1、第二篇 数学物理方程,1,Mathematical Equations for Physics,想要探索自然界的奥秘就得解微分方程,牛顿,重点,1、从实际问题中建立数学物理方程的基本方法；2、系统的边界条件和初始条件的写法。,第一章 数学物理方程的定解问题,数学物理思想,数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程,数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理现象和普遍规律.,2,从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系,3,多数为二阶线性偏微分方程,振动
2、与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程,热传导问题和扩散问题满足热传导方程,静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程,一、数学物理方程-泛定方程:物理规律的数学表示,物理规律 物理量u 在空间和时间中的变化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。,数学语言翻译,泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。,4,5,二、边界问题-边界条件,体现边界状态的数学方程称为边界条件,三、历史问题-初始条件,体现历史状态的数学方程称为初始条件,例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。,定解问题的完整提法：在给定的边界条件和初始条
3、件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。,定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的 特殊性，即个性。泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。它反映了问题的共性。,6,具体的问题的求解的一般过程：,1、根据系统的内在规律列出泛定方程客观规律,2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件求解所必须用的,3、求解方法 行波法、分离变量法等,分离变量法,偏微分方程,标准的常微分方程,标准解，即为各类特殊函数,三类数学物理方程的一种最常用解法,1.1 数学模型(方程）的建立,7,建模步骤：,1、确定表征过程的物理量u（代求函
4、数）；,2、从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部分与它的关系及相互作用，用含u的算术式表达此作用；,3、对算式进行化简得到最终方程，此方程为某一类物理过程的通用方程（泛定方程）。,8,模型（方程）类型：,1、波动方程（描述振动和波动特征）；,2、热传导方程（反映输运过程）；,3、泊松方程及拉普拉斯方程（反映稳定过程）。,（一）均匀弦横振动方程(一维波动方程）,弦的横振动,设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动 u(x,t):坐标为x 的点在t时刻沿垂线方向的位移 求：细弦上各点的振动规律,9,波动方程的导出,建立方程,（1）确定物理变量,位移u(x,t),（2）系
5、统中取一小部分，分析临近部分与之 关系（建立等式）,10,选取不包括端点的一微元(x,x+dx),弦长dx，,研究对象:,(4)设单位长度上弦受力，力密度为：,简化假设：,(1)弦是柔软的(不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向(2)振幅极小,张力与水平方向的夹角1和2 很小，仅考虑1和2的一阶小量，略去二阶小量(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略。,质量线密度，,11,弦的原长：,振动拉伸后：,弦长dx，质量线密度，B段的质量为m=dx,12,核心等式关系：,牛顿第二定律,F=ma,13,沿水平方向，不出现平移,受力分析：,14,（1）,分竖直和水平方向考虑,由（1）式可得弦中各点的张力相等,在
6、微小振动近似下：,即张力为常数，记为T,沿竖直方向,15,对于小振动，有,16,竖直方向上满足牛顿第二定律：,由前知弦长x(dx），质量线密度，质量为m=x,综合前式，有,上式即为通过核心等式关系建立的研究对象u(x,t)所满足的方程式。,（3）对等式进行化简得到最终方程（泛定方程）,17,其中,令x0，得到,（2）,（2）式即为弦的自由横振动方程（齐次方程）。,18,若有外力作用在弦上，方向垂直于x轴，设其力密度为F（x，t），由于弦段很小，其上各点外力近似相等，故该段所受外力为,19,此时竖直方向上的牛顿第二定律为,同样利用前面关系代换，有,两边约去x，并令x0，得到,其中,（3）,（3）
7、式为弦的强迫振动方程（非齐次方程）。,20,波动方程可统一表示为：,21,类似可得到二维波动方程（薄膜振动）和三维波动方程（电磁波、声波的传播）：,其中为拉普拉斯算子，f=0时为齐次方程，f0时为非齐次方程。,热传导方程,热传导现象：系统的温度 u(x,y,z,t)不均匀时，将出现热量从温度高处到温度低处的流动，叫热传导。,22,建立方程,（1）确定物理变量,温度u(x,t),（2）系统中取一小部分，分析临近部分与之 关系（建立等式）,核心等式：,23,横截面积为A的均匀细杆，杆长方向有温差，侧面绝热。,热量守恒,假设t时间内x温度升高，则,其中c为比热容（即单位质量升高单位温度所需热量），m
8、为质量。,24,Q流动热量满足傅立叶实验定律：,物体在无穷小时段dt内流过一个无穷小面积ds的热量dQ与物体温度沿曲面ds法线方向导数成正比。,其中k为热传导系数，当物体为均匀且各向同性时为常数，取“-”是因为热量流向与温度梯度方向相反（温度梯度方向指温度变化方向，指向标量场增长最快的方向）。,25,则t时间内由ox轴正向流入的热量为,26,而t时间内由ox轴正向流出的热量为,由核心等式有,27,（4）,（4）式即为一维齐次热传导方程（其中a2=k/cp)。,若杆内部有热源，设热源密度F（x，t）（单位时间内单位体积放出热量）。,28,（5）,（5）式即为一维非齐次热传导方程。,同理有二维（薄
9、片）及三维热传导方程,29,热传导方程可统一表示为：,30,其中为拉普拉斯算子，f=0时为齐次方程，f0时为非齐次方程。,（注：扩散情况也满足此方程，此时为扩散方程，u为浓度。）,泊松方程或拉普拉斯方程,前两类方程的特例，稳定场情况，即u不随时间变化。,（6）式即为拉普拉斯方程。,（6）,（7）式为非齐次拉普拉斯方程或泊松方程。,（7）,31,1.2 定解条件,前面的方程反映了同一类物理过程（泛定方程）。,为了得到物理（数学）上的唯一确定解，需要引入定解条件。,定解条件=初始条件+边界条件,（注：有时还需要其他条件，如不同媒质界面处衔接条件，物理上的合理性条件等。）,32,物理上，某个具体过程
10、还与初始状态和边界上的约束情况相关；数学上，当变量个数大于方程个数的时候，方程没有唯一确定的解。,初始时刻的温度分布：,B、热传导方程的初始条件,C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件,初始条件=无（描述稳定状态，与t无关）,A、波动方程的初始条件,描述系统的初始状态,系统各点的初位移系统各点的初速度,（一）初始条件,33,和 是空间坐标的函数,例：,34,注意：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不是一点处的情况。,一根长为l的弦，两端固定于0和l。在中点位置将弦沿着横向拉开距离h，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。,解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有,
11、初始位移,（二）边界条件,定义：系统的物理量始终在边界上具有的情况。,A.第一类边界条件,即直接给出系统边界上物理量的函数形式。,直接给出边界值,35,常见的线性边界条件分为三类：,弦振动方程：端点位置已知,和,36,如：两端固定的弦振动,37,热传导方程：端点温度已知,如：两端温度恒定的热传导,38,泊松方程（拉普拉斯方程）：边界上函数值已知,（注：由于与t无关，故边界上函数值确定）,B.第二类边界条件,给出待求函数在边界上的导数值,39,弦振动方程：边界张力沿垂直方向分量已知,热传导方程：边界上的热流量已知,泊松方程（拉普拉斯方程）：边界上函数的导数 值已知,C.第三类边界条件,给出待求函数及其方向导数在边界上的线性组合值,40,弦振动方程：,热传导方程：,泊松方程（拉普拉斯方程）：,注：边界条件齐次与非齐次说明,前述所有类型边界条件中，当u1(t)=u2(t)=0时，称齐次边界条件，否则为非齐次边界条件。,41,定解问题=泛定方程+定解条件,具体可分为：,42,泛定方程+初始条件=初值问题（柯西问题）,泛定方程+边界条件=边值问题,泛定方程+初始条件+边界条件=混合问题,本章小结,泛定方程,43,定解条件,定解问题,波动方程,热传导方程,泊松方程（拉普拉斯方程）,初始条件,边界条件,初值问题,边值问题,混合问题,一类,二类,三类,+,=,
