3).(3)由题意可得三个扇形的弧长分别为，5，分别等于三个圆锥底面圆的周长，则r1，r2，r3，所以r1r2r35.答案(1)(2)6(3)5热点二空间中的平行和垂直的判断与证明问题微题型1空间线面位置关系的判断【例21】 (1)已知平面、，直线m，n，给出下列命题：若m，n，mn，则；若，m，n，则mn；若m，n，mn，则；若，m，n，则mn.其中是真命题的是_(填写所有真命题的序号)
9、.(2)(2016全国卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有_.(填写所有正确命题的编号)解析(1)若m，n，mn，则，可能平行或相交，是假命题；若，m，n，则m，n可能是平行、相交、异面中的任何一种位置关系，是假命题；由线面垂直的性质和面面垂直的判定可知是真命题，故真命题序号是.(2)当mn，m，n时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均正确，故正确答案为.答案(1)(2)探究提高长方体(或正方体)是一类特殊的几何体，其中蕴含着丰富的空间位置关系
10、.因此，对于某些研究空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直关系问题，常构造长方体(或正方体)，把点、线、面的位置关系转移到长方体(或正方体)中，对各条件进行检验或推理，根据条件在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，判断条件的真伪，可使此类问题迅速获解.微题型2平行、垂直关系的证明【例22】 (2015江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平
11、面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.【例23】 (2016昆明统考)如图，在侧棱与底面垂直的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ABBC，且AA1ABBC1，C
12、D2.(1)求证：AB1平面A1BC；(2)在线段CD上是否存在点N，使得D1N平面A1BC?若存在，求出三棱锥NAA1C的体积；若不存在，请说明理由.(1)证明因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱垂直底面，所以A1A平面ABCD，又BC平面ABCD，所以BCAA1，因为BCAB，ABAA1A，AB平面AA1B1B，AA1平面AA1B1B，所以BC平面AA1B1B.又AB1平面AA1B1B，所以AB1BC，因为A1AAB，A1AAB1，所以四边形AA1B1B为正方形，所以AB1A1B，因为A1BBCB，A1B，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.(2)解法一在线段CD上存在点N，且当
13、N为CD的中点时，D1N平面A1BC.证明如下：连接BN、D1N，因为ABCD，AB1，CD2，所以ABDN且ABDN，所以四边形ABND为平行四边形，所以BNAD且BNAD.在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D1AD且A1D1AD，所以A1D1BN且A1D1BN，所以四边形A1BND1为平行四边形，所以D1NA1B.又D1N平面A1BC，A1B平面A1BC，所以D1N平面A1BC.连接A1N、AN、AC，所以SACNSBCN11，又A1A平面ABCD，且A1A1，所以VNAA1CVA1ACNSACNA1A1，即三棱锥NAA1C的体积为.法二在线段CD上存在点N，且当N为CD的中点时，D
14、1N平面A1BC，证明如下：取C1D1的中点M，连接AN、A1M、D1N、MC，因为四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，AB1，CD2，所以A1B1C1D1，A1B11，C1D12，所以A1B1MC1且A1B1MC1，所以四边形A1B1C1M为平行四边形，所以A1MB1C1且A1MB1C1.又BCB1C1且BCB1C1，所以A1MBC且A1MBC，所以四边形A1BCM为平行四边形，所以A1BCM，又D1MNC1且D1MNC，所以四边形D1MCN为平行四边形，所以CMD1N，所以D1NA1B.又D1N平面A1BC，A1B平面A1BC，所以D1N平面A1BC.连接A1N、AC，所以SACN
15、11，又A1A平面ABCD，且A1A1，所以VNAA1CVA1ACNSACNA1A1，即三棱锥NAA1C的体积为.探究提高垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.【训练2】 (2016苏北四市模拟)如图，在四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点.求证：(1)CE平面PAD；(2)平面EFG平面EMN.证明(1
16、)法一如图1，取PA的中点H，连接EH，DH.又因为E为PB的中点，所以EHAB，且EHAB.图1又ABCD，CDAB，所以EHCD，且EHCD.所以四边形DCEH是平行四边形.所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD，因此，CE平面PAD.图2法二如图2，连接CF.因为F为AB的中点，所以AFAB.又CDAB，所以AFCD，又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形.因此CFAD.又CF平面PAD，AD平面PAD，所以CF平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD.因为CFEFF，故平面CEF平面PAD.又CE平面C
17、EF，所以CE平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又ABPA，所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNDC，又ABDC，所以MNAB，所以MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.1.求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算.(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解.(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.(4
18、)求解几何体的表面积时要注意S表S侧S底.2.锥体体积公式为VSh，在求解锥体体积中，不能漏掉.3.空间中点、线、面的位置关系的判定(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例.(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义.4.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的
19、性质；勾股定理；线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l，ala.一、填空题1.(2016浙江卷改编)已知互相垂直的平面，交于直线l，且直线m，n满足m，n，给出下列结论：ml；mn；nl；mn.则上述结论正确的是_(填序号).解析由已知，l，l，又n，nl，正确.答案2.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为_.解析利用圆柱的侧面积公式求解，该圆柱的侧面积为2124，一个底面圆的面积是，所以该圆柱的表面积为426.答案63.(2016徐州、宿迁、连云港模拟)已知圆锥的母线长为10 cm，侧面积为60 cm2，则此圆锥的体积为_cm
20、3.解析设圆锥底面圆的半径为r，母线为l，则侧面积rl10r60，解得r6，则高h8，则此圆锥的体积为r2h36896.答案964.如图所示，ABCD是正方形，PA平面ABCD，E，F分别是AC，PC的中点，PA2，AB1，求三棱锥CPED的体积为_.解析PA平面ABCD，PA是三棱锥PCED的高，PA2.ABCD是正方形，E是AC的中点，CED是等腰直角三角形.AB1，故CEED，SCEDCEED.故VCPEDVPCEDSCEDPA2.答案5.如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_.解析EF平面AB1C，E
21、F平面ABCD，平面ABCD平面AB1CAC，EFAC，又E是AD的中点，F是CD的中点，即EF是ACD的中位线，EFAC2.答案6.(2016镇江高三期末)设b，c表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题：若b，c，则bc；若b，bc，则c；若c，则c；若c，c，则.其中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号).解析中直线b，c平行或异面，则错误；中c或c，则错误；中c，的位置关系可能平行、相交或者直线在平面上，则错误；由线面平行的性质、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理可知正确，故正确命题是.答案7.(2016苏、锡、常、镇调研)设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径
22、和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若，则的值为_.解析棱长为a的正方体的体积V1a3，表面积S16a2，底面半径和高均为r的圆锥的体积V2r3，侧面积S2r2，则，则ar，所以.答案8.(2016无锡高三期末)如图，在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OAOB，且OAVO1，则O到平面VAB的距离为_.解析由题意可得三棱锥VAOB的体积为V三棱锥VAOBSAOBVO.VAB是边长为的等边三角形，其面积为()2，设点O到平面VAB的距离为h，则V三棱锥OVABSVABhhV三棱锥VAOB，解得h，即点O到平面VAB的距离是.答案二、解答题9.(2014江苏卷)如图，在三棱锥PABC中，
23、D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.10.如图，在直三棱
24、柱A1B1C1ABC中，ABBC，E，F分别是A1B，AC1的中点.(1)求证：EF平面ABC；(2)求证：平面AEF平面AA1B1B；(3)若A1A2AB2BC2a，求三棱锥FABC的体积.(1)证明如图连接A1C.直三棱柱A1B1C1ABC中，AA1C1C是矩形.点F在A1C上，且为A1C的中点.在A1BC中，E，F分别是A1B，A1C的中点，EFBC.又BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF平面ABC.(2)证明直三棱柱A1B1C1ABC中，B1B平面ABC，B1BBC.又EFBC，ABBC，ABEF，B1BEF.B1BABB，EF平面ABB1A1.EF平面AEF，平面AEF平面ABB
25、1A1.(3)解VFABCVA1ABCSABCAA1a22a.11.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点.求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)因为平面PAD平面ABCDAD.又平面PAD平面ABCD，且PAAD.所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以ABED为平行四边形.所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，且四边形ABED为平行四边形.所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.又因为PAADA，所以CD平面PAD，从而CDPD，且CD平面PCD，又E，F分别是CD和CP的中点，所以EFPD，故CDEF.由EF，BE在平面BEF内，且EFBEE，所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.
