1、解析f（x）cos xsin xcos，且函数ycos x在区间0，上单调递减，则由0x，得x.因为f（x）在a，a上是减函数，所以解得a，所以0a，所以a的最大值是.答案A考 点 整 合1.常用三种函数的图象与性质（下表中kZ）函数ysin xycos xytan x图象递增区间2k，2k递减2k，2k奇偶性奇函数偶函数对称中心（k，0）对称轴xkxk周期性22.三角函数的常用结论（1）yAsin（x），当k（kZ）时为奇函数；当k（kZ）时为偶函数；对称轴方程可由xk（kZ）求得.（2）yAcos（x），当k（kZ）时为奇函数；当k（kZ）时为偶函数；对称轴方程可由xk（kZ）求得.（3）
2、yAtan（x），当k（kZ）时为奇函数.3.三角函数的两种常见变换热点一三角函数的定义【例1】 （1）（2017北京卷）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin ，则cos（）_.（2）如图，以Ox为始边作角（0），终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为，则_.解析（1）法一由已知得（2k1）（kZ）.sin ，sin sin（2k1）sin （kZ）.当cos 时，cos ，cos（）cos cos sin sin .当cos 时，cos ，cos（）cos cos sin sin .综上可知，cos（）.法二由已知得（2k1）（kZ），sin s
3、in（2k1）sin ，cos cos（2k1）cos ，kZ.当sin 时，cos（）cos cos sin sin cos2sin2（1sin2）sin22sin2121.（2）由三角函数定义，得cos ，sin ，原式2cos22.答案（1）（2）探究提高1.当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误.2.任意角的三角函数值仅与角的终边位置有关，而与角终边上点P的位置无关.若角已经给出，则无论点P选择在终边上的什么位置，角的三角函数值都是确定的.【训练1】 （1）（2018潍坊三模）在直角坐标系中，若角的终边经过点P，则sin（）（）A.
4、 B. C. D.（2）（2018北京卷）在平面直角坐标系中，是圆x2y21上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边.若tan cos sin ，则P所在的圆弧是（）A. B. C. D.解析（1）角的终边过点P，且|OP|1.由三角函数定义，知sin cos.因此sin（）sin .（2）设点P的坐标为（x，y），由三角函数的定义得xy，所以10，0y1.所以P所在的圆弧是.答案（1）C（2）C热点二三角函数的图象考法1三角函数的图象变换【例21】 （1）要想得到函数ysin 2x1的图象，只需将函数ycos 2x的图象（）A.向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长
5、度B.向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度湖南六校联考）已知函数f（x）sin（x），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数yf（x）的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，那么函数yf（x）的图象（）A.关于点对称 B.关于点对称C.关于直线x对称 D.关于直线x对称解析（1）因为ysin 2x1cos1cos1，故只需将函数ycos 2x的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到函数ysin 2x1的图象.（2）由题意，T，2.又yf sin的图象关于y轴对称.k
6、，kZ.由|，取，因此f（x）sin，代入检验f 0，A正确.答案（1）B（2）A探究提高1.“五点法”作图：设zx，令z0，2，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.考法2由函数的图象特征求解析式【例22】 （1）函数f（x）Asin（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A.f（x）2sin B.f（x）2sinC.f（x）2sin D.f（x）2sin济南调研）函数f（x）Asin（x）的部分图象如图所示，若x
7、1，x2，且f（x1）f（x2），则f（x1x2）（）A.1 B. C. D.解析（1）由题意知A2，T4，2，因为当x时取得最大值2，所以22sin，所以22k，kZ，解得2k，kZ，因为|0，0）的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练2】 已知函数f（x）Asin（x）（A0，0，|）的部分图象如图所示.（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数yf（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，再把所得的函数图象向左
8、平移个单位长度，得到函数yg（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最小值.解（1）设函数f（x）的最小正周期为T，由题图可知A1，即T，所以，解得2，所以f（x）sin（2x），又过点，由0sin可得2k，kZ，则2k，kZ，因为|，所以，故函数f（x）的解析式为f（x）sin.（2）根据条件得g（x）sin，当x时，4x，所以当x时，g（x）取得最小值，且g（x） min.热点三三角函数的性质考法1三角函数性质【例31】 （2018合肥质检）已知函数f（x）sin xcos x（0）的最小正周期为.（1）求函数yf（x）图象的对称轴方程；（2）讨论函数f（x）在上的单调性.解（1）f（x）s
9、in xcos xsin，且T，2，于是f（x）sin.令2xk（kZ），得x（kZ）.即函数f（x）图象的对称轴方程为x（kZ）.（2）令2k2x2k（kZ），得函数f（x）的单调递增区间为（kZ）.注意到x，所以令k0，得函数f（x）在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间为.探究提高1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数yAsin（x）（A0）的单调区间，是将x作为一个整体代入正弦函数增区间（或减区间），求出的区间即为yAsin（x）的增区间（或减区间），但是当A0，0时，需先利用诱导公式变形为y
10、Asin（x），则yAsin（x）的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间.考法2三角函数性质与图象的综合应用【例32】 已知函数f（x）2sin xcos x2sin2x（1）求函数f（x）的单调递增区间.（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数yg（x）的图象，若yg（x）在0，b（b0）上至少含有10个零点，求b的最小值.解（1）f（x）2sin xcosx（2sin2x1）sin 2xcos 2x2sin.由最小正周期为，得1，所以f（x）2sin，由2k2x2k，kZ，整理得kxkx，kZ，所以函数f（x）的单调递增区间是，kZ.（2）将函数
11、f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y2sin 2x1的图象；所以g（x）2sin 2x1.令g（x）0，得xk或xk（kZ），所以在0，上恰好有两个零点，若yg（x）在0，b上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可.所以b的最小值为4.探究提高1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为yAsin（x）B（或yAcos（x）B）的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解.2.函数yAsin（x）（或yAcos（x）的最小正周期T.应特别注意y|Asin（x）|的最小正周期为T.【训练3】 （2018湖南师大附中质检）已知向量m（2cos x，1），n（sin x
12、cos x，2）（0），函数f（x）mn3，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为.（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当x时，求函数g（x）的值域.解（1）f（x）mn32cos x（sin xcos x）23sin 2xcos 2xsin.依题意知，最小正周期T.1，因此f（x）sin.令2k2x2k，kZ，求得f（x）的增区间为，kZ.（2）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，得ysinsin的图象.然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）sin的图象.故g（
13、x）sin，由x，知4x.1sin.故函数g（x）的值域是，1.1.已知函数yAsin（x）B（A0，0）的图象求解析式（1）A，B.（2）由函数的周期T求，.（3）利用“五点法”中相对应的特殊点求.2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比ysin x的性质，只需将yAsin（x）中的“x”看成ysin x中的“x”，采用整体代入求解.（1）令xk（kZ），可求得对称轴方程；（2）令xk（kZ），可求得对称中心的横坐标；（3）将x看作整体，可求得yAsin（x）的单调区间，注意的符号.3.函数yAsin（x）B的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y
14、Asin（x）B（一角一函数）的形式；第二步：把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求yAsin（x）B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.一、选择题全国卷）函数f（x）的最小正周期为（）A. B. C. D.2解析f（x）sin xcos xsin 2x，所以f（x）的最小正周期T.答案C全国卷）函数f（x）sincos的最大值为（）A. B.1 C. D.解析cos cossin，则f（x）sinsinsin，函数的最大值为.湖南六校联考）定义一种运算adbc，将函数f（x）的图象向左平移（0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（）解析f（x）2cos x2sin x4co
15、s，依题意g（x）f（x）4cos是偶函数（其中0）.k，kZ，则min.4.偶函数f（x）Asin（x）（A）的部分图象如图所示，其中EFG是斜边为4的等腰直角三角形（E，F是函数与x轴的交点，点G在图象上），则f（1）的值为（）A. B. C. D.2解析依题设，|EF|4，T8，.函数f（x）Asin（x）为偶函数，且0.，在等腰直角EGF中，易求A2.所以f（x）2sin2cosx，则f（1）.5.（2018天津卷）将函数ysin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减解析把函数ysin的图象向右平
16、移个单位长度得函数g（x）sinsin 2x的图象，由2k2x2k（kZ）得kxk（kZ），令k1，得x，即函数g（x）sin 2x的一个单调递增区间为.二、填空题6.（2018江苏卷）已知函数ysin（2x）的图象关于直线x对称，则的值是_.解析由函数ysin（2x）的图象关于直线x对称，得sin1.因为，所以，则，.答案7.已知函数f（x）Asin（x）的部分图象如图所示，其中|PQ|2.则f（x）的解析式为_.解析由题图可知A2，P（x1，2），Q（x2，2），所以|PQ|2.整理得|x1x2|2，所以函数f（x）的最小正周期T2|x1x2|4，即4，解得.又函数图象过点（0，），所以2
17、sin ，即sin .又|0）.若f（x）f 对任意的实数x都成立，则的最小值为_.解析由于对任意的实数都有f（x）f 成立，故当x时，函数f（x）有最大值，故f 1，2k（kZ），8k（kZ）.又0，min.答案三、解答题9.已知函数f（x）4tan xsincos.（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间上的单调性.解（1）f（x）的定义域为x|xk，kZ，f（x）4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2xcos 2x2sin.所以f（x）的最小正周期T.（2）由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.设A，B
18、，易知AB.所以当x时，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减.10.（2018西安模拟）已知函数f（x）sinsin xcos2x.（1）求f（x）的最大值及取得最大值时x的值；（2）若方程f（x）在（0，）上的解为x1，x2，求cos（x1x2）的值.解（1）f（x）cos xsin x（2cos2x1）sin 2xcos 2xsin.当2x2k（kZ），即xk（kZ）时，函数f（x）取最大值，且最大值为1.（2）由（1）知，函数f（x）图象的对称轴为xk，kZ，当x（0，）时，对称轴为x.又方程f（x）在（0，）上的解为x1，x2.x1x2，则x1x2，cos（x1x2）cossin，又f（x2）sin，故cos（x1x2）.11.设函数f（x）sinsin，其中03，已知f0.（1）求；（2）将函数yf（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg（x）的图象，求g （x）在上的最小值.解（1）因为f（x）sinsin，所以f（x）sin xcos xcos xsin xcos xsin.由题设知f 0，所以k，kZ，故6k2，kZ.又03，所以2.（2）由（1）得f（x）sin，所以g（x）sinsin.因为x，所以x，当x，即x时，g（x）取得最小值.
