1、（20分）已知抛物线上的两个动点，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值.11.（20分）证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得.解答1.提示：易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为.2. 提示：令，则原函数化为，即.由，及知即.（1）当时（1）总成立；对；对.从而可知.3.9800提示：由对称性知，只要先考虑轴上方的情况，设与双曲线右半支于,交直线于，则线段内部的整点的个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为.又轴上有98个整点，所以所求整点的个数为.4.提示：设的公差为的公比为，则（1），（2）（1）代入（2）得，求得.从而有对一切正整数都成立
2、，即对一切正整数都成立.从而，求得，.5.提示：令则原函数化为,在上是递增的.当时，,，所以；当时，所以.综上在上的最小值为.6.提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率为.7.提示：解法一：如图，以所在直线为轴，线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则，从而，.设分别与平面、平面垂直的向量是、，则由此可设，所以，即.所以.解法二：如图，.设与交于点则.从而平面.过在平面上作,垂足为.连结,则为二面角的平面角.设,则易求得.在直角中，,即.又.8.336675提示：首先易知的正整数解的个数为.把满足的正整数解分为三类：（1）均相等的正
3、整数解的个数显然为1；（2）中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；（3）设两两均不相等的正整数解为.易知，所以，即.从而满足的正整数解的个数为.9.解法一：由得.所以，所以.又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为.解法二：.设，则当时，. 设，则.容易知道当时，.从而当时，即，从而,，由知.又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为.10.解法一：设线段的中点为，则，.线段的垂直平分线的方程是.（1）易知是（1）的一个解，所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为.由（1）知直线的方程为，即.（2）代入得，即.（3）依题意，是方程（3）的两个实根，且，所以,.定点到
4、线段的距离.当且仅当，即,或时等号成立.所以，面积的最大值为.解法二：同解法一，线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为.设，则的绝对值,所以,当且仅当且，即,或时等号成立.所以，面积的最大值是.11.令，则，所以是严格递增的.又，故有唯一实数根.所以，.故数列是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列和满足，去掉上面等式两边相同的项，有，这里，所有的与都是不同的.不妨设，则，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.加试1.（40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M求证：若OKM
5、N，则A，B，D，C四点共圆2.（40分）设k是给定的正整数，记，证明：存在正整数m，使得为一个整数这里，表示不小于实数x的最小整数，例如：，3.（50分）给定整数，设正实数满足，记求证：4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解答1.用反证法若A，B，D，C不四点共圆，设三角形ABC的外接圆与AD交于点E，连接BE并延长交直线AN于点Q，连接CE并延长交直线AM于点P，连接PQ因为P的幂（关于O）K的幂（关于O），同理
6、，所以，故由题设，OKMN，所以PQMN，于是由梅内劳斯（Menelaus）定理，得，由，可得，所以，故DMNDCB，于是，所以BCMN，故OKBC，即K为BC的中点，矛盾！从而四点共圆.注1：“P的幂（关于O）K的幂（关于O）”的证明：延长PK至点F，使得，则P，E，F，A四点共圆，故，从而E，C，F，K四点共圆，于是，-，得P的幂（关于O）K的幂（关于O）注2：若点E在线段AD的延长线上，完全类似2.记表示正整数n所含的2的幂次则当时，为整数下面我们对用数学归纳法当时，k为奇数，为偶数，此时为整数假设命题对成立对于，设k的二进制表示具有形式，这里，或者1，于是，这里.显然中所含的2的幂次为
7、故由归纳假设知，经过f的v次迭代得到整数，由知，是一个整数，这就完成了归纳证明3.由知，对，有注意到当时，有，于是对，有，故4.对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a，如果颜色不同，则标上b，如果数字和颜色都相同，则标上c于是对于给定的点上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点上的设置为了使得最终回到时的设置与初始时相同，标有a和b的边都是偶数条所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a，b，c，使得标有a和b的边都是偶数条的方法数的4倍设标有a的边有条，标有b的边有条，选取条边标记a的有种方法，在余下的边中取出条边标记b的有种方法，其余的边标记c由乘法原理，此时共有种标记方法对i，j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为这里我们约定当n为奇数时，此时代入式中，得当n为偶数时，若，则式仍然成立；若，则正n边形的所有边都标记a，此时只有一种标记方法于是，当n为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n为奇数时有种；当n为偶数时有种
