1、【答案】D【解析】本题是单选题，利用回代验证法，结合五点法作图以及函数的最值的位置，判 断即可.如果当X 19时，函数取得最小值可得： 19，可得此时函数y 0.5sin 57 x6 324，函数的周期为:2匸57757，1147 ，x 24 时，y 0.5sin 5724 3.24 3，如图:6该港口在该天0时至24时内,有且只有 3个时刻水深为3米,不满足,由题意可知，x 0时，y 0.5si n 0 3.243.49 ,由五点法作图可知:如果当 x16时，函数取得最小值可得：16，可得48，96T14此时函数y 0.5sin x3.24，函数的周期为:48该港口在该天0时至24时内，有且
2、只有3个时刻水深为3米，满足，D.本题考查三角函数的模型以及应用， 三角函数的周期的判断与函数的最值的求法， 考查 转化思想以及数形结合思想的应用，是难题.二、填空题5.已知集合 A 1,2,3,4,5 , B 2,4,6,8 ，则 AI B 【答案】2,4【解析】 找出A与B的公共元素，即可确定出交集. A 1,2,3,4,5 , B 2,4,6,8 , AI B 2,4 .故答案为：2,4此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.6 方程2x 3的解为 【答案】x Iog3【解析】 把指数式化为对数式即可求出方程的解.Q 2x 3，指数式化为对数式得： X log23,X
3、log23 本题主要考查了指数式与对数式的互化，是基础题.2 17 .行列式 的值为1 2【答案】5【解析】直接利用行列式公式可求. 2 2 1 155本题考查二阶行列式计算属于基础题.8.计算limn2nn 1【答案】2【解析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可.解:limim 2.【点睛】 本题考查数列的极限的求法，运算法则的应用，是基础题.9 若圆锥的侧面面积为 2 ，底面面积为 ，则该圆锥的母线长为 【解析】 根据圆面积公式算出底面半径r = 1,再由圆锥侧面积公式建立关于母线方程，解之即可得到该圆锥的母线长.圆锥的底面积为圆锥的底面半径为r，满足，解得r 1又圆锥的侧面积为设圆
4、锥的母线长为l，可得rl，解之得I 2本题给出圆锥的底面圆面积和侧面积,求它的母线长,着重考查了圆的面积公式和圆锥侧面积公式等知识，属于基础题.uur 1 J3 uuur10已知向量AB , , AC2 2，则BAC【答案】6【解析】由题意利用两个向量的夹角公式，求得 BAC的值.uuu向量ABLUJLT,ACcos BACuuu uuur 1 3 1 V3AB AC ppppuuurABuuu AC1 1BAC -本题主要考查两个向量的夹角公式，属于基础题.11. 2位女生3位男生排成一排，则 2位女生不相邻的排法共有 种【答案】72【解析】根据题意，分2步进行分析：、将 3位男生排成一排，
5、、3名男生排好后 有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，由分步计数原理计算可得 答案.根据题意，分 2步进行分析：1 、将3位男生排成一排，有 A 6种情况，2 、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有A 12 种情况，则2位女生不相邻的排法有 6 12 72种；72本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.12 .已知点 2,y在角 终边上，且tan 22，则sin .【答案】3【解析】 结合三角函数的定义及诱导公式可求 y,然后即可求解.由题意可得，tan ,Q tan tan 2、2tan 22 解得y 4,24 血 2
6、2sin422 3乙2.本题考查三角函数定义及同角三角函数间的基本关系， 考查运算能力，是基本知识的考查.13 .近年来，人们的支付方式发生了巨大转变， 使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯某企业为了解该企业员工 A、B两种移动支付方式的使用情况，从全体员 工中随机抽取了 100人，统计了他们在某个月的消费支出情况 发现样本中A , B两种支付方式都没有使用过的有 5人；使用了 A、B两种方式支付的员工，支付金额和相 应人数分布如下：支付金额（元）支付方式0,10001000,2000大于2000使用A18人29人23人使用B10人24人21人依据以上数据估算：若从该公司随机抽取 1名
7、员工，则该员工在该月 A、B两种支付方式都使用过的概率为 .10【解析】根据题意，计算出两种支付方式都使用过的人数，即可得到该员工在该月B两种支付方式都使用过的概率.【详解】 解：依题意，使用过 A种支付方式的人数为：18 29 23 70,使用过B种支付方式的人数为：10 24 21 55,又两种支付方式都没用过的有 5人,所以两种支付方式都用过的有70 55 100 5 30,30100所以该员工在该月 A、B两种支付方式都使用过的概率一.【点睛】 本题考查了古典概型的概率，主要考查计算能力，属于基础题. iiiiii r r r14.已知非零向量 a、b、c两两不平行，且all b c
8、, b/ a c，设c xa yb ,x, y R，则 x 2y 【答案】3r r r【解析】 先根据向量共线把 c用a和b表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解.r r r 因为非零向量 a、b、c两两不平行，且all b c , bll a c ,ram bc,m 0,1 rbmn a,n 0-b，解得1 nQ c xa ybx y 1x 2y 3 3.本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用解题时要认真审题， 属于基础题15已知数列 an满足：a1 1, am an 印耳，,an n N*，记数列 an的前n项和为Sn，若对所有满足条件的 an , S10的最大值为M、最小值为m
9、，则M m .【答案】1078【解析】 根据数列的递推关系，求出数列的前四项的最大，最小值，得出何时和最大，何时和最小，进而求得结论.因为数列an满足：a1 1 , a* 1 an aa2, ,an n N* ,a1 即 a2a1 a1 解得 a2 2 ；a3a2a1 , a21 或 a3 a23 或 a3 4 ；a4ai ,a2, a31 或 a4 a32，a4 a3 3，a a? 4所以a4最小为4, a4最大为8；所以，数列Sio的最大值为 M时，是首项为1,公比为2的等比数列的前10项和:io1023；1 1 2 M -So取最小值m时，是首项为1,公差为1的等差数列的前10项和:10
10、 10 1 m 10 1 1 55 ;二 M m 1078 1078.本题考查了数列的递推关系式， 等比数列以及等差数列的通项公式与前 n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题本题的关键在于观察出数列的规律.16 已知函数f x x a，若对任意实数a，关于x的不等式f x m在区间x-,3上总有解，则实数m的取值范围为 .【答案】 ，2【解析】 本题要根据数形结合法将函数 y x 的图象向下平移到一定的程度，使得函数f x x a的最大值最小再算出具体平移了多少单位，即可得到实数 m的取值范围.由题意，y x 在区间 ,3上的图象如下图所示:x 2710 3521-2根据题意，对任意
11、实数 a,关于x的不等式x m在区间一，3上总有解,则只要找到其中一个实数 a，使得函数f x如图，函数y x 向下平移到一定才程度时,此时只有当f 1 f 3时，才能保证函数设函数y x 图象向下平移了 t个单位,” 口 8t2 t ,解得t -.此时函数f x的最大值为8根据绝对值函数的特点，可知x a的最大值最小即可，函数f x x a的最大值最小f x的最大值最小.（t 0）.实数m的取值范围为:故答案为:本题主要考查了数形结合法的应用，平移的知识，绝对值函数的特点，以及简单的计算能力.本题属中档题.三、解答题17.如图，底面为矩形的直棱柱 ABCD A1B1C1D1满足：AA, 4
12、, AD 3, CD 2.A ix（1）求直线 AC与平面AADiD所成的角 的大小;（2）设M、N分别为棱BB!、CD上的动点，求证：三棱锥 N A1AM的体积V为 定值，并求出该值（1） arctan； （2）证明详见解析， V 4.【解析】（1）说明 CA1D即直线AC与平面AAiDiD的所成角 ，通过求解三角形，推出结果即可.（2）记点N到平面AAM的距离为d，由于底面积和高都不变，故体积不变（1）由直棱柱知 AA 平面ABCD，所以AA CD ,又因为AD CD，所以直线CD 平面A1ADD1 , 所以 CAD即直线AC与平面AADQ的所成角由题意AD 5 , CD 2，所以tan所
13、以直线 AC与平面AADD的所成角2 arctan .（2）记点N到平面AAM的距离为d，三角形AAM的面积为S A1AM，则V VN A,AM3dS a,AM ,由已知 d 3, S a,mm 2 4 4 ,1 所以V 3 4 4为定值.本题考查几何体的体积的求法， 直线与平面所成角的求法， 考查空间想象能力以及计算 能力，是中档题.18 .在复平面内复数 z1、z2所对应的点为 乙、Z2 , O为坐标原点，i是虚数单位uuun ujuir（1） Z1 1 2i , Z2 3 4i ,计算 Z1 Z2 与 O乙 OZ2 ;uuur uuLur（2）设乙 a bi , z2 c di （ a,
14、b,c,d R），求证： OZj OZ? 4 z2，并指UJUL UULU出向量OZj、OZ2满足什么条件时该不等式取等号 uuur uuuu（1）z, z2 11 2i，OZ1 OZ2 5 ；（ 2）证明详见解析，当 ab cd时iuuu（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出 zi Z2，可知OZi 1,2 ，uuuuOZ2 3, 4，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出Z1 Z2，以及复数的几何意义表示出uuuu uuuuO乙、OZ2计算其数量积，利用作差法比较2 uuur uuuu z1 z2OZ1 OZ2 |的大小，并得出何时取等号（1）z
15、勺 1 2i 3 4i 11 2i uuuu uiuuOZ1 1,2 ，OZ2 3, 4iuuu iuuu所以O乙OZ2 5iuuu uuuu，此时O乙P OZ2 证明（2）Q z a bi， z2 c diZ1 Z2ujuuac2 bdadbcQOZa,b ,OZ2c,duuur uiuuOZ1 OZ2 acbd ,OZ1bd2 uuuu|O Z1OZ212bc ac bdbc 4ac bdcbZ z2 ac bd ad bc iuuu uuu所以OZ1 OZ2 N Z2，当且仅当cb时取【点睛】 本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考 查了计算能力，属
16、于基础题.19 如图，某城市有一矩形街心广场 ABCD，如图其中AB 4百米，BC 3百米现将在其内部挖掘一个三角形水池 DMN种植荷花，其中点 M在BC边上，点N在AB边上，要求 MDN（1） 若AN CM 2百米，判断 DMN是否符合要求，并说明理由；（2） 设 CDM ，写出 DMN面积的S关于 的表达式，并求 S的最小值.S 3忑（1）不符合要求，理由详见解析； （2）S ，最小值为COS cos 412 .2 1 .（1）通过求解三角形的边长，利用余弦定理求解 MDN，判断 MDN是否符合要求，即可.（2） CDMADN ，求出1 ，利用两角和与差的三角函数求解最值即3、2 -DN
17、DM sin 2 4cos cos 可.（1）由题意 MN .5 , DN , DN 2,5 ,所以cos MDN13 20 5 7 -J.2 2.5 13 .65 2S 1 DN DM sin 3、2所以MDN -,DMN不符合要求（2）Q CDM,ADN DNDMcos cosQ cos cos cos cos sin4 22 sin 2 cos 2 11 2 1 .2 sin 22 4 4 2 4所以S 12 .2 1 , S的最小值为12 辽1【点睛】 本题考查三角形的解法与实际应用，余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转 化思想以及计算能力，是中档题.n *20.已知数列 4各
18、项均为正数，Sn为其前n项的和，且3n,Sn,an n N 成等差数 列.（1） 写出a1、a2、a3的值，并猜想数列 an的通项公式an ；（2） 证明（1）中的猜想；（3）设 bntan1（t 0） , Tn为数列bn的前n项和.若对于任意nN*，都有Tn bm |m*N，求实数t的值（1）a11 , a2 2 , a3 3 ,ann ； （2）详见解析；（3）,1 .代入Sn an an，求出a1,a2, a3，猜想出即可;（2）禾U用等差数列的定义证明即可;（3）由（2）知 bm mt 1, Tn* n 1意n n ,都是整数，进而n（n 1）t n,因为m , n都是整数，所以对于任
19、-是整数，所以t - , k Z,此时t k1 ，因为的任意性，不妨设bm T2，求出即可.由已知Snan an1 , a2 2 , a3 3,猜想证明（2）当n 2时，Sn 王旦,Snan 1 an 1所以anSnSn 1an an an 1 an 1得anan 1an an 1 1 0 ,因为0 n N ，所以 an an 1数列an为等差数列,又由（1） ai32解由（2）知bmmt1 , Tnn（nUt n.若bm Tn，则m因为m , n都是整数，所以对于任意D都是整数,进而-是整数所以t设bmT2，则 m 3 k所以k当k1时，对于任意当k2时，对于任意所以实数t取值的集合为考查数
20、列的递推公式，等差数列的通项公式，含参问题的数列前n项和公式的应用，中档题.21 .已知函数f X x x a，其中a为常数1时，解不等式f X 2 ；已知g x是以2为周期的偶函数，且当 0x1时，有一，求函数y g x x 1,2的反函数;Xn，使得（3）若在0,2上存在n个不同的点务i 1,2, ,n.n 3 ,人 xf Xi f X2 f X2 f X3 f Xn 1 f Xn 8 ,求实数a的取值范围（1） ,2 ； （2） y 3 ，厂 x 0,3 ； （3） , 2 U 6,.（1）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果.（2） 利用函数的周期和函数的关系式的应用求出函数的反函
21、数.（3） 利用绝对值不等式的应用和函数的性质的应用，利用分类讨论思想的应用求出结果.（1 ）解不等式XX1 时，x2 x 20，所以1 X 21 时，X2 x 20，所以X 1,综上,该不等式的解集为,2X 1 时，gx xx a ,是以2为周期的偶函数,所以当0所以当14，且aX 1时,X 2时,0,得0,3 ,所以函数y g x1,2的反函数为0,3（3）当a 0时,在0,2a，是0,2上的增函数，所以f X-1 f X2f X2 f X3Xn 1 f Xnf Xn f X1所以f 2 2 2a 8，得 a 2 ；当a 4时，在0,2上f x x a x，是0,2上的增函数，所以f x-if X2f Xnf X1 f 2所以f2 8，得 a当0a 4时,f x 在 0,2上不单调,f x1f x2f x2 f X32f X maxf 2 22a 4，上，f xmaxr a c max f , f 2 24.
