1、第九章 组合变形,9.1 组合变形和叠加原理9.2 斜弯曲9.3 拉伸或压缩与弯曲的组合9.4 弯曲和扭转的组合9.5 偏心压缩和截面核心,轴向拉伸与压缩 Axial tension/compression,剪切 Shear,扭转 Torsion,弯曲 Bending,此外，还有组合变形Combined Deformation,9-1 组合变形和叠加原理,9.1.1四种基本变形：,拉弯组合变形,9.1.2组合变形工程实例,9-1 组合变形和叠加原理,这类由两种或两种以上基本变形组合而成的变形，称为组合变形。,压弯组合变形,9.1.2组合变形工程实例,9-1 组合变形和叠加原理,本章介绍几种常见
2、的组合变形，分别是：斜弯曲、拉弯或压弯组合、弯扭组合、偏心压缩。,弯扭组合变形,9.1.2组合变形工程实例,马达卷扬机,9-1 组合变形和叠加原理,传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲+扭转,9-1 组合变形和叠加原理,9.1.2组合变形工程实例,压弯组合变形,9.1.2组合变形工程实例,屋架传来的压力,吊车传来的压力,自重,风力,9-1 组合变形和叠加原理,9.1.3叠加原理,构件在小变形和服从胡克定理的条件下，力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用下的内力、应力、应变和位移等是各个单独载荷作用下的值的叠加,9-1 组合变形和叠加原理,说明:,1.必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从胡
3、克定律;,2.必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠加计算,且能保证与加载次序无关.,说明:小变形前提,图示纵横弯曲问题,横截面上内力为,当变形较大时,弯矩中与挠度有关的附加弯矩不能略去.虽然梁是线弹性的,弯矩、挠度与P的关系却是非线性的因而不能用叠加法.除非梁的刚度较大,挠度很小,轴力引起的附加弯矩可以略去.,9-1 组合变形和叠加原理,1.外力分析将外力进行简化分解,把构件上的外力转化为几个静力等效载荷，使之每个载荷对应一种基本变形，即将组合变形分解为基本变形。,3.应力分析画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理 将基本变形下的应力叠加,建立危险点的强度条件,9.1.4处理组
4、合变形的基本方法,2.内力分析求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截面.分别计算在每一种基本变形下构件的应力,9-1 组合变形和叠加原理,9-2 斜弯曲,9.2.1斜弯曲变形工程实例,檩条受到的荷载作用在铅垂作用面内，然而，檩条弯曲变形后的轴线并不在铅垂作用面内。因此，檩条发生斜弯曲变形。,9-2 斜弯曲,9.2.2斜弯曲变形的前提条件,一是载荷作用在一个平面内，但载荷作用面与梁的纵向对称面不重合（图a）；二是载荷都作用在对称面内，但不在同一纵向对称面内（图b）。,9-2 斜弯曲,9.2.3内力与应力计算,（1）外力分析：荷载分解,考察图示矩形截面梁，对其进行分析计算：,9-2 斜弯
5、曲,9.2.3内力与应力计算,（2）内力分析：距自由端为x的任意截面A上引起的弯矩分别为：,9-2 斜弯曲,9.2.3内力与应力计算,（3）应力分析：对应的应力分布，如图所示。,于是，A截面上任意点处正应力由平面弯曲正应力公式计算。得：,9-2 斜弯曲,9.2.3内力与应力计算,（3）应力分析：一点总应力,以截面上第一限点（y，z）为例,压应力,拉应力,利用叠加原理，该点总应力为：,（9.3）,中性轴,9-2 斜弯曲,9.2.4中性轴分析,上例中，斜弯曲截面应力分布如图所示,根据中性轴处正应力为零，令（9.3）式等于零便可得中性轴方程：,（9.4）中性轴方程,上式为没有截距的直线方程，可见此时
6、中性轴通过截面形心。如图所示。,中性轴,9-2 斜弯曲,9.2.4中性轴分析,这表明：斜弯曲时，中性轴与加载方向不垂直，这是斜弯曲与平面弯曲的重要区别之一。,得,设中性轴与y轴的夹角为，则由,工程中，一般,说明，,也就是,9-2 斜弯曲,9.2.5最大正应力和强度条件,最大正应力为：,（1）最危险截面：为固定端截面,以上一悬臂梁为例，如右图所示,（2）最危险截点：为正应力最大点,可根据叠加原理分析得出，如下图所示,强度条件为：,（9.5）,（9.7）,例题9.1,已知：l4m，=160MPa，=5，P=60kN 求：校核梁的强度。,解：,将P沿两主轴分解:,1.外力分析：,9-2 斜弯曲,例题
7、9.1,已知：l4m，=160MPa，=5，P=60kN 求：校核梁的强度。,解：,2.内力分析，危险截面：,简支梁，当小车至梁中点时，Mmax。,危险截面是梁跨度中点处的截面。,9-2 斜弯曲,已知：l4m，=160MPa，=5，P=60kN 求：校核梁的强度。,解：,3.应力分析，危险点：,危险点在D2，D1处，塑性材料，只计算一处即可,32a工字钢,=5,例题9.1,单位：mm3,由于max仅比大0.19%，故可认为安全。,9-2 斜弯曲,9.3.1变形举例,9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合,(a),当杆件上同时作用有轴向外力和横向外力，如图所示，则杆件的变形为轴向拉伸（或压缩）与弯曲的
8、组合变形。,横向力引起的剪切变形忽略不计。,9.3.2内力与应力计算,9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合,(a),以图（a）所示的受力杆件为例，说明拉（压）与弯曲组合时的正应力及其强度计算。,（1）荷载分析：荷载F可以分为两个方向，轴向Fx和横向Fy,（2）内力分析：轴力由水平分力Fx 决定；弯矩由横向分力Fy 决定。,9.3.2内力与应力计算,9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合,（3）应力分析：应用叠加原理,横向力 作用下梁发生平面弯曲，正应力如图（c）,轴力 单独作用时，横截面上的正应力如图（b）,+,=,(b),(c),(d),总应力：,加号代表代数和，使用时注意拉应力取正，压应力取负,（9
9、.8）,9.3.3最大正应力和强度条件,9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合,（1）危险截面：轴力各截面相等，弯矩固定端最大。,（2）危险点：如图（d）可知，最危险点在固定端的最下边缘。,综合可知，固定端最危险。,最大正应力：,强度条件：,（9.9）,9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合,例题9.2 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成.其抗弯刚度Wz=237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载F=34kN,横梁材料的许用应力为=125MPa.校核横梁AB的强度.,解：（1）荷载分析：分析AB的受力情况,AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形,9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合,例题9.2 悬
10、臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成.其抗弯刚度Wz=237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载F=34kN,横梁材料的许用应力为=125MPa.校核横梁AB的强度.,中间截面为危险截面.最大正应力发生在该截面的上下边缘，上压下拉。,（2）内力分析，确定危险截面,FN图,+,M图,9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合,例题9.2 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成.其抗弯刚度Wz=237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载F=34kN,横梁材料的许用应力为=125MPa.校核横梁AB的强度.,（3）压缩正应力,（4）最大弯曲正应力,（5）危险点的应力,满足强度要求。,9
11、-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合,例题9.2 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成.其抗弯刚度Wz=237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载F=34kN,横梁材料的许用应力为=125MPa.校核横梁AB的强度.,（3）压缩正应力,（4）最大弯曲正应力,（5）危险点的应力,满足强度要求。,例题9.3 小型压力机的铸铁框架如图所示.已知材料的许用拉应力 t=30MPa,许用压应力 c=160MPa.试按立柱的强度确定压力机的许可压力F.,50,50,150,150,9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合,解：（1）确定形心位置,A=1510-3 m2,z0=7.5 cm,Iy=5310 c
12、m4,计算截面对中性轴 y 的惯性矩,50,50,150,150,9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合,（2）分析立柱横截面上的内力和应力,在 n-n 截面上有轴力 FN及弯矩 My,n,n,350,F,F,50,50,150,150,9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合,由轴力 FN产生的拉伸正应力为,n,n,350,F,F,50,50,150,150,9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合,由弯矩 My产生的最大弯曲正应力为,50,50,150,150,n,n,350,F,F,9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合,（3）叠加,在截面内侧有最大拉应力,50,50,150,150,n,n,350,F,F,9-3
13、 拉伸（压缩）与弯曲的组合,在截面外侧有最大压应力,F 45.1 kN,所以取,50,50,150,150,n,n,350,F,F,9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合,研究对象：主要是圆截面杆,研究内容：杆件发生扭转和弯曲组合变形时的强度计算。,变形特点：,受力特点：,杆件同时承受扭矩和横向力作用。,发生扭转和横力弯曲两种基本变形。横力剪切变形忽略不计,9-4 弯曲和扭转的组合,（1）外力分析,图（b）（c）分别为该圆轴的弯矩图和扭矩图。,已知悬臂圆轴在悬臂端受到横向集中力 和外力偶矩 的作用，如图（a）所示。,9-4 弯曲和扭转的组合,9.4.1弯扭组合轴,（2）内力分析,最危险截面，即支座截
14、面A。,（3）应力分析,支座A截面内力分量如图（a）所示。,9-4 弯曲和扭转的组合,9.4.1弯扭组合轴,扭转切应力极值出现在外边缘，如图（b）所示。,(a),弯曲正应力极值出现在上下边缘，如图（c）所示。,综上可知，C1、C3为最危险点。,（3）应力分析,弯扭组合轴多采用抗拉和抗压强度相等的塑性材料制成，则只要校核一点的强度就可以了。,9-4 弯曲和扭转的组合,9.4.1弯扭组合轴,C1点应力状态如上图所示。,可求得该点主应力为：,（4）强度条件,C1点为二向应力点，故按强度理论建立强度条件。,9-4 弯曲和扭转的组合,9.4.1弯扭组合轴,同理，第四强度理论也可以转化成如下形式：,按第三
15、强度理论有：,已知：,而且圆截面：,（9.10）,代入公式（9.10）得：,（9.11）,（9.12）,（9.13）,图示梁同时承受弯矩、扭矩和剪力时,危险点不仅仅是C1和C3，还有C4点。,9-4 弯曲和扭转的组合,9.4.2同时承受弯矩、扭矩、剪力和轴力的圆杆,C4点,该点,或：,第三强度理论,第四强度理论,如果在本例中再加入轴力的作用，那么危险点需要根据实际情况有所改变。,若轴力为拉力，则本例危险点是 C1和 C4点,9-4 弯曲和扭转的组合,9.4.2同时承受弯矩、扭矩、剪力和轴力的圆杆,F,对 C1点：,对C4点：,例题9.4 传动轴左端的轮子A由电机带动，传入的扭转力偶矩Me=30
16、0N.m。两轴承中间的齿轮E半径 R=200mm，径向啮合力F1=1400N，轴的材料许用应力=100MPa。试按第三强度理论设计轴的直径 d。,解:(1)受力分析，作计算简图,F2向轴简化，得一附加力偶矩，大小等于Me,9-4 弯曲和扭转的组合,（2）作内力图,危险截面 E 处,9-4 弯曲和扭转的组合,9-4 弯曲和扭转的组合,（2）作内力图，危险截面 E 处,（3）由强度条件设计 d,合成弯矩为：,9-4 弯曲和扭转的组合,例 齿轮轴 AB 如图所示。已知轴的转速n=265 r/min，输入功率P=10kW，C为主动轮。两齿轮直径D1=396mm，D2=168mm，压力角，轴的直径d=5
17、0mm，材料为45号钢，许用应力为。试校核轴的强度。,9-4 弯曲和扭转的组合,【解】轴的外力分析：将啮合力分解为切向力与径向力，并向齿轮中心（轴线上）平移。考虑轴承约束力后得轴的受力图如图(b)所示。由 得,由扭转力偶计算相应切向力，径向力,同理，得,9-4 弯曲和扭转的组合,轴上铅垂面内的作用力P1y、P2y，约束力YA，YB构成铅垂面内的平面弯曲，由平衡条件可求得,轴上水平面内的作用力P1z、P2z，约束力ZA，ZB构成水平面内的平面弯曲，由平衡条件可求得,作内力图：分别作轴的扭矩图T 图（图c），铅垂面内外力引起的轴的弯矩图Mz图，水平面外力引起的轴的弯矩图My图（图d）,强度校核：由
18、弯矩图及扭矩图确定可能危险面为C（右）面和 D（左）面。比较合成弯矩,可知 D 面更危险,对塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论作强度校核,第三强度理论,第四强度理论,9-4 弯曲和扭转的组合,单向偏心压缩,单向偏心压缩时,距偏心力较近的一侧边缘总是产生压应力,而最大正应力总是发生在距偏心力较远的另一侧,其值可能是拉应力,也可能是压应力.,9-5 偏心压缩和截面核心,1.外力分析,2.内力分析,3.应力计算,A,B,C,D,9-5 偏心压缩和截面核心,双向偏心压缩,截面核心,令y0，z0代表中性轴上任一点的坐标,中性轴是一条不通过截面形心的直线,中性轴,9-5 偏心压缩和截面核心,中性轴与偏心力的作用点总是位于形心的相对两侧.且偏心力作用点离形心越近,中性轴就离形心越远.,当偏心距为零时,中性轴位于无穷远处.,当偏心力的作用点位于形心附近的一个限界上时,可使得中性轴恰好与周边相切,这时横截面上只出现压应力.,该限界所围成的区域-截面的核心,9-5 偏心压缩和截面核心,例题求直径为D的圆截面的截面核心.,例题确定边长为h和b的矩形截面的截面核心.,
