1、a ； a Jbc J ； b ca。6、 设H是群G的子群，且G有左陪集分类 5 , aH ,bH ,cH 。如果6,那么G的阶G =（）6； 24； 10 ； 12。7、 设f ：G1 G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）f的同态核是G1的不变子群； G2的不变子群的逆象是 G1的不变子群；G1的子群的象是G2的子群； G1的不变子群的象是 G2的不变子群。8设f :尺 R2是环同态满射，f（a）二b，那么下列错误的结论为（ ）若a是零元，则b是零元； 若a是单位元，则b是单位元；若a不是零因子，则b不是零因子；若 R?是不交换的，则 R|不交换。9、 下列正确的命题是（ ）欧
2、氏环一定是唯一分解环； 主理想环必是欧氏环；唯一分解环必是主理想环； 唯一分解环必是欧氏环。10、 若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（ ）1E:I = E:I I :F ； F:E=I:FE:I ； I : F HE : F F : I ； E : F A：E : I I : F。三、 （2011年近世代数）填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空 1分,共10分）1、 设集合 A-L1,O B1,2 则有 B A= 。2、 如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f f a； 。3、 设集合A有一个分类，其中 A与Aj是A的两个类，如果
3、A = Aj，那么Ai Aj二 。4、 设群G中元素a的阶为m，如果an =e，那么m与n存在整除关系为 。5、 凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。6、 给出一个5-循环置换理=（31425），那么二J = 。7、 若|是有单位元的环 R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为 。8若R是一个有单位元的交换环， I是R的一个理想，那么 %是一个域当且仅当|是 。9、 整环|的一个元p叫做一个素元，如果 。10、 若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果 。四、 （2011年近世代数）改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出 错误1分，更正错
4、误2分。每小题3分，共15分）1、如果一个集合 A的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在 a1 a an里，元的次序可以掉换。2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合 G作成一个群，如果满足 G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。3、设I和S是环R的理想且IMS R，如果I是R的最大理想，那么 S= 0。4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若 d和d都是a和b的最大公因子，那么必有 d二d。a0 - a1 亠；亠 anJ n = 0。5、叫做域F的一个代数元，如果存在 F的都不等于零的元 a0,a1/ ,an使得15分，每小题分标在小题后）五、（2011年近世代数）计
5、算题（共1、给出下列四个四元置换组成的群2 3 4丿G，试写出G的乘法表，60丨1丨2丨3|4丨51? 是模6的剩余类环，2 1 3并且求出 G的单位元及4丿- 1丨2丨 R,x ax b R，将R的所有这样的变换构成一个集合G =f（a,b）忖a,b R,a。，试证明：对于变换普通的乘法， G作成一个群。3、 设丨1和丨2为环R的两个理想，试证丨1 口丨2和h +I2 =a+ba 12都是R的理想。4、 设R是有限可交换的环且含有单位元 1,证明：R中的非零元不是可逆元就是零因子。5、 整数环Z中，证明（3，7）=（1）6、 证明：域是欧式环。7、 证明群同态定理第一条。8 Rx条件下，做映
6、射：f: g（x）=g（0）,求证：在f映射下Rx与R同构，并求其核。多所高校近世代数题库答案、（近世代数）判断题145678910XV单项选择题1 24 56 79 10三、（近世代数）填空题1、如1 2,1 2、a。 3、申。4、mn。 5、变换群。 6、（ 13524）。7、Xjayi,Xi,yR。 8、一个最大理想。9、p既不是零元，也不是单位，且 q只有平凡因子。10、E的每一个元都是F上的一个代数元。四、（近世代数）改错题1、 如果一个集合 A的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在 a1 a- an里，元的次序可以掉换。结合律与 交换律2、 有限群的另一定义：结合律成立、交换律
7、成立。消去律成立3、 设I和S是环R的理想且I S R，如果I是R的最大理想，那么 S = 0。S=I 或 S=R4、 唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若 d和d都是a和b的最大公因子，那么必有 d=d一定有最大公因子；d和d 只能差一个单位因子5、 二叫做域F的一个代数元，如果存在 F的都不等于零的元 a0,a1/ , an使得a0 - a 亠an n = 0。不都等于零的元近世代数模拟试题一一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的, 请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、 设A= B= R（
8、实数集），如果A到B的映射： XTx+ 2, - x R,则是从A到B的（ ）A、满射而非单射 B单射而非满射C 一一映射 D既非单射也非满射2、 设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AX B中含有（ ）个元素。A、 2 B、 5 C、 7 D、 103、 在群G中方程ax=b , ya=b, a,b G都有解，这个解是（ ）乘法来说A、不是唯一 B 、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的（两方程解一样）4、 当G为有限群，子群 H所含元的个数与任一左陪集 aH所含元的个数（ ）A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。5、 n阶有限群G的子群H的阶必须是n的
9、（ ）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、 设集合 1,0,1 B = 1,2 则有 B A 二 。2、 若有元素 e R使每a A,都有ae=ea=a，则e称为环R的 。3、 环的乘法一般不交换。如果环 R的乘法交换，则称 R是一个 。4、 偶数环是 的子环。5、 一个集合 A的若干个-变换的乘法作成的群叫做 A的一个 。6、 每一个有限群都有与一个置换群 。7、 全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 -,元a的逆元是 。&设I和S是环R的理想且丨S R，如果I是
10、R的最大理想，那么 。9、一个除环的中心是一个 。三、解答题（本大题共 3小题，每小题10分，共30 分）1、设置换匚和分别为：= I , =丨 ,判断和的奇偶性，并把写成对换的乘积。IL64173528 1（231876542、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。3、设集合 M m 二,1,2w , m -1,m（ m T），定义 M m 中运算 “ m ”为 a mb=（a+b）（modm）,则（M m , m ）是 不是群，为什么？四、证明题（本大题共 2小题，第1题1分，第2小题15分，共25分）1、 设G是群。证明：如果对任意的 x G，有x e，则G是交
11、换群。2、 假定R是一个有两个以上的元的环， F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。近世代数模拟试题二1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群。A 7 B、：a,e1C、爼小D、&a,a3f2、下面的代数系统（G *）中，（）不是群AG为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法CG为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合,*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-b B a*b=maxa,b C、a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|1、凯莱定理说：2、 一个有单位元的无零因子-称为整环。3、 已知群G中的元素a的阶等于50，
12、则a的阶等于-4、 a的阶若是一个有限整数 n，那么G与 同构。5、 A=1.2.3 B=2.5.6 那么 AA B=-。6、 若映射既是单射又是满射，则称 为 7、叫做域F的一个代数元，如果存在 F的- a0,a1,，an使得a。*1* 二=0。8 a是代数系统（代0）的元素，对任何 A均成立xa=x，则称a为 。9、 有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合 G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、 10、 一个环R对于加法来作成一个循环群，则 P是 。三、 解答题（本大题共 3小题，每小题10分，共30分）1、 设集合A=1,2,3G 是A上的置换群，H是G的子群，H=l,（
13、1 2），写出H的所有陪集。2、 设E是所有偶数做成的集合，“ ”是数的乘法，则“ ”是E中的运算，（E, ）是一个代数系统，问（E, ） 是不是群，为什么？3、 a=493, b=391, 求（a,b）, a,b 和 p, q。四、 证明题（本大题共 2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、 若G, *是群，则对于任意的 a、b G,必有惟一的x G使得a*x = b。2、 设m是一个正整数，利用 m定义整数集Z上的二元关系：a? b当且仅当m| a - b。近世代数模拟试题三1、 6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。A 2阶 B、3阶 C、4阶 D、6阶2、 设G是群，G有（）
14、个元素，则不能肯定 G是交换群。A 4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个3、 有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。精品文档A、偶数 B奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幕4、 下列哪个偏序集构成有界格（ ）A （N,空） B 、（乙一）C（2,3,4,6,12,| （整除关系） D （P（A）, =）5、 设S3= （1） , （12） , （13） , （23） , （123） , （132），那么，在 S3中可以与（123）交换的所有元素有（ ） A （1） , （123） , （132） B 、12） , （13） , （23）C （1） , （123） D 、S3中的所有元素
15、二、 填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。1、 群的单位元是 的，每个元素的逆元素是 的。2、 如果f是A与A间的一一映射，a是a的一个元，则ffa = 。3、 区间1 , 2上的运算a b min a,b的单位元是 。4、 可换群 G 中 |a|=6,|x|=8, 则 |ax|= 。5、 环Z8的零因子有 。6、 一个子群H的右、左陪集的个数 。7、 从同构的观点，每个群只能同构于他 /它自己的 。无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为 R的 。9、设群G中元素a的阶为m，如果an =e，那么m与n存在整除关系为 。1、 用2种颜色的珠子做成有
16、 5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、 S1, S2是A的子环，则 SQ S也是子环。S+S也是子环吗？3、 设有置换仃=（1345）（1245），氓（234）（456 S6。1.求二和二；2.确定置换二和匚的奇偶性。1、 一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、 M为含幺半群，证明 b=a-1的充分必要条件是 aba=a和ab2a=e。近世代数模拟试题四一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选 均无分。1设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积
17、集合A X B中含有（ ）个元素。A.2 B.5C.7 D.102设A = B = R（实数集），如果A到B的映射护：xtx+ 2, Wx R,贝U是从A到B的（ ）A.满射而非单射 B.单射而非满射C. 一一映射 D.既非单射也非满射3设S3 = （1） , （12）, （13）, （23）, （123）, （132），那么，在S3中可以与（123）交换的所有元素有（ ）A.（1） , （123）, （132） B.（12）, （13） , （23）C.（1） , （123） D.S3中的所有元素4设Z15是以15为模的剩余类加群，那么, Z15的子群共有（ ）个。A.2 B.4C.6 D.
18、85下列集合关于所给的运算不作成环的是（A.整系数多项式全体 Z : x关于多项式的加法与乘法B.有理数域Q上的n级矩阵全体 Mn（Q）关于矩阵的加法与乘法C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ 。”：V m， n Z, mn= 0D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ” ：Vm, n Z, mn= 1二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。6设“”是集合 A的一个关系，如果“”满足 ，则称“”是 A的一个等价关系。-17.设（G, ）是一个群，那么，对于 - a, b G,则ab G也是G中的可逆元，而且（ab）=8设d = （23）（35）
19、, t = （1243）（235） S5,那么t = （表示成若干个没有公共数字的循环置换之积 ）。9. 如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于于a G ,则元素a的阶只可能是 10.在3次对称群S3中，设H = （1） , （123）, （132）是S3的一个不变子群，则商群 G/H中的元素（12）H = 。11. 设Z6= : 0 , : 1 , : 2, : 3 , : 4, : 5 是以6为模的剩余类环，则 Z6中的所有零因子是 。12.设R是一个无零因子的环，其特征 n是一个有限数，那么，n是 。13.设Z :x是整系数多项式环，（x）是由多项式x生成
20、的主理想，则（x） = 14.设高斯整数环Z i= a + bi|a, b Z，其中i2=- 1，贝V Z i中的所有单位是 15.有理数域Q上的代数元 伍+巧 在Q上的极小多项式是 。16. 设Z为整数加群，Zm为以m为模的剩余类加群， 是Z到Zm的一个映射，其中申:k k , V k Z,验证：是Z到Zm的一个同态满射，并求 的同态核Ker：17. 求以6为模的剩余类环Z6= : 0, : 1, : 2 , : 3 , : 4 , : 5 的所有子环，并说明这些子环都是 的理想。18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。四、 证明题（本大题
21、共 3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）19.设G = a , b, c, G的代数运算“已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明:I是R的一个子环，但不是理想。由右边的运算表给出，证明： （G , J作成一个群。Qabc20.设ia b 1 _（a 0） _a，b,c,dZ,I =丿a, w Z代d丿 2 0丿:R 二21.设（R, +, ）是一个环，如果（R , + ）是一个循环群，证明： R是一个交换环。近世代数模拟试题一 参考答案一、 单项选择题。1、C; 2、D; 3、B; 4、C; 5、D;二、 填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）。1、畀厂1
22、, 1,0 , 1,1 2, 一1 , 2,0 , 2,1 r ； 2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ; 8、S=I 或 S=R ; 9、域；二=（1653）（247）（8）可知二为奇置换， 为偶置换。-=（123）（48）（57）（6）和可以写成如下对换的乘积:1、解：把二和写成不相杂轮换的乘积：匚=（13）（15）（16）（24）（27）= （13）（12）（48）（57）1 1B=（A + A） C= （A A）2、 解：设A是任意方阵，令 2 , 2 ，则B是对称矩阵，而 C是反对称矩阵，且 A = B C。若令有A = B1 C1，这里B1和G分
23、别为对称矩阵和反对称矩阵，则 B - B1二& - C ,而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于 0，即：B = B1，C =C1，所以，表示法唯一。3、 答：（Mm， m）不是群，因为 Mm中有两个不同的单位元素 o和矗四、证明题（本大题共 2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、 对于G中任意元x，y,由于（xy）二e,所以xy =（xy）二y x二yx （对每个x,从x =e可得x = x ）。2、 证明在F里1 1 aab -b a （a,b R,b = 0）Q =丿所有R,b0）有意义，作F的子集 i b丿Q显然是R的一个商域 证毕。近世代数模拟试题二 参考答案一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。1、C； 3、B； 4、B; 5、A；1、变换群；2、交换环；3、25； 4、模n乘余类加群；5、2 ； 6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；1、 解：H 的 3 个右陪集为：1,（1 2） ，（1 2 3
