1、七年级下册数培优资料第五章相交线与平行线教师版七年级下册数学培优资料第五章 相交线与平行线例1如图(1)，直线a与b平行，1(3x+70),2=(5x+22),求3的度数。解：ab，34（两直线平行，内错角相等）1+32+4180(平角的定义)12 (等式性质)则3x+705x+22解得x=24 即11423180-138 图(1)评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。例2已知：如图(2)， ABEFCD，EG平分BEF，B+BED+D =192，B-D=24，求GEF的度数。解：ABEFCD B=BEF，DEF=D（两直线平行，内错角相等） B+BED+D =19
2、2（已知） 即B+BEF+DEF+D=1922（B+D）=192（等量代换）则B+D=96（等式性质）B-D=24（已知） 图(2)B=60（等式性质） 即BEF=60（等量代换） EG平分BEF（已知）GEF=BEF=30（角平分线定义）例3如图（3），已知ABCD，且B=40，D=70，求DEB的度数。解：过E作EFABABCD（已知）EFCD（平行公理）BEF=B=40 DEF=D=70（两直线平行，内错角相等）DEB=DEF-BEF DEB =D-B=30 评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。图（3）例4平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直
3、线共点，有多少个不同交点？解：2条直线产生1个交点，第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交点；第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点；则n条直线共有交点个数：1+2+3+ (n-1)=n(n-1)评注：此题是平面上n条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。例56个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条直线，即能确定的直线为15-2=13条。另法：3点
4、所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有33=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条评注：一般地，平面上n个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+(n-1)=n(n-1)例610条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？解：2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域；3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域；同理：4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域； 10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不
5、同区域推广：n条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+n=1+n(n+1)=(n2+n+2)块不同的区域思考：平面内n个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？直线的条数345.n对顶角的对数61220.n(n-1)邻补角的对数122440.2n(n-1)例7两条直线相交于一点，所形成的的角中有2对对顶角，4对邻补角，那么，三条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？四条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？n条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？二、巩固练习1平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条A6B 7C
6、8D92平面上三条直线相互间的交点个数是（）A3B1或3C1或2或3D不一定是1，2，33平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（）A36条B33条C24条D21条4已知平面中有个点三个点在一条直线上，四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时等于（ ） （A）9 （B）10 （C）11 （D）125若平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交成如图示的图形，则共得同旁内角（）A4对B8对C12对D16对6如图，已知FDBE，则1+2-3=( )A90B135C150D180 第7题 7如图
7、，已知ABCD，1=2，则E与F的大小关系 ；8平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还有 交点9平面上3条直线最多可分平面为 个部分。10如图，已知ABCDEF，PSGH于P，FRG=110，则PSQ 。11已知A、B是直线L外的两点，则线段AB的垂直平分线与直线的交点个数是 。12平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。13已知：如图，DECB ，求证：AED=A+B14已知：如图，ABCD，求证：B+D+F=E+G第13题 第14题15如图，已知CBAB，CE平分BCD，DE平分CDA，EDC+ECD =90，求证：DAAB16一直线上
8、5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？答案1 5个点中任取2点，可以作4+3+2+110条直线，在一直线上的3个点中任取2点，可作2+13条，共可作10-3+18（条）故选C2平面上3条直线可能平行或重合。故选D3对于3条共点的直线，每条直线上有4个交点，截得3条不重叠的线段，3条直线共有9条不重叠的线段对于3条不共点的直线，每条直线上有5个交点，截得4条不重叠的线段，3条直线共有12条不重叠的线段。故共有21条不重叠的线段。故选D4由个点中每次选取两个点连直线，可以画出条直线，若三点不在一条直线上，可以画出3条直线，若四点不在一条直线上，可以画出6条直线， 整理得 n
9、+90 选B。5直线EF、GH分别“截”平行直线AB、CD，各得2对同旁内角，共4对；直线AB、CD分别“截”相交直线EF、GH，各得6对同旁内角，共12对。因此图中共有同旁内角4+616对6FDBE2=AGFAGC=1-31+2-3=AGC+AGF=180 选B7解：ABCD （已知） BAD=CDA（两直线平行，内错角相等） 1=2（已知）BAD+1=CDA+2（等式性质） 即EAD=FDA AEFD EF8解：每两点可确定一条直线，这5点最多可组成10条直线，又每两条直线只有一个交点，所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+145（个）又因平面上这5个点与其余4个点均有4条连线
10、，这四条直线共有3+2+16个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉56=30个交点，所以有交点的个数应为45-3015个9可分7个部分10解 ABCDEFAPQDQG=FRG=110同理PSQ=APSPSQ=APQ-SPQ=DQG-SPQ=110-90=2011 0个、1个或无数个1）若线段AB的垂直平分线就是L，则公共点的个数应是无数个；2）若ABL，但L不是AB的垂直平分线，则此时AB的垂直平分线与L是平行的关系，所以它们没有公共点，即公共点个数为0个；3）若AB与L不垂直，那么AB的垂直平分线与直线L一定相交，所以此时公共点的个数为1个124条直线两两相交最多有1+2+36个交点13证
11、明：过E作EFBA2=A（两直线平行，内错角相等）DECB，EFBA 1=B（两个角的两边分别平行，这两个角相等） 1+2=B+A（等式性质）即AED=A+B 14证明：分别过点E、F、G作AB的平行线EH、PF、GQ，则ABEHPFGQ（平行公理）ABEH ABEBEH（两直线平行，内错角相等）同理：HEFEFPPFGFGQQGDGDCABE+EFP+PFG+GDCBEH+HEF+FGQ+QGD（等式性质）即B+D+EFG=BEF+GFD15证明：DE平分CDA CE平分BCDEDC=ADE ECD =BCE(角平分线定义)CDA +BCD=EDC+ADE+ECD+BCE=2（EDC+ECD
12、）180DACB又CBABDAAB18 直线上每一点与直线外3点最多确定35=15条直线；直线外3点间最多能确定3 条直线， 最多能确定15+3+1=19条直线 如图，已知直线l1l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线CD上有一点P（1）如果P点在C、D之间运动时，问PAC，APB，PBD有怎样的数量关系？请说明理由（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索PAC，APB，PBD之间的关系又是如何？问题1： 如图124所示A1+A2=B1，问AA1与BA2是否平行？问题2： 如图125所示若A1+A2+An=B1+B2+Bn-1，问AA1与BAn是否平行？
13、这两个问题请同学加以思考例3： 如图126所示AEBD，1=32，2=25，求C分析： 利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如1=DFC或AFB若能将1，2，C“集中”到一个顶点处，这是最理想不过的了，过F点作BC的平行线恰能实现这个目标解： 过F到 FGCB，交 AB于G，则C=AFG(同位角相等)，2=BFG(内错角相等)因为 AEBD，所以，1=BFA(内错角相等)，所以C=AFG=BFA-BFG=1-2=32-2=22=50说明：(1)运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线(平行线)的常用技巧(2)在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法：1=DFC=
14、C+2，即C=1-2=22=50例4： 求证：三角形内角之和等于180分析： 平角为180若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决， 下面方法是最简单的一种证： 如图127所示，在ABC中，过A引lBC，则B=1，C=2(内错角相等)显然 1+BAC+2=平角，所以 A+B+C=180说明 ：事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边平行的直线，将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论如将平角的顶点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处，不过，解法将较为麻烦同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法例5： 求证：四边形内角
15、和等于360分析： 应用例3类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程 证： 如图128所示，四边形ABCD中，过顶点B引BEAD，BFCD，并延长 AB，CB到 H，G则有A=2(同位角相等)，D=1(内错角相等)，1=3(同位角相等)C=4(同位角相等)，又 ABC(即B)=GBH(对顶角相等)由于2+3+4+GBH=360，所以A+B+C+D=360说明：(1)同例3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变(2)总结例3、例4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：三角形内角和=1
16、80=(3-2)180，四边形内角和=360=2180=(4-2)180人们不禁会猜想：五边形内角和=(5-2)180=540，n边形内角和=(n-2)180这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单(3)在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法3如图133所示ABCD，BAE=30，DCE=60，EF，EG三等分AEC问：EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？4证明：五边形内角和等于5405如图134所示已知CD平分ACB，且DEACCDEF求证：EF平分DEB
