1、这个微分的本质就是复合函数求导数。由于微积分大量出现在书中，是流体力学的基本分析工具，所以微积分一定要达到熟练才行。这方面的书太多了，只要选择你看得懂的书就可以，就不特别推荐哪本书了。不过最近刚看到王元先生写的高等微积分，内容跟上面说的那些高等微积分不同，主要讲微分流形及在一般力学中的应用。这本书专门设置了一个第零章，用于讨论数学语言问题。我觉得还是值得一看的。根据过去学习数学的教训，数学上看不懂和理解错误的地方往往是对其语言不了解的地方。王元先生专门谈这个问题，看来也是知道很多学生虽然学了很多年数学其实还没有掌握数学的基本语法。在掌握微积分后，还要学习复变函数，特别是保角变换这部分，因为在流
2、体力学的不可压无旋流动这部分，或者叫位势流理论这部分，涉及到复位势及其变换问题，用到的主要就是复变函数的知识。用保角变换把一些复杂形体变换为圆柱等简单形体，然后用圆柱的结论反推复杂形体的流场，这是这部分内容的基本思路。很多人大概都会疑惑，为什么流体力学对圆柱绕流那么感兴趣，直到现在还有很多涉及圆柱绕流的文章在发表。我想其原因一方面是圆柱绕流是简单几何形体，容易把某种影响流动的因素孤立出来，另一方面就是圆柱绕流的实验、数值经验比较丰富，容易让人做个对比（特别是在验证一些新算法的时候），最后一个原因就是有一个位势流理论，可以把圆柱绕流的结果推而广之到一些复杂形体中去。虽然现在已经可以用数值方法求解
3、全NS方程，但是位势流理论并没有退出舞台，在很多工程应用（比如翼型设计等）中还在发挥作用，还是构成流体力学基础理论的一个特别部分。这部分内容除了可以让你掌握一种求解方法，还为你提供了机理分析的工具，其价值还是非常大的。第三个要掌握的是矢量、张量分析。这部分要掌握矢量、张量的表示方法，张量的隐含求和、并矢计算、克罗内克符号的含义，梯度、散度、旋度的计算方法。矢量、张量的内容有些学校在高等数学课上学习，有些学校在连续介质力学课上学习，还有些学校是单独作为一门课在学习，无论怎样，只要掌握会用就可以。这方面的内容只要看吴望一老师的流体力学上册第一章就足够。这一章中还包括了曲线坐标系的内容，对于学习球座
4、标、柱座标等座标系下方程形式的变化是很有帮助的。最后一个内容就是热力学知识。这是推导能量方程的基础，显然是要掌握的。热力学方面除了经典热力学知识（热力学第一、第二定律、热力学状态函数等）外，在学习高超声速空气动力学时还需要用到开放体系的热力学知识，涉及平衡、非平衡体系的热力学问题，因此按照循序渐进的方式，在学习流体力学基础课之前应掌握经典热力学的基本知识，在进一步学习时则要用到开放体系（耗散体系）的热力学知识。当然除了高超声速外，在研究流体的微观、介观问题时也要涉及分子动力学（现在叫动理学，即英文中的kinetics一词）知识。包括统计力学在内，这些内容一般都被划归热力学范畴。两相流中的结晶、
5、凝固、熔化等问题也都与热力学直接相关，因此热力学是流体力学的重要支柱之一。不知是否因为华人学者对LBM方法等无网格方法的贡献较大，近年无网格法，特别是LBM方法在国内有长足进步，一觉醒来，仿佛一夜之间身边涌现出很多LBM专家。LBM方法的核心理论就是以分子动力学为基础的，包括Boltzmann方程、查普曼-恩斯克格展开等都是分子动力学的核心内容。突然发现热力学还有这样的用途，那就更要好好学学了！二、流体力学内核说一下流体力学的基础知识学习吧，这部分应该是这篇博客的重点。如前所述，流体力学的核心部分是建立在连续介质假设基础之上的，其最经典最核心的部分是单相流体的宏观运动规律和动力学机理。遵循一般
6、的认识规律，这方面的知识对于“人类”来说当然也是经历了“认识提高再认识”的过程。在流体力学作为一个学科出现之前，人类（或者说劳动人民）就从河流的流动上获得了对流体的基本认识，据说对空气的认识要晚一些，因为空气是透明的，因而显得要抽象一些。事实上直到现在一些神秘的事物，比如灵魂、鬼魂等，在大家的印象中还是如烟气一样的流动性物质。不过虽然没有形成文字知识，很早以前人类就已经学会利用流体，比如李冰父子在阿基米德发现浮力定律之前就建设好了都江堰这样庞大的水利工程。阿拉伯、印度、古罗马等地出土的遗址也表明这些地方在数千年前就知道如何建立复杂的水利系统。在中国这样的农业国家很早以前（少说也有几千年）就知道
7、用土墙、树木建立防风带，防止庄稼被风吹倒。山西出土的最早的箭头据考证是2万年前制造的，竟然也有流线型外形。很难相信那时候的人（新石器时代）就知道空气动力学原理，我猜他们大概是根据刀的形状设计了那个箭头。流体力学课的基础内容一般都是从连续介质假设说其，然后是力的分类（引入应力张量），再讨论流体的运动学（即运动的几何问题），然后根据三大定律得到连续方程（质量守恒）、动量方程（动量守恒）和能量方程（能量守恒），这三个方程就是动力学问题的核心。在引入热力学关系后，整个微分方程封闭，理论上就成为可求解的一个数学模型。到了这一步似乎大功告成，但是且慢，事实上这仅仅是个开头。流体力学方程是一个非线性方程，除
8、了少数大大简化的特例外，绝大多数情况事实上是无法得到解析解的。于是，流体力学的惯用绝招就出来了，这就是模化方法通过简化获得新的物理模型，再根据物理模型建立新的数学模型。比如，理想流体就是无粘流体，这是对真实流体的一种简化，在粘性不是主要作用因素的时候，这个简化是有效的。在普朗特提出边界层理论之前，流体力学中存在着两个分支，一个是水动力学，一个是水力学。前者以理论分析为主，后者以工程经验和应用为主。以理论为主的水动力学其实就是以理想流体为主要研究内容的一个分支。理想流体中旋涡的动力学理论是研究旋涡问题的基础，或者说是一个参照。理想流体动量方程积分后得到的伯努力方程可以用来解释联系速度和压强之间的
9、关系，解释低速翼型的升力原理，管道流动中压强的变化等等，因此有广泛的工程应用。理想流中的位势流理论是理想流在数学处理上的一个独具特色的部分，与边界层修正相结合，至今在翼型设计、飞机气动性能估算等方面仍然是应用最广泛的方法之一。另外，水波动力学也是理想流体的主要内容。在不考虑激波边界层干扰的问题中，气体动力学也经常用欧拉方程（理想流控制方程）来进行研究。当然，真实流体都是有粘性的，普朗特之所以被称为“现代流体力学之父”，关键就在于他老人家发现并提出了边界层概念。其实类似于边界层的概念Stokes在以前也曾经提出过，我记得Stokes热衷于对以太的研究，他认为地球在以太的海洋中运动，靠近地球表面的
10、以太将随着地球表面一起运动。哇，这不是我们今天耳熟能详的无滑移条件吗？然而真正系统提出边界层概念，并应用这种概念解决实际问题的还是普朗特。就好比当年浮力定律的提出一样：阿基米德发现了浮力定律，不仅是定性地发现，而且可以定量地计算，并且最终写成浮力的原理一书，由此标识着流体力学的诞生，浮力定律的发现权无疑也归功于阿基米德。但是在阿基米德之前，至少墨子在墨经中就曾经说过，船的载重量与船的大小和船吃水的深度有关。一般的教科书中对于粘性的介绍大致分三个步骤，第一步是在绪论中介绍牛顿内摩擦定律，引入粘度概念分动力粘度和运动粘度，并且介绍粘度随温度的变化规律。由于气体和液体粘度随温度变化规律不同，这个地方
11、常常是考试的一个传统内容。作为粘度概念的一个自然延伸，通常还会介绍非牛顿流体的粘度。第二步是介绍边界层理论，除了边界层的表观参数（位移厚度等）外，还介绍边界层由层流向湍流的转捩以及分离现象，转捩与分离之间的关系等等，最后从 NS方程出发，通过量级分析得到边界层方程。在介绍完边界层理论后，很自然地就会提到转捩的原因，进而进入对流动稳定性的讨论。层流转捩成为湍流，自然又要提到湍流的基本概念和处理方法。由于湍流的复杂性，作为基础的教科书的介绍通常以时均法得到雷诺平均的NS方程（RANS）即告结束。再下去将计算管道内湍流的速度分布，并与层流管流的解相对比，显示二者在宏观特性上的区别。说说教科书吧。流体
12、力学的教科书公认的经典著作是Batchelor（巴切勒）的流体动力学导论Introduction to Fluid Dynamics。这本书现在有影印版，据说也有中文翻译，大家可以根据需要找来看看。之所以经典，不仅因为体系完备，而且数学推导干净利落，思路清晰，多看几遍才能发现其好处。不过对于初学者，这本书难度略高，我感觉还是更适合于专业人士阅读，也就是适合于对流体力学已经比较熟悉的人阅读。作为初学者，我认为最好能首先建立正确的流体概念，就象普朗特提倡的那样，先反复观察流体的行为，对流体运动有直观的观察和感受之后，再去寻找它背后的机理和数学处理方法才是最有效的方法。在这方面普朗特写的流体动力学概
13、论一书是很有效的，那本书没有使用很多数学工具，但是物理概念清晰明了，很有普朗特的思想特色，开卷有益，看看定有收获。这本书很早以前就由郭永怀、陆士嘉翻译成中文，各个图书馆中都能看到。还有一本堪称经典的书是朗道的流体力学，汤普森的理论流体力学也被很多老师推荐为经典，这里也推荐一下。国内出版的流体力学书中我曾经在论坛中推荐过吴望一老师的流体力学（上下册），这里推荐大家看看中科大庄礼贤、尹协远、马晖扬三位老师写的流体力学。中科大这本书篇幅虽然不长，但是内容完备，叙述上深入浅出，非常适合做教科书和自学之用。另外，章梓雄、董曾南两位老师写的粘性流体力学和非粘性流体力学虽然篇幅略长，但内容严整，也是很好的参
14、考书。忘了一本书，Van Dyke曾经整理过一本流体运动图集Album of Fluid Motion，里面汇集了很多流体流动的图片，对于培养流体的观察能力，流体教学等都很有帮助。这本书（确切说叫图集）书店里看不到，但是网上能找到。我们网站很早以前曾经发布过的圆球绕流的图片（层流、加拌线强制转捩为湍流）就是那本图集中收录的图片。另外，网上有很多圆柱绕流随雷诺数变化的图片也是从这本图集中摘录的。插入这本书的封面，目的是提示大家这个博客有更新了，呵呵。三、流体力学延伸和工程应用刚发现武际可、黄克服两位老先生的一篇文章力学教材的简单历史，后面附录中有对流体力学教材的推荐书目，大家可以参考一下。因为这
15、篇文章从网上可以下载，所以我未经允许就先转到这里了，有版权问题的话我们再删掉。前面有网友让我推荐热力学方面的教材，我就不揣浅陋推荐一下。经典的热力学教材推荐王竹溪先生写的热力学，另外去年在书店买到一本华中师范大学邹邦银老师写的热力学与分子物理学，感觉写的也不错，这里也推荐大家参考一下。邹老师这本书除了讲解经典的热力学外，对气体、液体、固体的微观机制有很多通俗的描述，无论对于学生学习，还是老师做教学参考应该都有很大帮助。我接触热力学问题比较多的时候其实是在北航读博士那段时间，此前也就是上过工程热力学那门课而已。在博士阶段由于要学习高超声速理论，所以必然接触到很多热力学问题。当时李椿萱老师开的书单
16、上包括Vincenti（维赛特）和Kruger,Jr（小克鲁格）的物理气体动力学引论这本书。虽然当时本人水平超低读的半懂不懂的，但还是感觉这本书大大拓展我对热力学的认识。博士毕业后我也断断续续读过这本书，但一直是从图书馆借阅，阅读过程总是被打断，感觉总是学的不是很完整的样子。去年终于在网上淘到一本旧书，如获至宝。类似的书还有武、黄两位先生在前面那篇文章中推荐的Bird写的Transport Phenomena一书，我记得还有一本很早以前（大约40年代出版）的Molecular Gas Dynamics，忘了作者名字，内容也是从分子动力学（现在叫动理学）角度研究气体动力学问题，但是给我印象最深的
17、还是前面提到的那本物理气体动力学引论。这本书从刚球模型开始，逐步增加问题的复杂度，最终完整讲述了分子动力学的基本理论，涵盖了平衡理论、非平衡理论、化学反应理论等内容，确实是做高超声速化学反应流问题必看的一本理论基础书。其实流体力学除了前面两个博客中提到的经典研究方法，即以连续介质理论为基础的方法外，还有一个思路是所谓“物理流体力学”，即基于还原论思想的流体力学方法。这类方法从研究微观现象入手，寻找宏观流体力学的机理解释，把流体力学纳入物理学的范畴来研究，还是能大大拓展视野，帮助你站到更高的高度上去观察思考流体力学中的问题。钱学森先生在物理力学讲义中也采用了这个思路，不过涵盖的面更广。我记得还有
18、一本书就叫物理流体力学，可惜也记不得作者和出版社了，只记得是国外作者写的，国内似乎有翻译，感兴趣的可以到图书馆去淘一淘。过去在我们论坛中曾经有一些网友争论力学到底算不算是物理的一部分，我觉得这个问题似乎不是一个问题。只要稍微拓展一下眼界，把目光从流体力学这间房子中投射到窗户外面，你就会发现流体力学（甚至力学）实际上就是物理这个社区中的一栋楼房。尽管这座房子有相对独立的体系，但是本质上还是物理问题。另外我还觉得其实把学科划分的那么严格，一定要分个明确的界线出来其实是不大可能的。因为学科划分本来就是人为的，而客观规律是实在的，把人为因素加入客观过程，甚至去扰动客观过程本身就是有问题的。科学的发展过
19、程本身也证明自然本身是鲜活的，丰富多彩的，人为划定学科在一定的历史时期是有道理的，但是科学发展后，这种划分也应该随之发生变化。比如上面提到的还原论，其基本思想就是从微观追寻宏观科学的规律。这种方法在很大程度上获得了成功，比如我们说的从分子运动论角度看待宏观流体力学问题，但是在面对复杂性问题时则显得无能为力。物理上把随尺度变化后出现新现象的这类问题称作层展现象（emergence phenomena），也就是说宏观自有宏观的问题，并不是所有宏观问题都能从基本粒子的运动中分析出其原理的。我想形象点说，层展现象应该类似于每上一层楼看到的风景都有所不同的意思吧。还有一些网友让我推荐一些可压缩流的书。这
20、方面的书在武、黄两位先生的文章末尾已经有所推荐，我觉得其中Liepmann和Roshko的那本Elements of Gasdynamics（气体动力学原理）应该是最经典的。这本书不仅武、黄两位先生推荐，国内外众多老师提到气体动理学时也必提这本书，因此就推荐这本书吧。另外我记得童秉纲先生写过一本气动热力学也很好。国外的书我还看过Anderson的Hypersonics and High Temperature Gasdynamics也不错。我在论坛里陆陆续续推荐过Anderson写的好几本书，其它还包括Anderson写的Fundamentals of Aerodynamics（空气动力学基本
21、原理）。Anderson写的书有一个特点就是比较通俗易懂，虽说是英文书，但并没有多少难以理解的表述。看了武际可、黄克服老师的那篇文章才知道，原来这是教材写作上通俗化的一个潮流，原来还以为只有我这种水平偏低的家伙才喜欢Anderson呢，哈哈！流体力学方面的书除了前两个博客中提到的那几本外，在书店里现在还能看到普朗特流体力学基础这本书，是朱自强、钱翼稷等几位老师翻译的。书比较厚，大致翻了翻没有细看，感觉比较适合在学习完流体力学后作为继续学习的一本书来看。特别是那些即将成为流体工程师的网友应该看看这本书，里面讲了流体力学在各个工程领域内的应用，可以让你把学校学习到的流体力学基础知识与工程问题很好地
22、衔接起来。继续深造准备做研究生的也应该看这本书，因为里面也提供了与流动稳定性、奇点划分相关的内容。还有一本书是White写的Viscous Fluid Flow（粘性流体流动），这本书是MIT现在使用的流体力学教材，网上也有很好的口碑，应该也是不错（我自己还没看过）的，将来一定要翻出来好好看一看。湍流方面的书武、黄两位老师集中推荐了三本书，都是非常有名的经典著作。除此之外，国内的教科书中，清华张兆顺、崔桂香两位老师写的湍流理论与模拟也很好，我觉得看过这本书后就能跟搞湍流的同行们正常交流了。因此作为一个合理延续，也推荐大家看这本书。既然已经说到湍流，自然要提到旋涡和流动稳定性问题。流体力学中波和
23、涡是两大流动现象，牛人有云“旋涡是流体运动的肌腱”，可见学会旋涡是多码的重要。旋涡方面公认写的最好的书是吴介之、马晖扬老师写的旋涡动力学一书，这本书后来又出过一个英文版，应该是中文版的升级版，研究旋涡的网友肯定要看这本书。流动稳定性方面我看到的书中以Drazin的Hydrodynamic Stability最受人推崇，应该也是最经典的。先写这么多，再发现什么好书再向大家推荐。本人水平有限，还是希望学养深厚的老师们能现身说法，给我们介绍一下流体力学这个学科的架构，推荐更好的书上来。流体力学的发展基本上是与科学的整体发展相适应的。其爆发期就在20世纪初和20世纪中叶这两个时期20世纪初期的时候，人
24、类发明了飞机、电话、电灯，稍晚建立了相对论、量子力学等重大理论。在此期间，风洞开始成为主流试验设备，普朗特提出边界层理论，建立现代流体力学体系；20世纪中叶，人类发明了计算机、汽车普及、人类登月、发现牛胰岛素双螺旋结构。与此同时，湍流模式理论建立、计算流体力学出现、可压缩流理论大发展（面积律、超临界翼型、跨音速理论、高超声速理论貌似都是这个时期出现的）。另外湍流拟序结构是70年代发现的，距离60年代似乎也更近一些。普里高津的耗散结构理论，分形、混沌理论等我记得也是60、70年代提出的，只不过现在熟悉的人更多了而已。因此经典著作大部分都是那个时候出现的也就不奇怪了。四、全文总结前面陆陆续续写了三
25、篇流体力学的路线图，主要是推荐一些我认为值得一看的书。在写这些东西时我心里默认的对象是刚刚开始学习流体力学的网友，希望给他们指点一下入门时需要了解的路线。流体力学专业的硕士、博士同学们应该以自己导师的指点为主要风向标，因为与我泛泛的指点相比，导师给您的指点必然更有针对性，也更适合你的工作需要。除此以外，流体力学本身内容非常丰富，可以归属于这面大旗下的分支学科也非常之多，比如我们马上能想到的计算流体力学、实验流体力学、空气动力学、水动力学、流体机械、多相流理论、生物流体力学等等，在这些分支学科下面还有更小的分支，而我这篇路线图仅仅限于流体力学基础知识部分，远未深入到各个分支中去，这点也请各位网友
26、注意。我在论坛中还曾经向大家推荐过2本计算流体力学方面的书，一本是Anderson的计算流体力学入门，另一本是Versteeg和Malalasekera的An Introduction to Computational Fluid Dynamics - The Finite Volume Method（CFD导论有限体积法）。这两本书也仅仅是CFD中的一些基础理论。之所以我认为这两本书写的不错，是因为这两本书恰好适应了我学习的需要。Anderson那本书主要讲的是有限差分法，其基本理论方面的内容跟当年朱自强老师给我们上计算流体力学课时的内容差不多，因此我觉得有一种似曾相识的熟悉感，另外其中以气
27、体动力学为主与我做博士论文时涉及的内容非常吻合（Anderson本人就是做高超声速计算的）。有这么多共鸣点，我当然觉得这本书非常“经典”，因此隆重向大家推荐过很多次。Versteeg和Malalasekera那本书主要讲解有限体积法，而且详细阐述了SIMPLE系列算法，可以算做给FLUENT软件加的一个理论注释。后来在学习使用FLUENT软件时，自然需要学习了解这方面的内容，因此也向学习FLUENT软件的网友们推荐过这本书。对了，我还向学习高分辨率格式的网友推荐过傅德薰、马延文两位老师写的计算流体力学，因为那本书里面比较系统地阐述了高分辨率格式方面的理论。记得当年我在学习TVD格式时费了很多周
28、折，大多数理论都是从一篇篇文献上零散地学来的，经过很长时间的消化才形成一个相对完整的印象，效率非常低下。推荐这本书的原因就是觉得看看这本书，学习掌握高分辨率格式的效率可以大大提高。但是实际上CFD方面的图书非常丰富，尤其是英文的CFD著作非常丰富，优秀作品也非常多，我推荐的这些仅仅是入门所需要的。深入学习还要靠各位网友自己去做分拣工作。借用Anderson的一句话，我做的那些推荐，is truely for beginners。可以做入门时的参考，但是深入研究、学习时还是要自己多看多思考，当然思考之后别忘了上流体中文网与我们分享一下你的成果。另外还想提醒大家注意的一个问题就是什么书算“好书”的
29、问题。我给别人的建议是多读“名著”，因为那些“名著”都不是浪得虚名，而是有很多人看过、读过，深受其益，然后再推荐给别人的书，很多“名著”都经历了时间的考验，至今为业内津津乐道，所以读这样的书最有保障，效率最高。而且“名著”往往出自大家手笔，对问题理解的深度、广度和切入角度都有所不同，叙述上也会尽量简洁明白，尽量通俗易懂。“开卷有益”这句话说的应该是看这些书对人有助益的意思。不过每个人的基础、工作需要都不同，所谓“好书”的标准也会有所变化。判断一本书是不是好书的一个简单标准，是看你自己是否看得懂、是否感到读过有收获。比如Batchelor的那本书是公认的名著，即全面又有深度，但是初学者在学习的时候看这本书未必看得懂，因此也就未必是最合适的，反而是学习多年的人反过头来看才能发现其中的妙处。但是也千万别为了图省事去看一些杂书，杂书表现形式上可能更“简单”，更能满足你期中、期末考试的需要，但它之所以“杂”，就因为那些书的作者自己都未必明白他自己写的内容，所以很容易造成误导，甚至增加新的不必要的困惑。这个度还是要自己把握，在看一些不是那么有名的书时，万一遇到看不懂的地方，最好能切换到其它书，看看别的书是怎么叙述同样内容的，很可能会发现在杂书中很难理解的一些表述，其实是很简单的一件事。这个“
