1、小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与形变的关系时，它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分 方程都简化为线性的微分方程。【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向。【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为
2、负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。 由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负面上应力分量与面力分量符号相反。 正的应力 正的面力 弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。l 】试比较1-5【 【解答】材料力学中规定切应力符号以使研究对象顺时针转动的切应力为正，反之为负。 弹性力学中规定，作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正，作用于负坐标面上的切应力以沿坐标轴负方向为正，反之为负。【1-6】试举例说明正的应力对应于正的形变。
3、【解答】正的应力包括正的正应力与正的切应力，正的形变包括正的正应变与正的切应变，本题应从两方面解答。正的正应力对应于正的正应变：轴向拉伸情况下，产生轴向拉应力为正的应力，引起轴向伸长变形，为正的应变。正的切应力对应于正的切应变：在如图所示应力状态情况下，切应力均为正的切应力，引起直角减小，故为正的切应变。 【解答】1-7】试画出图1-4中矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向。【 正的体力、面力 正的体力、应力 【解答】中三角形薄板的正的面力和体力的方向。】试画出图【1-81-5 x 【1-9】在图1-3的六面体上，y面上切应力 yz的合力与z面上切应力 zy的合力是否相等？【解答】切应力为单位
4、面上的力，量纲为L 1MT 2，单位为N/m2。因此，应力的合力应乘以相应的面积，设六面体微元尺寸如dxdydz，则y面上切应力 yz的合力为：yz dx dz （a） z面上切应力 zy的合力为：zy dx dy （b） 由式（a）（b）可见，两个切应力的合力并不相等。【分析】作用在两个相互垂直面上并垂直于该两面交线的切应力的合力不相等，但对某点的合力矩相等，才导出切应力互等性。第二章 平面问题的基本理论 【2-1】试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中（图2-14）其应力状态接近于平面应力的情况。【解答】在不受任何面力作用的空间表面附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都
5、无面力，且在薄层内所有各点都有 z xz yz 0，只存在平面应力分量 x, y, xy，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数。可以认为此问题是平面应力问题。【2-2】试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15），当板边上只受x，y向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平面应变的情况。【解答】板上处处受法向约束时 z 0，且不受切向面力作用，则 xz yz 0（相应 zx zy 0）板边上只受x，y向的面力或约束，所以仅存 在 x, y, xy，且不沿厚度变化，仅为x，y的函数，故其应变状态接近于平面应变的情况。【2-3】在图2-3的微分体中，若
6、将对形心的力矩平很条件 M C 试问将导出什么形 0改为对角点的力矩平衡条件， 式的方程？【解答】将对形心的力矩平衡条件 改为分别 0， 对四个角点A、B、D、E的平衡条件，为计算方便，在z方向的尺寸取为单位1。A 0 xy xdxdydy ydx 1 （ x dx）dy 1 （ xy dx）dy 1 dx ydy 1 2 x2 x2 （a） y dxdydxyx （ y dy）dx 1 （ yx dy）dx 1 dy fxdxdy 1 fxdxdy 1 0 y2 y22 B 0 （ x xdydx dx）dy 1 （ yx yxdy）dx 1 dy （ y ydy）dx 1 x2 y y2
7、（b） dydxdydx xydy 1 dx xdy 1 ydx 1 fxdxdy 1 fydxdy 1 0 2222 D （ y dxdy xydy 1 dx xdy 1 yxdx 1 dy y22 （c） xdxdydydx xdx 1 （ x dx）dy 1 fxdxdy 1 fydxdy 1 0 2 x222 dy）dx 1 y E dxdydx xdy 1 yxdx 1 dy ydx 1 y222 （d） dydydx （ x xdx）dy 1 （ xy xydx）dy 1 dx fxdxdy 1 fydxdy 1 0 x2 x22 （ y y后合并同类项，分别得dxd 0），并将各
8、式都除以（d）（c）、中的三阶小量（亦即令d2xdy,dxd2y都趋于（b）略去（a）、到 xy yx。【分析】由本题可得出结论：微分体对任一点取力矩平衡得到的结果都是验证了切应力互等定理。【2-4】在图2-3和微分体中，若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的，验证将导出什么形式的平衡微分方程？【解答】微分单元体ABCD的边长dx,dy都是微量，因此可以假设在各面上所受的应力如图a所示，忽略了二阶以上的高阶微量，而看作是线性分布的，如图（b）所示。为计算方便，单元体在z方向的尺寸取为一个单位。各点正应力：（a） （b） （ x）A x；（ x）B x （ y）A y （ y）B y dy； y
9、 y y dy （ x）D x dx； x （ y）D y dx x （ x）C x 各点切应力：dx x y； x y （ y）C y y x dx （ xy）A xy； （ xy）B xy （ yx）A yx （ yx）A yx yx y yx x xy y （ xy）D xy xy x （ yx）D yx （ xy）C xy （ yx）C yx yx x yx y 由微分单元体的平衡条件 Fx 0, Fy 0,得 1 x x x x 1 dy dy x dx x dx dy dy x x 2 y2 x x y yx yyx yx yx 1 1 dx dx yx dy yx dx dy d
10、x fxdxdy 0 yx yx+ 2 x2 y x y 1 y y y y dx dx y dy y dx dy dx y y 2 x2 y x y xy xy xy xy 1 1 dy dy xy+dx xy+dy dx dy fydxdy 0 xy xy+ y x y x 2 2 以上二式分别展开并约简，再分别除以dxdy，就得到平面问题中的平衡微分方程：x yx fx 0;y xy fy 0 x y y x 【分析】由本题可以得出结论：弹性力学中的平衡微分方程适用于任意的应力分布形式。 【2-5】在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什么？（1）在
11、导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假设是：物体的连续性和小变形假定，这两个条件同时也是这两套方程的适用条件。（2）在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：连续性，完全弹性，均匀性和各向同性假定，即理 想弹性体假定。同样，理想弹性体的四个假定也是物理方程的使用条件。【思考题】平面问题的三套基本方程推导过程中都用到了哪个假定？【2-6】在工地上技术人员发现，当直径和厚度相同的情况下，在自重作用下的钢圆环（接近平面应力问题）总比钢圆筒（接近平面应变问题）的变形大。试根据相应的物理方程来解释这种现象。【解答】体力相同情况下，两类平面问题的平衡微分方程完全相同，故所求的应力分量相同。由
12、物理方程可以看出，两类平面问题的物理方程主要的区别在于方程中含弹性常数的系数。由于E为GPa级别的量，而泊松比 取值一般在（0，0.5），故主要控制参数为含有弹性模量的系数项，比较两类平面问题的系数项，不难看出平面应力问题的系数1/E要大于平面应变问题的系数 1 /E。因此，平面应力问题情况下应变要大，故钢圆环变形大。2 【2-7】在常体力，全部为应力边界条件和单连体的条件下，对于不同材料的问题和两类平面问题的应力分量 x， y和 xy是否相同？ 均相同。试问其余的应力，应变和位移 （1）应力分量：两类平面问题的应力分量 x， y和 xy均相同，但平面应力问题 z yz xz 0，而平面应变问
13、题的 xz yz 0, z x y 。（2）应变分量：已知应力分量求应变分量需要应用物理方程，而两类平面问题的物理方程不相同，故应变分量 xz yz 0, xy相同，而 x, y, z不相同。（3）位移分量：由于位移分量要靠应变分量积分来求解，故位移分量对于两类平面问题也不同。【2-8】在图2-16中，试导出无面力作用时AB边界上的 x, y, xy 之间的关系式 【解答】由题可得：l cos ,m cos 90 sin x AB 0,y AB 0 将以上条件代入公式（2-15），得：图2-16 x ABcos yx ABsin 0, y ABsin （ xy）ABcos 0 （ x）AB y
14、x tan AB tan2 【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。图2-17 图2-18 【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。【解答】图2-17：上（y=0） 0 -1 左（x=0） -1 0 右（x=b） 1 0 l m fx s g y h1 g y h1 fy s 代入公式（2-15）得 gh1 确满足应力边界条件： 上精x=b在主要边界上x=0， x x 0 g（y h1）, xy x 0 0; x x b g（y
15、 h1）, xy x b 0;在小边界y 0上，能精确满足下列应力边界条件：y 0 gh, xy 在小边界y h2上，能精确满足下列位移边界条件：u y h 时，可求得固定端约束反力分别为：0, v y h 0 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚 =1 Fs 0,FN ghb1,M 0 由于y h2为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：b dx gh1b 0yy h2 b 0 y y h2xdx 0 b dx 0 0xyy h2 图2-18 上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15） l 0 0 m -1 1 fx（s） 0
16、 -q1 fy（s） q h 2hy （ y）y -h/2 q，（ yx）y -h/2 0，（ y）y h/2 0，（ yx）y h/2 q1 在x=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有 h/2（ ）dx F S h/2xyx 0 h/2 h/2（ x）x 0dx FN h/2 （ ）ydx M h/2xx 0 上，可应用位移边界条件ux l 0,vx l 0这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边 x=l的小边界在界条件来代替。首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：F F q1l FN q1l FN 0
17、,FN FN 0,FS FS ql 0 FS ql FS q1lh121ql2 MA 0,M M FSl 2ql 2q1lh 0 M 2 M FSl 2 由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，故 h/2（ ）dy F ql F N1N h/2xx l q1lhql2 h/2 M FSl h/2（ x）x lydy M 22 xyx lSS h/2 【2-10】试应用圣维南原理，列出图2-19所示的两个问题中OA边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是静力等效？【解答】由于h qb qb212 l，OA为小边界，故其上可用圣维南原理， 写出三个积分的应力边界条件：（a）上端面O
18、A面上面力x 0,y q b 图2-19 由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有 bbxqb b dx dx qdx 0y 0b 0 y y 0 bbx bqb2 b 0 y y 0xdx 0yxdx 0q x dx b 212 0 yx y 0dx 0 （对OA中点取矩） ，则 向为正，主矩为负（）应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y qb b dx F N 0 y y 0 qb2 b 0 y y 0xdx M 12 b dx 0 0 xy y 0 综上所述，在小边界OA上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。【2-11】检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】（1）在区域内用位移表示的平衡微分方程式（2-18）； （2）在s 上用位移表示的应力边界条件式（2-19）； （3）在su上的位移边界条件式（2-14）； 对于平面应变问题，需将E、作相应的变换。【分析】此问题同时也是按位移求解平面应力问题时，位移分量必须满足的条件。 【2-12】检验平面问 ）；2-2内的平衡微分方程式（A）在区域1【解答】（ 题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？
