1、例1、如图，ABC中，D、E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：EBO=DCO；BEO=ODC；BE=CD；OB=OC（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）（2）选择第（1）题中的一种情形，证明ABC是等腰三角形分析：这是一道开放型的题目，考虑分析各种情形，从中选出适合题意的情形解：（1），（2）选择来证明结论成立已知：EBO=DCO，OB=OC求证：ABC是等腰三角形证明：OB=OC，OBC=OCB又EBO=DCO，ABC=ACB，AB=ACABC为等腰三角形例2、如图，在ABC中，AB=AC，O为ABC内一点，且OB=OC求
2、证：AOBC证明：延长AO交BC于D在ABO与ACO中 ，ABOACO，BAO=CAO，即BAD=CAD，AOBC考点二：利用等腰三角形求度数 例3、如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE求A的度数本题中没有给出一个角的度数，而要求A的度数，必然是运用三角形内角和定理，其解题思路是设某一个角的度数为x，其他各角都能用x的代数式表示，列出代数方程求解设A=xAD=DE=EBDEA=A=x，EBD=EDB又DEA=EBDEDB，EBD=EDB=BDC=AABD=xBD=BC，AB=AC，BDC=BCD=ABC=在ABC中，AABCACB=180即x+x+x=1
3、80x=45，即A=45例4、AD和BE是ABC的高，H是AD与BE或是AD、EB延长线的交点，BH=AC，求ABC的度数（1）当H是AD与BE的交点时，BE、AD是ABC的高，4=3=5=901C=2C=902=1又BH=AC，BHDACD，BD=AD，DBA=6又6DBA=90DBA=45，即ABC=45（2）当H是AD、EB延长线的交点时，3=2=90，4=901H=90，CADH=901=CAD又BH=AC，DBHDAC，DB=DA，5=6又56=90，6=45ABC=18045=135故ABC的度数为45或135考点三：几种辅助线作法：证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“截长”、
4、“补短”等方法例5、如图，已知AD是ABC的角平分线，B=2C，求证：AC=ABBD（你可以用不同的方法证明吗）方法一：（截长法）在AC上截取AE=AB，连接DE因为AD平分BAC，所以2=1又因为AD=AD，所以BADEAD（SAS）所以BD=ED所以3=B=2C因为3=C4，所以2C=C4，所以C=4，所以DE=CE所以CE=BD所以AC=AEEC=ABDB方法二：（补短法）如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE，所以E=1因为2=E1=2E，又因为2=2C（已知），所以C=E因为4=3，AD=AD，所以ADCADE（AAS），所以AC=AE因为AE=ABBD，所以AC=ABBD例6、
5、数学课堂上，老师布置了一道几何证明题，让大家讨论它的证明方法，通过大家的激烈讨论，有几位同学说出了他们的思路，并添加了辅助线，你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗？如图，已知ABC中AB=AC，F在AC上，在BA延长线上取AE=AF求证：EFBC首先，小明根据等腰三角形这一已知条件，结合等腰三角形的性质，想到了过A作AGBC于G这一条辅助线，如图证明1：过A作AGBC于GAB=AC，3=4又AE=AF，1=E又34=1E，3=E，AG/EF，EFBC接着小亮根据题设AE=AF，结合等腰三角形的性质作出过A作AHEF于H这条辅助线，如图证明2：过A作AHEF于HAE=AF，EAH=FAH又A
6、B=AC，B=C又EAHFAH=BC，EAH=B，AH/BC，方法三：小彬也作出了一条辅助线，过C作MCBC交BA的延长线于M，如图证明3：过C作MCBC交BA的延长线于M，则12=90AE=AF，AEF=AFE，EAF=1802AFE又AB=AC，B=1又EAF=B1，EAF=21，21=1802AFE，1AFE=902=AFE，DE/MC，方法四：小颖的作法是：过E作ENEF交CA的延长线于N，如图证明4：过E作ENEF交CA的延长线于N，则12=90AE=AF，2=AFE，EAF=18022又AB=AC，B=C，EAF=BC=2B，2B=18022，B2=901=B，EN/BC，方法五：
7、小虎的作法是：过E点作EP/AC交BC的延长线于P，如图证明5：过E作EP/AC交BC的延长线于P，则AFE=2，3=P又AE=AF，1=AFE，1=2又AB=AC，B=3，B=P，EB=EP，方法六：大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时，小红突然站起来说，不作辅助线也可以证明，你说是吗？（如图）证明6：1=E又2=1E，2=2E又AB=AC，B=C，2=1802B，2E=180即EB=903=18090=90EFBC例7、如图，在ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，AD=BD求证：CDAC取AB的中点E，连结DEAD=BD，DEAB，3=90又AB=2AC，AB=2AE，AE=AC又1=
8、2，AD=AD，AEDACD，3=ACD，ACD=90CDAC例8、ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，连结DE交BC于F求证：DF=EF过E作EG/AB交BC的延长线于G，则G=B又1=ECG，G=ECG，CE=GE又BD=CE，BD=GE又BFD=GFE，BDFGEF，DF=EF知识点二：直角三角形30所对的直角边等于斜边的一半例1 （将一个有45角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30角，如图，则三角板的最大边的长为（）A3cm B6cm C3cm D6cm思路分析：过另一
9、个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30角所对的边等于斜边的一半，可求出有45角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边点评：此题考查的知识点是含30角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得直角边，再由勾股定理求出最大边例2.如图，ACB = ADB = 90，AC = AD，E是AB上的一点。求证：CE = DE。这里要证明两次三角形全等。例3.如图，在ABC中，B=C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=6，求DE的长。 例4.在ABC中，AB=AC，于A（1）求的度数（2）DC=2BD变式训练如图4，在ABC中，BDDC，若ADAC，BAD30求证
10、：AC利用直角三角形的性质证明例5、如图所示，已知ABAE，BCED，BE，AFCD，F为垂足，求证：CFDF.要证CFDF，可连接AC、AD后，证ACFADF即可.连结AC、AD.在ABC和AED中，所以ACAD（全等三角形的对应边相等）.因为AFCD（已知），所以AFCAFD90（垂直定义）.在RtACF和RtADF中 ，所以RtACFRtADF（HL）.所以CFDF（全等三角形的对应边相等）.例6、ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F.求证BECF.在AED和AFD中，AEDAFD（AAS）.DE=DF（全等三角形的对应边相等）.在RtB
11、DE和RtCDF中，RtBDERtCDF（HL）.BE= CF（全等三角形的对应边相等）.例7、已知：如图所示，AD为ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD.（1）求证：BEAC；（2）若把条件BF=AC和结论BEAC互换，那么这个命题成立吗？1）证明：ADBC（已知），BDA=ADC=90（垂直定义），12=90（直角三角形两锐角互余）.在RtBDF和RtADC中 ，RtBDFRtADC（HL）.2=C（全等三角形的对应角相等）.12=90（已证），所以1C=901CBEC=180（三角形内角和等于180），BEC=90BEAC（垂直定义）；（2）命题成立BE
12、AC，ADBC，BDF=ADC=901C=90，DACC=901=DAC（同角的余角相等）.在BFD与ACD中 ，BFDACD（AAS）.BF=AC（全等三角形的对应边相等）.例8、如图所示，已知12，ADBD4，CEAD，2CEAC，那么CD的长是（）A2B3 C1D1.5在RtAEC中，由于2CEAC ，可以得到1230又ADBD4，得到B230，从而求出ACD90，由直角三角形的性质求出CD在RtAEC中，2CE AC，1230ADBD4，B230ACD18030390CDAD2故选A例9、已知：如图，在RtABC和RtBAD中，AB为斜边，ACBD，BC，AD相交于点E（1） 求证：A
13、EBE；（2） 若AEC45，AC1，求CE的长（1）由直角三角形全等判定定理（HL）证明RtABCRtBAD，得ABCBAD，AEBE（2）ACE为等腰直角三角形，CEAC1（1）方法1： 在RtACE和RtBDE中，ABBA，ACBD，RtACERtBDE（HL），ABCBAD，AEBE方法2：在RtACE和RtBDE中，AEC与BED是对顶角，AECBEDCD90， ACBD RtACERtBDE（AAS），（2） AEC45，C90CAE45CEAC1达标测试：1、如图，ABC中，AB=AC，BAD=30，且AD=AE，则EDC等于（A） A15 B20 C25 D302等腰三角形的一
14、条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（ C ）A25 B25或32 C32 D193、如图，A=15，AB=BC=CD=DE=DF，则DEF为（D） A90 B75 C70D604、已知等腰三角形ABC的底边BC=8cm，且|ACBC|=2cm，则腰AC的长为（A） A10cm或6cm B10cm C6cm D8cm或6cm5、具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（C） A顶角，一腰对应相等 B底边一腰对应相等 C两腰对应相等 D一底角，底边对应相等6、如图，D、E分别是ABC的边BC、AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则（B） A当B为定值时，CDE为定值 B当为定值时
15、，CDE为定值 C当为定值时，CDE为定值 D当为定值时，CDE为定值7如图122所示，在ABC中，ABAC，点D在AC上，且BDBCAD，则A等于 （ D ）A30 B40 C45 D368在等腰梯形ABCD中，ABC2ACB，BD平分ABC，ADBC，如图123所示，则图中的等腰三角形有 （ D ） A1个 B2个 C3个 D4个9、下列结论中错误的是（C）A一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等B一锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等C两锐角对应相等的两个直角三角形全等D有一条直角边和斜边上的高线对应相等的两直角三角形全等10、如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是A
16、B，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若A50，则BPC的度数是（D）A150 B130 C120 D10011、如图，ABC中，ACB90，在AB上截取AEAC，BDBC，则DCE等于（A）A45B60 C50D6512、如图，已知ADBACB90，ACBD，且AC、BD交于点O，则下列说法正确的有（D）ADBCDBCCADAOBOABCDDOC为等腰三角形A2个 B3个 C4个 D5个13. 如图，已知ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则E= 15 度14已知ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= 1
17、5、如图，ABC中，C90，ABC60，BD平分ABC，若AD6，则CD_C90A30BD平分ABC，CBDABDA30BDAD6，BD6 316如图，ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DFAC于F交BC于E，求证：DBE是等腰三角形17.已知：如图，是等边三角形，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE,DE交BC于F,求证：BF=CF+CE18.如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90，D为AC的中点，AEBD于F交BC于E求证：ADB=CDE过C作CGAC交AE的延长线于G，则ACG=12=90又8=90，75=90又67=90，5=6又BAD=ACG=90，AB=C
18、A，ABDCAG，AD=CG，3=G又AD=DC，DC=GC又AB=AC，ABC=1又ABC1=90，1=45，2=45，即1=2又CE=CE，CDECGE，4=G，3=4课后作业：【巩固练习】1已知等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是40，那么它的顶角是（ C ）A40, B50, C80, D1002已知等腰三角形周长为10，则底边长a的取值范围是（ C ）A5a10, B2.5a5C0a5, D0a2.53如图124，在 ABCD中，已知AD8cm，AB6cm，DE平分ADC交BC边于点E，则BE等于（ A ） A2 cm B4 cm C6 cm D8 cm4下面几种三角形： 有两个角为6
19、0的三角形； 三个外角都相等的三角形； 一条边上的高也是这条边上的中线的三角形； 有一个角为60的等腰三角形 其中是等边三角形的有 （ B ） A4个 B3个 C2个 D 1个5、如图，在ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，FDE=，则下列结论正确的是（A） A2A=180 BA=90 C2A=90 DA=1806、如图，在ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若ADBEDBEDC，则C的度数为（D） C25 D308、如图，在等腰ABC中，CD是AB边上的高，AE是腰BC上的中线，AE交CD于F现给出三条路线：（a）AFCEBDA；（b）ACEBDFA；（c）ADBEFCA；设
20、它们的长度分别是l（a）、l（b）、l（c），那么下列三个关系式：l（a）l（b），l（a）l（c），l（b）l（c）中，一定能够成立的个数是（C） A0 B1 C2 D39、三角形中有一条边是另一条边的2倍，并且有一个内角是30，那么这个三角形（C） A一定是直角三角形 B一定是钝角三角形 C可能是锐角三角形 D不可能是锐角三角形10、两个全等的直角三角形中都有一个锐角为30，且较长的直角边在同一直线上，则图中的等腰三角形有（B） A4个 B3个 C2个 D1个11、在RtABC和RtABC，已知CC90，AA，若要判定RtABCRtABC，还可以补充的一个条件是（B）BBABABBCBCACACAB CD12、在ABC中，ACB90，CD是AB上的高，那么下列推理所得的结论中，错误的是（C）ABD BCB1 B CCD ABDCD AC13、如图，在RtABC中，ABAC，ADBC，垂足为DE、F分别是CD、AD上的点，且CEAF如果AED62，那么DBF_ABAC，ADBC，BDCD又BAC90BDADCD又CEAF，DFDERtBDFRtADE（SAS）DBFDAE
