1、收敛;一致收敛The judgement methods of uniform convergence on improper integrals with paramerAbstract:This article summarizs four kinds of judgement methods of uniform convergence onimproper integrals with paramer according to the definitions of improper integrals with aramer and uniform convergence on imp
2、roper integrals,and give some examples.Key Words: region; convergence; uniform convergence前言含参量反常积分是微积分学中一类重要的积分,研究含参量反常积分及其一致收敛性,可以为分析讨论函数的性质打下坚实的基础.本文归纳了判别含参量反常积分的一致收敛性的五种方法:一致收敛定义、魏尔斯特拉斯 M 判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,并且给出了典型例子以说明每种判别法的特点.1.定义定义 1 设函数 f （x, y）定义在无界区域 R = （ x, y） a x b, c y c ,使得当M N 时,对一切
3、x a, b ,都有c f （ x, y ）dy - I （ x） ,即M f （ x, y ） dy 则称含参量反常积分（1）在a, b 上一致收敛于 I （ x） .或简单的说含参量积分（1）在a, b上一致收敛.定义 3 设函数f （x, y）在区域 R = a, bc, d ） 上有定义， 若对 x 的某些值,y = d 为函数 f （x, y）的瑕点，则称dc f （ x, y ）dy（3）为含参量 x 的无界函数反常积分，或简称含参量反常积分。若对每一个 x a, b ，积分（3）都收敛，其积分值 x 在a, b 上一致收敛的定义是定义 4 对任给正数 ,总存在某正数 d - c
4、,使得当 0 时,对一切x a, b ,都有d - f （ x, y ） dy c ,使得当 A1, A2 M 时,对一切 x a, b ,都有A2 f （ x, y ） dy 0 ）,但在（0, +） 内不一致收敛.证 做变量代换u = xy ,得+ sin xydy = + sin uduA y+ sin uAx u, （5）其中 A 0 .由于0时,就有du 收敛,故对任给正数 ,总存在正数 M ,使当 A Mu+ sin udu M ,则当 A 时,对一切 x 0 ,由（5）式有+ sin xydy 0 上一致收敛.现在证明（4）在（0, +） 内不一致收敛.由一致收敛定义,只要证明存
5、在某一正数 0 ,使对任何实数 M （ c） ,总相应地存在某个 A M 及某个 x a, b ,使得+ sin xydy .A y 0由于非正常积分0 u du 收敛,故对任何正数 0 与 M ,总存在某个 x（ 0） ,使得+ sin udu -+ sin udu Mx u0 u 0+ sin udu - 2 - = .M y0 0 0所以（4）在（0, +） 内不一致收敛.定理 2 含参量反常积分（1） 在a, b 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+ 的递增数列An （其中 A1 = c ）,函数项级数A An+1 f （ x, y ）dy = un （ x）在a, b 上一致收敛.n
6、=1 nn=1例2 证明：若 f （x, y） 在a, bc, +） 上连续,又在a, b） 上收敛,但在 x = b 处发散,则c f （x, y）dy在a, b） 上不一致收敛.证 用反证法,假如积分在a, b） 上一致收敛,则对于任给 0 ,总存在 M c ,当 A, A M 时对一切 x a, b） 恒有A f （x, y）dy M 时,A f （b, y）dy .+ +而 是任给的,因此c f （x, y）dy 在 x = b 处收敛,这与假设矛盾,所以积分c f （x, y）dy 在a, b） 上不一致收敛.魏尔斯特拉斯 M 判别法 设有函数 g（ y） ,使得f （ x, y ）
7、 g（ y） , a x b, c y c ,含参量正常积分Nc f （x, y）dy对参量 x 在 a, b 上一致有界,即存在正数 M ,对一切 N c 及一切 x a, b ,都有c f （x, y）dy M ;（ii）对每一个 x a, b ,函数 g（x, y） 关于 y 是单调递减且当 y + 时,对参量x, g（x, y） 一致地收敛于 0,则含参量反常积分c f （x, y）g（x, y）dy阿贝尔判别法 设（i）c f （x, y）dy 在a, b 上一致收敛;（ii）对每一个 x a, b ,函数 g（x, y） 关于 y 是单调的单调函数,对参量 x, g（x, y） 在
8、a, b 上一致有界.例 4 证明含参量反常积分+ - xy sin x e dx（8）0 x在0, d 上一致收敛.证 由于反常积分+ e- xy sin x dx收敛（当然对于参量 y ,它在0, d 上一致收敛）,函数 g（x, y） = e-xy 对每一个 y 0, d 关于 x单调,且对任何0 y d , x 0 ,都有g（x, y） = e-xy 1.故由阿贝尔判别法即得含参量反常积分（8）在0, d 上一致收敛.例 5 证 明 + xe- xydy（i）在a, b（a 0） 上一致收敛;（ii）在0, b 上不一致收敛.证 （i）x （a, b）, y 0 + ） ,有0 xe-
9、xy be-ay ,而故 + xe-xydy 在a, b+ be-aydy 收敛（a 0） . 0） 上一致收敛.（ii） 因 （x） = + xe-xydy = 0, x = 0,在 x = 0 处不连续,0 1, 0 x bxe-xy 在0 x b, 0 y + 内连续,由连续性定理知, + xe-xydy 在0 x b 上不一致收敛.结束语本文介绍了含参量反常积分的定义、定理和一致收敛性的判别方法，对我们今后的学习将会有很大的帮助.参考文献:1华东师范大学数学系编,数学分析（下册）北京:高等教育出版社,20012钱吉林,数学分析题解精粹M,武汉：崇文书局,20033武汉大学数学系编,数学分析M, 武汉大学数学系,19994吉林师范大学数分教研室编,数学分析讲义M,吉林师大数学系，2003学年论文成绩评定表评语成 绩： 学院意见：学院院长（签名）:2014 年 月 日指导教师（签名）:
