第19讲 特殊化与一般化Word文件下载.docx

1、类比命题1，如果CD是斜边上的中线，将怎样？由此得到命题2命题2 在ABC中，C=90， CD是斜边上的中线（图2-103），则有CD=AD=BD 这便是大家已经学过的直角三角形中的斜边中点定理（在此定理中仍保持CD2=ADBD）再类比，如果CD是C的平分线，将怎样？于是得到命题3命题3 在ABC中，C=90，CD是C的平分线（图2-104），则有这是一个新命题，证明如下.引DEBC于E，DFAC于F因为所以我们把命题1、命题2、命题3一般化，考虑D点是AB上任一点，便产生了以下两个命题命题4 在ABC中，C=90，D是斜边AB上的任一内分点（图2-105），则有证 引DFAC于F，DEBC于

2、E因为CD2-BD2CE2-BE2=（CE-BE）BC，而即命题5 在ABC中，C=90，D是斜边AB上的任一外分点（图2106），则有证 只要令命题4之结论中AD为-AD，则有我们再把命题4和命题5特殊化，令D点与A点重合（即AD=0），那么无论是式或式都有AB2=BC2+AC2.这就是我们熟知的勾股定理命题4或命题5与通常形式下的广勾股定理是等效的，因此，它们也可称作广勾股定理下面用命题4或命题5来证明以下定理定理 在ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a在c上的射影为n，时，取“-”号，B为钝角时，取“”号）证 我们仅利用命题4证图2-107中的情况（B90）为此，我们作图2-109

3、，其中DBA=90，CD=x，CEDB于E，并设CE=n由命题4，立得得所以 b2=a2+c2-2cn同理可证图2-108（B90）的相应结论2特殊化、一般化在解题中的应用例1 设x，y，z，w为四个互不相等的实数，并且求证：x2y2z2w2=1分析与解 我们先考虑一个特例，只取两个不同实数，简化原来命（1）求证这个特殊化的辅助问题就容易多了事实上，因为又因为到原命题，由容易想到变形去分母变形为，并约去（x-y）（y-z）（z-w）（w-x）（利用x，y，z，w互不相等）就得到x2y2z2w2=1.例2 设凸四边形O1O2O3O4的周长为l，以顶点O1，O2，O3，O4为圆心作四个半径为R的圆

4、轮如果带动四个圆轮转动的皮带长为s，求s的长度（图2-110） 解（1）先解一个特例（图2-111）设只有两个圆轮O1，O2，2O1O2=l显然，带动两轮转动的皮带长度为s=l+2R（2）再回到原题，我们猜想：s=l2R以下证实这个猜想是正确的为此，设皮带s与各圆轮接触的四个弧为由于它们是等圆上的弧，因此，只要证出这四条弧恰好组成一个圆即可事实上，引O1A3O2A3，由于O1A1O2A2，所以A1O1AO1为圆心，以R为半径的圆因此，四圆弧之长为2R又因为O1O2=A1A2，O2O3=A3A4，O3O4=A5A6，O1O4=A7A8，所以lA1A2A3A4A5A6A7A8所以，所求皮带长为例3

5、 设a1，a2，an都是正数试证：证 欲证成立，先考虑最简单的情形，设n=3，即证把变形为即证由于中左边有（a1-a2），（a2-a3），（a3-a1），其和为零，因此，我们猜想：若式左边相加，其和不小于（a1-a2），（a2-a3），（a3-a1）之和即可为此，我们证更简单的事实设a，b是任意正整数，则有事实上，由（a-b）20有a2-abab-b2，根据，显然成立，因为（a1-a2）+（a2-a3）+（a3-a1）0，从而式成立，式成立剩下来的工作是把式推到一般情形，这是很容易的因为根据，式必然成立，因为练习十九1如图2-112已知由平行四边形ABCD各顶点向形外一条直线l作垂线，设垂足分别为A，B，C，D求证：AABB=CCDD2在上题中，如果移动直线l，使它与四边形ABCD的位置关系相对变动得更特殊一些（如l过A，或l交AB，BC等），那么，相应地结论会有什么变化？试作出你的猜想和证明3在题1中，如果考虑直线l和平行四边形更一般的关系（如平行四边形变成圆，或某一中心对称图形，垂线AA，BB，CC，DD只保持平行等），那么又有什么结论，试作出你的猜想和证明4如果ABC的周长为40米（m），以A，B，C三点为圆心，作三个半径为1米的圆轮，带动圆轮转动的皮带长为l，试求l的长度