1、特征方程法求解递推关系中的数列通项特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列 an的项满足a- = b, an can d ,其中c = 0, c = 1,求这个数列的通项公式。采用数学归纳法可以求解这一问题， 然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法一一特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程 x =cx d,称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式 下面以定理形式进行阐述.定理1:设上述递推关系式的特征方程的根为 x0，则当x0 = a1时，an为常数列，即an二a1；当X0二a1时，an二bn x，其中b
2、n是以c为公比的等比数列，即bn = 0亍，0 = a1-x0n 1当X。=a1时，6=0 ,数列bn是以c为公比的等比数列， 故bn -当 x 二a1 时，0=0, bn为 0 数列，故 a* =a1,n N.（证毕）F面列举两例，说明定理 1的应用1例1.已知数列an满足：ana-2,- N4,求an.解：作方程x1 3211-x -2,则X。- -3当a1 =4时,数列bnbn讪-3）n -41是 以 311 1 n4（）,an 2 3-3 b比数列于是例2.已知数列an满足递推关系:an （2an - 3）i, n，N,其中 i 为虚数单位。当ai取何值时，数列a.是常数数列?a :-
3、 ,a2二：给出的数列：an爲方程x2 - px -q =0，叫做数列 :an / 的特征方程。若Xi, X2是特征方程的两个根，当Xi = X2时，数列的通项为 an = Ax； Bx2J，其中 A，B 由 ai m,a2 =2 决定(即把 ai,a2,Xi,X2 和n =i,2，代入a.二Ax；J Bx；，得到关于A、B的方程组)；当捲=x? 时，数列n的通项为a (A B)xin J，其中A，B由ai -，a2二：决 定(即把 ai, a2, Xi, X2和 n =i,2，代入 a(A - Bn)x7，得到关于 a、B 的方程组)。例 3 : 已 知 数 列 a/ 满 足ai = a,a
4、2 = b,3an 2 -5an i 2an = 0(n _ 0, n N)，求数列：an 的通项 公式。解法一(待定系数迭加法)由 3an .2 -5an 1 2an =0，得2/ 、an 2 an 1 - 3 (an 1 an)，3且玄2 _a二b_a。则数列 a , -an 是以b - a为首项，-为公比的等比数列，于是32an i -an =(b -a)()n*。把 n =1,2,3，,n 代入，得3a3 - a2a4 _ a3=(b 一 a)(3),3= (b-a)(孑,an -an=（b -a）（2）n。3把以上各式相加，得2 2 2an -ai =(b-a)1 ()(严二3 3
5、31召才(b-a)。1 -3an 二3 -n3b - 2a。n(b-a) a =3(a-= 0(n 一 0,n N),解法二（特征根法）：数列 an 1： 3an.2 -5an q 2an2aa,a2二b的特征方程是：3x-5x 0。聪-A B （|厂。 A = 3b2a故 an =3b -2a 3(b)(-)n43已知a1的值且对于三、（分式递推式）定理3：如果数列an满足下列条件:h均为常数，且n N ,都有a. i二卫如 q （其中p、q、ran +hhph式qr,r式0,印 式一-），那么,r当特征方程有两个相同的根右a1-,则 an - , n N;a 2）时，数列an从第n项开始便
6、不 存在于是知：当a1在集合 -3或5n 一13： N,且n 2上取值时，无穷n 1数列an都不存在.练习题：求下列数列的通项公式：1、在数列an中，a1 =1, a2 = 7, an = 2az +3an/（n 色 3）,求 an。key:2、在数列an中，a1 =1,a2 =5,且 a5an4 -4an，求 a.。(key:1an =3(4n -1)33、在数列an中，=3, a? =7, an = 3an-2an_2(n _ 3)，求 an(key:an =2n1 -1)(key : q =1 时，an =a (n 1)(ba) ； q=1 时,ann _1aq b -(b-a)(-q)
7、(P =q)； an =a(n - 1)b ) (p =q)8、在数列an中,a1, a2 给定，an = ban J can/ .求pz _0t 2an.(key:an 二-a1 （j 才-）；若=一：，上式不能应用，此时， an=(n - 1)a2 ： nJ -(n_2)aF 2附定理3的证明定理3（分式递推问题）：如果数列an满足下列条件：已知 a1的值且对于n N ,都有an ipan q（其中p、q、r、h均为常数，且ran hph qr,r式0,印式也）,那么，可作特征方程 x = px + q .r rx + h（1）当特征方程有两个相同的根 （称作特征根）时，1若 ai = ,
8、贝U an = ,n N;若 a /.，贝U an ,n bnbn(n-1)ai -n- N.特别地,当存在n0 N,使b无穷数列 an不存在.（2）当特征方程有两个相异的根2 （称作特征根）cn -1n N, 其N,其中10 = 0 时,时，则中色 h卫亘）2,n N,（其中印2）. 一 2 P 一 2证明：先证明定理的第（1）部分作交换 dn = an - r n Npan qran han(p - r) q - hran h(dn )( P _ r) q hr(dn + 扎)+hdn(P - r) -r 2 (h - p) -qrdn h - r是特征方程的根， = = r 2 .；”(
9、h - p) - q = 0.rk + h将该式代入式得dn .1二卫虫卫 , n N. rd n + h _ 貼将x = P代入特征方程可整理得 ph = qr,这与已知条件 ph = qr矛盾.r故特征方程的根 -于是 p 一 r = 0.r当d1 =0，即a1 = di冷=时，由式得bn = 0, n N,故 an =dn ，= , n N.当di =0即a 时，由、两式可得dn =0,nN.此时可对式 作如下变化：1 rd n h -；r h * r 1 rn . dn 1 dn(p 一 r) p r dn p 一，rpx q p - h由是万程x 的两个相同的根可以求得rx +h 2
10、r, , h +phr.h + hr _2rJ p=1,P _ r cP h”p hpr2r将此式代入式得1 1 r丄 一r ,n Ndn 1dn P 一 r1 _ r -令bn ,n N.则bn d = bn ,n N.故数列bn是以dn P - rr二 bn = b1 (n -1) , n N.p -1其中D二一di1当 n N,bn = 0时，an = dn , n N.bn1当存在n0N,使bn =0时，an =dn +丸=+丸无意义.故此时， bn无穷数列an是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：特征方程有两个相异的根 ，1、，2，二其中必有一个特征根不等于 a1 ,a ,不妨令
11、，2=&.于是可作变换cn n nN.an -入2故Cn 1亠丑匚一1，将an厂旦 q代入再整理得an 舟一 7-2 ran + hCn 1an(P - T) q - /an(p - qr) q - qh由第（1）部分的证明过程知乂=卫不是特征方程的根，故r十R, -2r r故P _ 订=0, P - 2= 0.所以由式可得：p - 1rP匕n N 丄q -入2h anrx2x(h-p)-q=O有两个相异根-1、,而方程- x二-_xh与方程p _xr2rx -x(h -p) -q =0又是同解方程Cn, n N-q ，-2 h-i,_p - 12 r将上两式代入式得p 入订 an _，-1cn=p 九2r an 一 九2, c p 人订当Ci =0,即ai = -1时，数列Cn是等比数列，公比为 一.此时对 P -扎2于n N都有p n/ ai 打、/ P 入r、nCn 7( )=( )( ).P_ 2 *1_2 P_2当g = 0即a = 1时，上式也成立.a ,由 cn n -且/.2可知 cn = 1, n N.an -2所以 an 二二 1, n N.(证毕)Cn -1注：当ph =qr时，卫引 q会退化为常数；当r =0时，an 丫 = 些 q ra n + h ra n + h可化归为较易解的递推关系，在此不再赘述
