1、Financial investment returns and risks of the mathematical model and its applicationAbstractApplication of mathematical statistics, operational research and computer simulation to establish the profits and risks of financial investment optimization model, and the use of Maple software model is obtai
2、ned under different conditions of the optimal solution. For any amount of investment the model can attain the maximum expected income assets collocation scheme. The results show that, under the condition of market economy, want to obtain higher expected returns, funds must be invested to infants wit
3、h different benefits, different risk of financial assets and not without risk of bank deposits. This will provide investors investment options to provide certain theoretical basis and practical investment decision scheme.Key words: Financial；investment；Profit；Risk；Model目 录摘 要IAbstractII第一章 引 言11.1 金
4、融投资的概述11.2 金融投资应用数学模型的背景5第二章 金融投资收益与风险的数学模型92.1 金融投资风险与收益模型92.2 不相关金融投资组合优化模型12第三章 金融投资收益与风险的数学模型实证分析163.1 实证2.1模型163.2 实证2.2模型20第四章结论23参考文献24致谢25第一章 引 言1.1 金融投资的概述在资本主义发展初期，资本所有者与资本运用者是结合在一起的，经济主体一般都直接拥有生产资料和资本，亲自从事生产消费，投资大多采取直接投资的方式，也就是直接投入资本，建造厂房，购置设备，购入原材料，从事生产、流通活动，因此，早期的投资概念主要是指实物投资。随着资本主义生产力和
5、商品经济的发展，占有资本和运用资本的分离，日益成为资本运用的一种重要形式。这是因为，随着商品经济的发展，资本主义投资规模不断扩大，单个资本家的资本实力越来越难以满足日益扩大的投资规模对庞大资本的需求，迫切需要超出自身资本范围从社会筹集投资资金，于是，银行信用制度得到了迅速的发展，股份制经济也应运而生，银行信贷、发行股票、债券日益成为投资资金的重要来源。因此，金融投资也成为现代投资概念的重要组成部分。而且，由于现代金融市场的日益发展和不断完善，金融投资的重要性日益凸现，因此，现代投资概念更主要地是指金融投资。在西方学术界的投资学著作中，投资实际上指的就是金融投资，特别是证券投资。而国内国际上主要
6、的金融投资产品有：基金，股票，债券，黄金，外汇，期货，权证，理财产品。金融投资与实体投资的区别有以下几方面：1、投资主体不同。实物投资主体是直接投资者，也是资金需求者，他们通过运用资金直接从事生产经营活动，如投资办厂、购置设备或从事商业经营活动。金融投资主体是间接投资者，也是资金供应者，他们通过向信用机构存款，进而由信用机构发放贷款，或通过参与基金投资和购买有价证券等向金融市场提供资金；2、投资客体或者说对象不同。实物投资的对象是各种实物资产，即资金运用于购置机器设备、厂房、原材料等固定资产或流动资产；金融投资的对象则是各种金融资产，如存款或购买有价证券等；3、投资目的不同。实物投资主体进行实
7、物资产投资，目的是从事生产经营活动，获取生产经营利润，着眼于资产存量的增加和社会财富的增长，直接形成社会物质生产力，从投入和产出的关系看，实物投资是一种直接投资，可称为“实业性投资”；金融投资主体进行金融资产投资，目的在于金融资产的增值收益，如存款目的在于获取存款利息，贷款目的在于取得贷款利息，购买有价证券（如股票、债券等）在于获取股息、债息收入等，它们并不直接增加社会资产存量和物质财富，从投入和产出的关系看，金融投资是一种间接投资，可称为“资本性投资”。金融投资与实物投资的联系有：1、投资媒介物或者说投资手段相同。实物投资与金融投资都是对货币资金的运用，即以货币作为投资手段或媒介物，只是对象
8、物及目的不同。因此，金融投资总量和实物投资总量同属于全社会货币流通总量的范围，二者均为社会货币流通总量的重要组成部分。2、金融投资为实物投资提供了资金来源，实物投资是金融投资的归宿。一方面，尽管金融投资并不直接增加社会资产存量，但通过金融投资活动，为实物投资筹集到了生产经营资金，从而间接地参与了社会资产存量的积累。在现代市场经济条件下，假如没有金融投资的存在和发展，实物投资的资金来源将大大受到限制，许多耗资巨大的建设项目都难以迅速兴办甚至根本无法兴办，为此，金融投资成为促进资本积累、集中和扩大生产能力的重要手段。另一方面，金融投资是把社会闲置的货币资金转化为生产资金，而最终归宿也是进行实物投资
9、，只不过它是通过一个间接的过程实现的。此外，金融投资的收益也来源于实物投资在再生产过程中创造的物质财富。金融投资按融资方式分为：1、直接融资，是资金供给者与资金需求者直接见面，根据协议的条件直接融通资金。直接融资是以债券、股票为主要工具的一种金融运行机制，其特点是经济单位直接从社会上吸收、筹措资金。2、间接融资，是资金的供给者和需求者不直接见面，而是通过金融机构为媒介体进行的间接资金融通。如银行存款，就是资金供给者把资金存入银行，由银行把资金集中起来贷放给资金需求者，银行充当资金供求的中介，这是现代信用制度下典型的间接融资方式。金融投资按时间长短分类：1、长期投资：是投资期限在一年以上的投资活
10、动。如一年以上的定期存款等，其偿还期较长；又如股票投资，是一种永久性、无期限的投资，没有偿还期。2、短期投资：是投资期在一年以下的投资活动，其偿还期较短。如活期存款，其资金可以随时抽回；又如短期国库券，时间一般为3、6、9个月。投资时间的长短与金融资产的性质、收益、风险、流动性等都有着紧密的关系。金融投资按收入性质分类：1、固定收入投资：是投资者购买的某种金融资产应得收入，事前即规定一个确定的收益率，定期支付或到期支付，并在金融投资的整个期限内固定不变，如银行存款、债券、优先股投资等。这种投资一般风险性较小。2、非固定收入投资：是投资者购买的某种金融资产应得收入，事前并不确定固定的收益率，也不
11、一定会按期支付，而是因时而异，如普通股投资。这种投资一般风险较大，但获利机会也较大，收益也较高。现代市场经济发育和成熟的一个重要标志，便是金融领域中的制度创新，各种各样的金融工具和以金融工具为交易对象的金融市场。为了使上述交易更加顺利，还出现了各种类型的盈利性金融机构，比如商业银行、保险公司、信托投资公司和共同基金等等。金融机构的作用是在投资向资本形成的过渡中充当媒介。金融机构和间接融资的出现，虽然并不直接增加社会有形资产，但却是引导与合理配置有形资产、增加社会生产力的重要杠杆，是保证市场机制有效运作不可缺少的润滑剂1。 金融机构的安全、有效运作不仅关系到宏观经济的稳定与资源的合理配置，而且关
12、系到自身的生存与发展。相对于非金融机构而言，金融机构的特点是具有较大的负债比重和较大的金融资产投资比重。由于金融机构负债方式的选择受到政府金融法规的限制，负债数量的多少也决定于公众行为;它所能直接决定的只是资产结构的安排。于是，对资产结构进行优化选择和适时调整，是金融机构资产管理中的首要决策，因而是一个金融机构得以安全运营、不断发展的关键。特别是一些大型金融机构，由于具有较大的资产规模和多样化的资产组合，并可以在国际金融市场进行资产选择，进行资产组合优化既有必要，又有可能。目前，国外大多数金融机构都采用系统的数量模型进行资产组合的优化，国内这方面的应用尚未开始。本文以盈利性金融机构为主体，讨论
13、资产组合优化的数学模型及数值实现，为系统的资产组合优化提供决策支持。 随着我国社会卞义市场经济的不断成熟，金融投资领域有了很大发展2。金融资产、期货等投资市场的建立，为参与者提供了套期保值，获取高额利润等投资场所，金融资产投资己深到人们的社会经营活动中，尤其是商业银行，投资机构，基金会等必参与国内外的有价金融资产投资经营业务。金融资产是一种高收益伴有高风险的投资，金融资产风险是指投资者不能获得预期收益的可能性，风险的来源可分为系统性风险和非系统性风险两类。系统性风险是指对市场上所有金融资产都会带来损失的风险，这是无法消除的。如利率风险，购买力风险等。非系统性风险是指由个别原因仅对某个行业或金融
14、资产造成损失的可能性。如经营风险、则务风险等。它可以通过适当组合投资而得以减少分散。金融资产组合投资策略就是如何选择金融资产，合理分配资金达到以较小的风险取得较大的预期收益。金融资产投资是一种高收益伴有高风险的投资。金融资产投资风险是指投资者不能获得预期收益的可能性，它可以通过适当组合投资而得以减少。金融资产组合投资策略优化就是优选金融资产、合理分配资金达到以较小的风险获得较大的预期收益3。本文建立了投资策略的优势原则，给出了相对一定收益率下的最优金融资产组合和金融资产组合的风险下界，在此基础上提出了选择最优金融资产组合的数学模型，通过数学模型来研究并且获得最优投资组合的目的。1.2 金融投资
15、应用数学模型的背景金融投资数学模型的最初出现可以追溯到1900年LouisBachelier的投机理论，这一理论的出现标志着连续时间的随机过程和连续时间的期权定价理论的诞生。然而，在其后的半个世纪中，尽管Macaulay于1938年建立了对债券交易市场上的发行者和投机商非常有用的债券价格对利率的敏感性分析模型等，但这些模型在实际中并没有得到很好的重视，五十年代末和六十年代初，投资分析和资本市场的金融数学建模有了大的突破，开始了现代金融理论研究的新纪元。Markowitz于1959年提出的期望方差模型是这一时期最有代表性及影响力的工作。因而理论界称之为二十世纪发生在华尔街的第一次金融革命，这一模
16、型的提出吸引了一大批的数学家和经济学家开展这一领域的研究，从而使得这一模型得到了不断的完善，伴随地出现了一些新的证券组合选择模型。金融理论的另一次革命性的成果是Black和Scholes于1973年提出了基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格必须满足一组微分方程。之后，金融衍生工具的定价理论不断出现新的成果，并在九十年代形成了一门崭新的金融学科金融工程。现代市场发育和成熟的一个重要标志是金融的功能健个并得以充分发挥。金融领域中的制度创新和完善，各种各样的金融工具和金融市场的出现，是为了拓展交易并使之更加顺利进行。金融机构有效安个的运行，不仅关系到宏观经济的稳定与资源的合理配置，而且关系到自身生
17、存与发展。相对于非金融机构而言，金融机构的特点是有较大的负债比重和较大的投资比重。金融机构的负债力一式选择受政府金融法规的约束，负债的多少还取决于公众行为。对资产结构的优化选择和适时调整，则成为金融机构资产营运和管理中提高其价值的首要决策，是金融机构得以安个营运、不断发展的关键。特别对于大型金融机构来说，由于具有较大的资产规模和多样化的资产组合，十分需要提供一种决策工具。因而建立并应用资产组合优化模型，更具有重要意义。日前，国外大多数金融机构都采用系统的数量模型，用于进行资产的组合优化。国内这力一面的应用刚刚起步。木文将着重研究金融资产组合模型及其优化4。市场机制下，金融资产具有双重性:收益性
18、与风险性。在现代资学中，一般以收益率度量资产的收益水平，而将风险定义为收益的不确定性，即实际收益率的波动。在市场经济中，投资收益率是随机变量，可用其数学期望衡量投资赢利，用其方差或标准差衡量风险。投资者在投资决策时常常认为收益是好事越多越好，而风险则被看作是坏事，越小越好5。实际上，收益与风险是分不开的，未来收益注定要波动，而波动的存在，说明投资者存在着一定的风险。对于投资者而言，最重要的事情在于确定为获得预期收益愿意承担多大的风险。一般地，资产的价格可以归结为以下3个因素共同影响结果:该资产的预期收益水平;该资产的风险量;投资者为承担风险要获得的补偿水平。研究表明，既要获得最大收益又要承担最
19、小风险的投资方案不存在。所以有经验并且有足够财力的投资者，通常把资金同时投向几种不同收益、不同风险的金融资产上，这种投资方式就是所谓的资产搭配投资，资产搭配亦即资产多样化。现代投资学理论认为，如果将数种收益变化方向不同的金融资产构成一个资产搭配，则该搭配中各种资产的风险里有一部分将相互抵消，从而使得整体风险小于单独持有该搭配中任何一种单项资产的风险总量。换言之，资产多样化可以减少投资者承担的风险量，此即为资产多样化效应。利用概率论、运筹学等理论和方法及计算机数学实验技术建立金融投资收益与风险的数学模型，可为投资者选择投资方案提供一定的理论依据和可行的投资决策方案。在证券组合理论研究和管理实践中
20、，投资者确定最优证券组合时首先需要找出有效证券组合，然后结合个人对于收益和风险的偏好选择效用最大的7。关于证券组合有效性及确定方法的研究十分重要。已有的研究成果是在证券个数固定时，得到了允许卖空条件（投资比例无非负约束）下有效证券组合的解析表不，但是不允许卖空条件（投资比例有非负约束）下有效证券组合的解析表不难以得到。由于证券市场各种不确定因素的变化，使得可选择投资的证券及个数经常发生变化，这就使投资管理者需要不断调整投资组合。研究了不存在无风险证券并且允许卖空风险证券时M-V有效边界的漂移问题，研究了存在借贷利率相同的无风险证券并且允许卖空风险证券时M-V有效边界的漂移问题，他们指出了当证券
21、个数增加时，有效边界的漂移方向，但是没有指出投资比例如何随着变化。我们知适在多数证券市场，是不允许卖空行为的，并且无风险资产能够贷出或者借入的利率往往是不同的，另外文的研究指出不同行业、不同种类的证券，其相关性一般很小，在进行证券组合投资时，如果选择这样的证券并把它们当作不相关的证券处理，既能保证降低风险又不影响实际收益，并且可以大大减少计算的难度和上作量，特别是对上海证券巾场进行的实证分析也说明了这样的分析和处理是非常有意义的。本文卞要研究不允许卖空限制下，存在借贷利率不相同的无风险资产时不相关证券组合有效集及投资比例的解析表不及变动问题。首先建立了一个新的直接确定有效证券组合的模型，给出了
22、不相关证券组合有效集及投资比例的完全解析表，改进了的结果。然后研究了当证券个数变化时有效集及投资比例如何随着变化，给出了变化结果。证券市场是现代市场经济的重要环节，它是个高收益、高风险的市场，有效的分散风险，获取稳定收益是每个投资者的首要任务8。应用模型构造，组合投资理论主要包括马柯维茨（HarryMarkowitz）的均值力差模型，威廉夏普（williamSharps）等人提出的资本资产定价模型CAPM）和司带文罗斯（StephenROSS）的套利定价理论（APT）利用上述理论模型构造最优投资组合，可以有效分散组合内各单项资产的非系统性风险，但是无法规避市场的系统性风险。这正是影响这此模型实
23、际使用效果的重要原因。我国证券市场的走势和美国NASDAQ两年来巨大的震荡，说明证券市场系统风险巨人，规避系统风险是保障资金安个的重要任务。正而我们提出既可以分散非系统风险，又可以规避系统风险的组合投资模型。投资者可以通过增加投资组合中的股票数来降低组合的非系统性风险，但不能降低系统性风险，组合风险在组合规模达到一定程度时将趋于稳定。 简单的投资组合并不能很好地提高组合的收益水平，投资组合规模存在一定的有效区域，当组合规模超过该区域时将导致组合的过度分散化。组合的过度分散化会产生各种交易费用及相关的管理成本，这样势必会降低整个投资组合的投资收益。金融理论的中心问题是研究在不确定的环境下对资源进
24、行分配和利用, 时间和不确定性是影响金融行为的主要因素。它们相互作用与影响, 其复杂性需要一定的数学分析工具来研究。 在西方, 尽管金融数学模型出现得比较早, 但很长时间却没有得到有效的应用。直到 Markowitz 证券组合模型和 Black- Scholes 期权定价模型的突破, 才使得数学模型大规模地应用于金融市场的投资分析中。布雷顿森林体系下固定汇率制的崩溃和世界石油的危机等一系列因素, 更使得单纯地对历史数据应用经验分析和简单回归技术不能适应投资决策和风险管理的需要。进入九十年代,金融工具的不断创新, 使得金融数学模型不仅是金融机构进行风险管理必不可少的工具, 而且在一些非金融公司的
25、应用也日益普遍。我国的金融市场起步较晚, 金融工具少, 金融模型的应用相对于西方而言要少一些。但是随着我国金融市场的不断发展, 新的金融工具的不断出现, 金融数学模型必然会得到广泛的重视和应用。因此本论文引言中从金融投资跟金融投资数学建模的背景上来展开叙述，从而使得抽象化的建模具体到语言、背景跟意义上来。为下面的复杂而抽象的建模的建立跟实例证明来铺叙。第二章 金融投资收益与风险的数学模型数学模型在科学和技术中的应用的巨大成功，使得社会、经济领域的专家学者们也都尝试用模型化的方法来解释和预测社会、经济领域中遇到的问题。在现代金融市场中，对所研究的对象进行量化，简称是经济中的的数学模型，进而应用现
26、代数学理论知识研究金融资产及其衍生资产定价、复杂投资技术与公司的金融政策，已经成为现代金融分析的主要发展趋势。数学模型应用于金融市场的重大突破是证券组合投资模型和资本资产定价模型的出现。其中比较重要的模型为：证券投资组合模型，证券投资组合理论是研究怎样在未来不确定的竞争中如何选择分配资源的理论。现代投资组合理论是由美国经济学家马柯威茨提出的。投资组合理论认为投资组合是一个各种资产的集合，组合中的每项资产都有其相联系的平均收益和受益方差。而数学模型应用于金融投资经济模型是利用数学的方法描述经济现象演变的过程，或者说是经济现象和经济过程中客观存在的各种变量之间的相互依存关系的数学描述。其作用是用于
27、分析、研究人们的经济行为，制定合理的经济行为。它是以合理的假设为前提，用数学语言对客观经济的本质联系进行抽象、简化描述。然后再用maple、matlab软件进行计算，画图，来直观算出跟研究所得出的结果。2.1 金融投资风险与收益模型一、问题的提出若市场上有种资产供投资者选择，已知在某一时期购买资产的平均收益率为，风险损失率为，交易费费率为，且当购买不超过给定值时，交易费按购买算（不买则无须付交易费）。同期银行存款率为（具体数据在第三章），且既无交易费又无风险。问题是应如何有选择地购买何种金融资产或银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。二、建模假设1） 投资收益率是随机变量，用其数学期
28、望投资赢利，用其标准差衡量风险；2） 投资者进行投资决策时，资金或者用于资产投资或者银行利息，再无其他用途；3） 总体风险用所投资的中最大的一个风险度量；4） 即期用于资产的投资比例为（）。三、模型建立由模型假设可得：资产搭配的整体收益率与预期收益率分别为：总体方差为： 预期净收益为预期整体收益与交易费只差，投资者追求的是预期净收益尽可能大，而风险尽可能小。由此可得金融投资收益与风险的数学模型为： （2.1）这是一个双重目标非线性规划模型。定义：由于： 于是，上述模型可化为下述单目标非线性规划模型： （2.2）当投资者拥有资金M相当大时，与之相比足够小，对预期总收益的贡献微小，可忽略不计。于是
29、模型（2.2）可化成为下述线性规划模型： （2.3）上述模型应注意以下几方面：1） 本模型主要应用于市场经济条件下，要获得的较高期望收益而进行的投资组合2） 对于任意投资额均可用此模型求解获得最大的期望收益的资产搭配方案3） 建立模型时，对问题进行了一定程度的简化，如手续费一项，在股票等交易中，买进、卖出均要手续费（这时手续费不是单费的2倍），建模时仅考虑了单向手续费，所得最大期望收益值与实际情况略有出入，但对投资方案的选择无多大影响。4） 本模型主要考虑获取最大利益，所以“风险最小”的目标化为约束条件这仅是本问题的一种解决方法。研究完金融投资模型之后，我们分析得出如果很繁琐的投资方案，怎么样
30、筛选才能既能保证收益最大，风险最小，又能合理的利用手头资金去做收益最大化的投资，所以上述模型就有不足之处，因此需要通过对金融投资的数学模型就行优化，从而使得我们既能得到最大收益，减小风险，又能简单明了的去做投资筛选。下节我将通过3方面对金融投资进行优化分类，并且对它们的数学模型进行展示，以及对它们的算法进行简要归纳。2.2 不相关金融投资组合优化模型 证券投资组合分析是现代金融投资理论的重要内容。它通过分析证券的收益率和风险的关系，为个人或机构投资者提供理论指导。其中主要内容包括，监理组合投资优化模型和确定有效证券组合。最终通过证券投资组合理论的分析，为投资者提供，在一定风险条件下，具有最大预期收益率的证券组合，或则在一定预期收益率条件下，具有最小风险的投资组合。下面本文将对以下金融投资模型进行优化，已达到最大收益最小风险的预期目的。假定投资者已选定种不相关风险资产进行组合投资，是它们的期望收益率向量，是它们的风险阵，是一个对角阵，是投资比例向量。因为所有0，显然是一个正定阵，。记，易求得：，一、不相关风险资产投资优化模型及算法假设投资者只对不相关风险资产进行组合投资不相关风险资产组合的期望收益率为： 风险为：以下假定，不相关风险资产组合投资的优化模型为： （2.4）我们有如
