1、高等数学作业题集版第六章多元函数微分学答案高等数学作业题集2013版第六章多元函数微分学答案 一 多元函数的基本概念 1 求下列定义域并画出草图： x2 y21 （1 ）z x y) （2）z arcsin arccos2 2 4x y （3 ）z ln(y x) (4) u 22 解: (1) (x,y)x 0,y x; (2)(x,y) x y 4; *-* (3) (x,y)y x,x 0,x y 1 (4)(x,y,z)x y z,x y z 1 y22xyuuv ,y 解：令x y u, v，由此得：x x1 v1 v 2已知f(x y,) x y，求f(x,y) u2uv2u2(1
2、 v)x2(1 y) ) () 故代入得：f(u,v) ( 即：f(x,y) 1 v1 v1 v1 y 3求下列各极限 （1） 1 xy （2 ） lim (x,y) (0,1)x2 y2(x,y) (0,0)lim x2 y2sin(xy)（3）lim （4）lim4 x x y4(x,y) (2,0)yy 解：（1） 1 xy1 1； (x,y) (0,1)x2 y21lim （2 ） 11 lim (x,y) (0,0)(x,y) 42 2lim sin(xy)sin(xy)sin(xy) lim x lim limx 2 (x,y) (2,0)(x,y) (2,0)xy 0x 2yxy
3、xylim （3） x2 y2x2 y*-* （4）由不等式0 4 而 ( )lim(2 2) 0 *x x y2xy2yx2yxy x2 y2 0 由加逼准则有lim4 x x y4y 4证明下列极限不存在 x 2yx2y （1）lim （2）lim (x,y) (0,0)x y(x,y) (0,0)x4 y2 证明: (1)当(x,y)沿y kx(k 1)趋于(0,0)时, x 2yx 2kx1 2k lim (x,y) (0,0)x yx 0x kx1 ky kx lim 所以k取不同值,上面的极限就有不同的结果,故原极限不存在. x2ykx4k lim (2) 当(x,y)沿y kx趋
4、于(0,0)时, lim 2(x,y) (0,0)x4 y2x 0x4 k2x41 k2 2 y kx 所以k取不同值,上面的极限就有不同的结果,故原极限不存在. 二 偏导数 1 求下列函数的偏导数 yx2 y2 ) （3）z exysin(x y) （1）z （2）z ln(x 2xxy x 2y2 （4） x （5）u xysin z yz (6)f(x,t) 解: (1) z x at x at (u)du 为连续函数 z1y 2 xyx zx1 2 yyx xy yx y2 z2x2 y (2) y xx x(2x2 y)2x 1 (3) z1 2 y yx 2x y2x 1 z zx
5、y xexysin(x y) exycos(x y) yexysin(x y) ecosx ( y) x y (4) z u yzxy 1 xz u xy lnx z yz 1 yz u xy lnx yz lny z ux 2y21x 2y2 ysin xycos (5) xzzz ux 2y2x 2y2 ux 2y242x 2y2 xycos xsin xycos zz2z yzzz (6) fx (x at) (x at)2 求函数f(x,y) exycos( ft a (x at) (x at) 2 x) (y 1，1）处的偏导数 f x解 : f y (1,1) (1,1) f(x,
6、1) x f(1,y) y x x 1 (ecos * (y 1) ( y 1 y1 y (x,y) (0,0)(x,y) (0,0) x exsin x) x 1 e y 1 4 xy2 3设函数f(x,y) x2 y4 0 （1）试计算fx(0,0)，fy(0,0) （2）讨论函数f(x,y)在（0，0）是否连续 解: (1)由偏导数的定义 f(0 x,0) f(0,0)( x)2 fx(0,0) lim lim 0 x 0 x 0 x x 0 ( y)2 f(0,0 y) f(0,0)02 ( y)4 fy(0,0) lim lim 0 y 0 y 0 y y xy2ky4k lim (
7、2)因为lim2,其极限值随k的不同而不同,所以极限2y 0x y4y 0k2y4 y4k 12 x ky (x,y) (0,0) limf(x,y)不存在,从而函数f(x,y)在（0，0）处不连续. z 4 曲线 (1,1处的切线与y轴正向的夹角是多少？ x 1 解:设所求的角为 ,由偏导数的几何意义知 : tan z y ，所以 . 65设f(x,y,z) xy2 yz解: 2 zx 2 ，求fxx(0,0,1)，fxz(1,0,2)，fyz(0, 1,0)，fzzx(2,0,1) fx y2 2zx fxx 2zfxz 2x 2fxz fy 2xy z2 fyz 2z fz 2yz x2
8、 (1, 0,2)fy2z (0 ,1,f0z)zx0 ( fzz 2y fzzx 0 fxx(0,0, 1) 2 3 x 2 3 6设 xy 3xz ，求，2，3， xy x x y z x y x 3 3 22 u1 解: 3x2y3 6xz2 xy 2u1 9x2y2 2 x yy 2u 6xy3 6z22 x 3u 6y3 x 3 3 u 0 x y z 2r 2r 2r2 7 验证：r 2 2 2 x y zr r 证明 : x 2r22y2 z2 23 xr 2rx2 z2 由对称性有: y2r3 2rx2 y2 z2r3 2r 2r 2ry2 z2x2 z2x2 y22(x2 y
9、2 z2)2r22 2 2 3 * x y zrrrrrr 三 全微分及其应用 1求函数z xy 当x 2,y 1, x 0.01, y 0.03时的全增量和全微分 x2 y2 解 z (2 0.01) (1 0.03)2 1 0.0282 2222 (2 0.01) (1 0.03)2 1 zy(y2 x2) 2 x(x y2)2dz zx(y2 x2) 2 y(x y2)2 2 2 z z(y x) x y 2(x y y x)22 x y(x y) 1 0.0278 36 dz x 2y 1 x 0.01 y 0.03 2. 求下列函数的全微分 （1）u xyyzzx （2）z arcs
10、in x y 22 （3）z exysin(x y) （4）u xy 3xz 33 x y 解 (1) uy xyyzzx( lnz) xx y z x uz xyyzzx( lnx) yyzy x lnx ) ( z ux xyyzzx( lny) zz z lnz) d( du xy z xyx ln y)dz (2) z y dz z z dx dy x y 2 (3) z zxy xexysin(x y) exycos(x y) yexysin(x y) ecosx ( y) x y xy y y )xecos x( dz xesin( xy)d x xy yes inx( yxy)e
11、 (ydy coxs (4) u1 3x2y3 6xz2 xy 2 3 2 ux 3x3y2 2 yy u 6x2z z ) dy62 xzdz du (3xy 6x z 12x) dx(33x yy2 3 证明函数f(x,y) 证明 因为 在点（0,0）处连续且偏导数存在，但不可微 limf(x,y) x 0y 0 x 0y 0 0 f(0,0), 所以f(x,y) 在点（0,0）处连续.又 x 0 lim f(0 x,0) f(0,0) 0, x 所以fx(0,0) 0.同样的fy(0,0) 0, 所以f(x,y) 在点（0,0）处偏导数存在，而 lim 0 f fx x fy y lim
12、 x y 考虑点p( x, y)沿直线y x趋于（0,0）时,有 x y lim lim x 0 y 0 在点（0,0）处不 即 f fx(0,0) x fy(0,0) y不是 的高阶无穷小, 故f(x,y) 可微. 4.在”充分”，”必要”，”充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内. (1) f(x,y)在点(x,y)可微分是f(x,y); f(x,y)在点(x,y)连续是f(x,y)在该店可微的必要条件. (2) z f(x,y)在点(x,y)的偏导数 z z,存在是f(x,y)该点可微分的必要条件, x y z z,存在的充分条件. x y z f(x,y)在点(x,y)可微分是f
13、(x,y)在该点的偏导数 (3)函数z f(x,y)在点(x,y)的偏导数 z z,连续是是f(x,y)该点可微分的充分条件. x y 2z 2z (4) 函数z f(x,y)的两个二阶混合偏导数, 在区域D内连续是这两个二阶混 x y y x 2z 2z 合偏导数, 在区域D内相等的充分条件. x y y x 四 多元复合函数的求导法则 1. 设z x y xy，x e，y sint，求解: 2 2 t dz dt dz zdx zdy (2x y)et (2y x)cost (2et sint)et (2sint et)cost dt xdt ydt dueax(y z) z bcosxy
14、 asinx2. 设u ，其中，（a，b为常数），求 22 dxa b du u udy udzeax(y z)eaxeax 解: a22 22acosx 22( bsinx) dx x ydx zdxa ba ba b eax2 (asinx abcosx acosx bsinx) 2 2 a b 3. 设z arctan v z z，v x y，u x y，求， u x y 解: z z u z vvuu v y 22 22 22 2 x u x v xu vu vu vx y2 z z u z vu v 22 y u y v yu v x 2x y u u u，, r 2 222 4.
15、设u x y z，x rcos sin ，y rsin sin ，z rcos ，求 解: u u x u y u z 2xcos sin 2ysin sin 2zcos r x r y r z r 2 2rcos s2i n r22s in 2 s inr2 2 c osr 2 2 srin 2 2 cros2 u u x u y 2x( rsin sin ) 2y rcos sin x y 2r2cos sin sin2 2r2cos sin sin2 0 u u x u y u z 2xrcos cos 2yrsin cos 2zr( sin ) x y z 2r2cos2 sin co
16、s 2r2sin2 sin cos 2r2sin cos 0 5. 设u f(x2 y2,exy)，其中f具有一阶连续偏导数，求 u u， x y 解: u 2xf1 yexyf2 x u 2yf1 xexyf2 y 6. 设w f(xy,yz)，其中f为可微函数，试验证：xwx zwz ywy 解: wx yf1 wy xf1 zf2 wz yf2 则: xwx zwz xyf1 zyf2 ywy u 2u 7. 设u yf(x y,xy)，其中f为二阶连续可导，求， x x y 2 解: u yf1 2xyf2 x 2x x2f21f22 2u f1 2xy2f y1 f1 x y f1
17、4xy2f y(1f1 2 x y2 (x y21f 2 )2x2f 2 x)y12f 2 3 x 2y22f 1 2z 8. 若z f(xy) yf(x y)，其中f为二次可微连续函数，试求 x x y 解: z11 2f(xy) f(xy)y yf(x y) xxx 2z111 2f(xy)x f(xy)xy f(xy) f(x y) yf(x y) x yxxx yf(xy) f(x y) yf(x y) 五 方向导数与梯度 1 求函数z x2 y2在(1,1)沿与x轴正向成 60方向的方向导数。 解 z 2x x z1 2yel (cos60,sin60) (, y22 z l z x
18、 (1,1)cos60 (1,1) z y (1,1)sin60 12 试求u exyz x2 y2在点(1,1,1)处沿曲线x t,切线正方向的方向导数。 解 因为x 1 y 2t2 1,z t3在点(1,1,1)处 y 4tz 3t2所以s (1,4t,3t2)， s (1,1,1) (1,4,3) 从而曲线在点(1,1,1)处切线方向的方向余铉为： cos 又因为 u x (1,1,1) (yzexyz 2x) (1,1,1) e 2， u y (1,1,1) (xzexyz 2y) xye xyz (1,1,1) e 2， u z 从而 (1,1,1)(1,1,1) e， u l (1
19、,1,1) u x (1,1,1)cos u y (1,1,1)cos u z (1,1,1)cos 222 3 求函数u x y z在球面x y z 1上点M0 (0,0,1)处的外法线方向的方向 导数。 解 令F(x,y,z) x y z 1Fx 2x 2 2 2 0,0,1)在M0(Fy 2yFz 2z， 的外 法线方向的方向向量为(0,0,2)，方向余铉为：cos 0,cos 0,cos 1 u l (0,0,1) u x yx (0,0,1)cos u y (0,0,1)cos u z (0,0,1) cos 1 4 设f(x,y) e，求grade. yy fyx f1x解 2e,
20、 e则 xx yxyy yx1x grade 2ei ej xx y x yx 5 设f(x,y,z) x sin 的方向导数的最大值。 2 y eyz，ardf求g2 ,102)(，并求函数f(x,y,z)在点(1,0,2)处 解 gradf (fx,fy,fz) (2x, 1y5 cos zeyz,yeyz) grad(f1,0, 2)2, ,0)222 f(x,y, z)在点(1,0,2)处的方向导数的最大值为: gradf(1,0,2) 2 2 2 6 设el (cos ,sin )，求函数f(x,y) x xy y在点(1,1)沿方向l的方向导数，并 分别确定角 ，使这导数有（1）最
21、大值；（2）最小值；（3）等于0 。 解 f 2x y x f f x 2y l y (1,1) (2x y(1,1) co s (x ) (1, 1) sin 因为cos sin (1) )可见 4 45 (2) 时, 方向导数最小,最小值为43 7 (3) 及 时, 方向导数等于0. 44 时,方向导数最大, 六 隐函数及其微分法 1设yex lny 1，求 x dy dx 解:设F(x,y) ye lny 1 Fx ye x Fx1dyyex Fy e 则 1ydxFyx e y x 2设ex y xy，求 dx dy x y 解: F(x,y) e x y xyFx e yFy e x
22、 y Fydxex y x x 则 x y dyFxe y z 2z 2z 3设yz zx xy 1，求 ， ，2 x x x y 解: F(x,y,z) yz zx xy 1Fx z y Fy z xFz y x F zz y x xFzy x Fy zz x yFzy x (1 zz x )(x y) (y z)(1 )(x y) (y z) 2z yy x 222 (x y)(x y)(x y) 2z z y ( ) x y yy x z y z (x y) (y z)(x y) (y z) 2z z y2(y z)y x ( ) x2 xy x(x y)2(x y)2(x y)2 4设
23、x x(y,z)，y y(x,z)， z z(x,y)都是由方程F(x,y,z) 0所确定的具有连续偏导数的函数，试证明： x y z 1 y z x 证明: 因为 Fy x yFx F y z zFyF z x xFz 所以 FyFF x y z ( ) ( z) ( x) 1 y z xFxFyFz 5设由方程F x y,y z,z x 0确定函数z z x,y ,求 z z，. x y 解 F z x xFz Fy z 而Fz F2 F3 yFz Fx F1 F3Fy F1 F2 FxF1 F3 z 则 xFz F2 F3Fy F1 F2 z yFz F2 F3 6求由下列方程组所确定的
24、函数的导数或偏导数 x2 y2 z2 50dydz （1）设 求 ， dxdxx 2y 3z 4 解:方程组两边同时对x求导: dy 3x zdydz 2x 2y 2z 0 dx3y 2zdxdx 得: dydz 1 2 3 0 dz y 2x dxdx dx3y 2z （2）设 u f(ux,v y) 2 v g(u x,vy) 其中f、g具有一阶连续偏导数，求 u v， x x 解: 方程组两边同时对x求偏导: u v u (x u)f f21 x x x 得: v u v ( 1)g 2vyg 12 x x x u uuf1(1 2yvg2) f2g1 x (1 xf)(1 2yvg)
25、fg 1221 (1 xf)g guf v 1111 x(1 xf1)(1 2yvg2) f2g1 7设x ecosv， y eusinv， z uv，试求 z z ， x y 解: z z u z v u v z z u z v 要求, x u x v x x x y u y v y x eucosv 则方程组 两边同时对x求偏导,有: u y esinv v u uu 1 ecosv e( sinv) x x 得: u v 0 eusinv eucosv x x ucosv u u v xe 要求, vsinv y y xeu u x ecosv 则方程组 两边同时对y求偏导,有: u y
26、 esinv v u uu 0 ecosv e( sinv) y y 得: u v 1 eusinv eucosv y y usinv y eu vcosv eu y z z u z vcosvsinv vu u( u) e u(vcosv usinv) x u x v xee z z u z vsinvcosv vu uu e u(vsinv ucosv) y u y v yee 七 多元函数微分学的几何应用 1 求螺旋线x acos ,解: y asin ,z b 在点(a,0,0)处的切线与法平面方程。 dz b,因(a,0,0,)对应于 0 d dx asin d 0 dyd dy a
27、cos d a dzd dxd 0 0 0 x a 0 b,所以在点(a,0,0,)处的切线方程为 yz ab 法平面方程为a(y 0) b(z 0) 0即ay bz 0. 222 x y z 6 2 求曲线 在点(1,1,2)处的切线方程与法平面方程。 22 z x y 222 x y z 6解:由 可确定两个一元隐函数, y y(x),z z(x),于是曲线在点(1,1,2)22 z x y 处的切向量为(1, dydz ,)dxdx (1,1,2) .方程组两边同时对x求导: x dydydz 2x 2y 2z 0 dyy dxdxdx 得: 于是 dzdydx 2x 2y dz 0 d
28、x dx dx x 1 y 1z 2 1 dzdx x 1y 1z 2 0 z 2 从而切向量为(1, 1,0),从而曲线在点(1,1,2)处的切线方程为 x 1y 1 1 1 法平面方程为x 1 (y 1) 0即x y 0. 3 求出曲线x t,解:因为x 1 y t2,z t3上的点，使在该点的切线平行于平面x 2y z 4。 z 3t2,所以曲线上任一点处的切线向量为: s (1,2t,3t2) y 2t 而已知平面的法向量为: n (1,2,1).所以要使切线平行于平面,只需s n 0 2 即: 1 4t 3t 0,得t 1,t 1111.所以对应点为( 1,1, 1)或( , ). * 4 求曲面2x3 yez ln(z 1) 0在点(1,2,0)处的切平面与法线方程。 解:令F(x,y,z) 2x ye ln(z 1) 3 z Fx 6x2Fy ezF
