1、2.4.2抛物线的简单几何性质,一、复习回顾:,抛物线标准方程,1、抛物线的定义:,2、抛物线的标准方程:,3、椭圆和双曲线的性质:,结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点,类比探索,x0,yR,关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.,抛物线和它的轴的交点.,二、讲授新课:,(4)离心率(5)焦半径(6)通径,e=1,通过焦点且垂直对称轴的直线,与抛物线相交于两点,连接这两点的线段叫做抛物线的通径。,|PF|=x0+p/2,F,P,通径的长度:2P,y2=2px(p0),y2=-2px(p0),x2=2py(p0),x2=-2py(p0
2、),关于x轴对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),特点:,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;,2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的e=1;,5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,P越大,开口越开阔-本质是成比例地放大!,例1.顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2,)的抛物线有几条,求它的标准方程.,当焦点在x或y轴上,开口方向不定时,设为y2=mx(m 0)或x2=my(m0),可避免讨论!,三、例题选讲:,
3、解法1 F1(1,0),解法2 F1(1,0),解法3,|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=8,A1,B1,解法4,思考:通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗?,提示:作出图形如图所示,根据图形比较可知,开口大小由p决定,p越大,开口越开阔,p越小则开口越小,3过抛物线y22px(p0)的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段的长度是多少?提示:2p,画抛物线时往往参考这条线段,以防止开口画得过大或过小,抛物线的性质及应用,抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程
4、及抛物线的准线方程思路点拨由椭圆的方程确定抛物线的方程类型,再用待定系数法求解,根据抛物线的性质求方程,【题后反思】待定系数法求抛物线标准方程的步骤(1)定位置:根据抛物线的几何性质等条件确定焦点的位置或开口方向(2)设方程:根据确定的焦点位置设出相应的方程,若未能确定则要分情况讨论(3)列方程:利用准线、焦点等条件列出关于p的方程,确定p的值(4)写出方程:根据求出的p值,代入设出的方程,确定抛物线方程,过抛物线y24x的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1x27,求线段AB的长思路点拨利用抛物线的定义,把|AB|AF|BF|转化为A,B两点到准线的距离的和
5、来求解,焦点弦问题,【题后反思】解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题,从而可借助根与系数的关系进行求解,3过抛物线y28x的焦点作直线l,交抛物线于A、B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|的值为_.,1抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的区别(1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;(4)抛物线的离心率是惟一的:e1.,3抛物线的图象具有的特征抛物线是轴对称图形,其焦点F和准线与对称轴的交点关于原点O对称,即若准线与对称轴的交点为M,则O为MF的中点,