1、3正棱锥1ch2台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底1h（S 上底 +S 下底+ S下底 S下底 ）正棱台（c+c ）h 表中 S 表示面积， c、 c 分别表示上、 下底面周长， h 表斜高， h表示斜高， l 表示侧棱长。2旋转体的面积和体积公式圆柱圆锥圆台球S侧2rlrl （r 1+r 2）lS全2r（l+r）r（l+r）22 （r 1+r 2）l+ （r 1+r 2）4RV r 2h（ 即 r 2l）12 r h1 2 2h（r 1+r 1r2+r 2）43 R表中 l、h 分别表示母线、 高，r 表示圆柱、 圆锥与球冠的底半径， r1 、r2 分别表示圆台 上、下底面半径， R
2、表示半径。四典例解析题型 1：柱体的体积和表面积例 1一个长方体全面积是 20cm2，所有棱长的和是 24cm ，求长方体的对角线长 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm、ycm、zcm、 lcm4（x y z） 24 （2）由（ 2）2 得： x2+y 2+z2+2xy+2yz+2xz=36 （3） 由（ 3）（ 1）得 x2+y2+z2=16 即 l2=16所以 l=4（cm） 。点评： 涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主， 而直棱柱中又以正方体、 长方体的表 面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、 体积之间的关系。例 2如图，三棱柱
3、 ABC A1B1C1中，若 E、 F分别为 AB、AC 的中点，平面 EB1C1将三棱柱分 成体积为 V1、V2的两部分，那么 V1 V2= 。S，体积为 V，则 V=V1+V2 Sh。解：设三棱柱的高为 h，上下底的面积为 E、F 分别为 AB、AC的中点， S AEF= S,41 1 1 7V1= h（S+ S+ S ）= Sh3 4 4 12V2=Sh-V1= 5 Sh，V1V 2=75。 解题的关键是棱柱、 棱台间的转化关系， 建立起求解体积的几何元素之间的对应 关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。题型 2：锥体的体积和表面积例 3（2006 上海， 19）在四棱锥 P ABC
4、D 中，底面是 边长为 2的菱形， DAB 60 ，对角线 AC与BD 相交 于点 O，PO平面 ABCD ，PB 与平面 ABCD 所成的角 为 60 ，求四棱锥 P ABCD 的体积？（1）在四棱锥 P-ABCD 中，由 PO平面 ABCD, 得 PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角， PBO=60 。在 RtAOB 中 BO=ABsin30 =1, 由 POBO ，于是 PO=BOtan60 = 3 ，而底面菱形的面积为 2 3 。四棱锥 PABCD 的体积 V= 12 3 3 =2。3 点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力 方面主要考查空
5、间想象能力。例 4（ 2006 江西理， 12）如图，在四面体 ABCD中，截面 AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心 O，且与 BC，DC分别截于 E、 F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分， 设四棱锥 A BEFD与三棱锥 AEFC的表面积分别是 S1， S2，则 必有（ ）A S1 S2 B S1 S2C S1=S2 DS1， S2的大小关系不能确定连 OA 、OB、OC、OD，则 V A BEFD V OABD VOABE VOBEFDVAEFCV OADC V O AEC V OEFC又 V A BEFD VAEFC， 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，
6、故 SABD SABE SBEFD SADC SAECSEFC 又面 AEF 公共，故选 C该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、 表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。题型 3：棱台的体积、面积例 5（ 1）（ 1998 全国， 9）如果棱台的两底面积分别是 S、 S，中截面的面积是 S0，那么（）DS022SS2和 4，高为 2，则其体D 20 3A 2 S0 S S B S0 SS C2S0S S（ 2）（1994 全国， 7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为 积为（ ）A 32 3 B 28 3 C24 3解析：（ 1）解析：设该
7、棱台为正棱台来解即可，答案为 A；2）正六棱台上下底面面积分别为：S上6 3 226 3，S下64224 3，44本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种 解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。题型 6：圆柱的体积、表面积及其综合问题例 6（2000全国理， 9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则由题设知 h=2r.S全=2r2+（2r）2=2r2（1+2）.S 侧=h2=42r2，本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。例 7（2003 京春理 13，文 14）如图
8、99，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适 R量的水 .若放入一个半径为 r 的实心铁球，水面高度恰好升高 r ，则 = 。r水面高度升高r，则圆柱体积增加R2 r 。恰好是半径为 r 的实心铁球的体积，4 3 2 因此有 r3=R2r。故R23。答案为本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。题型 4：圆锥的体积、表面积及综合问题例 8（1）（2002 京皖春， 7）在 ABC 中， AB=2，BC=1.5，ABC=120（如 图所示），若将 ABC绕直线 BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）753B C D 2222）（2001 全国文， 3）若一个圆锥
9、的轴截面是等边三角形，其面积为 3 ，则这个圆锥的全面积是（ ） A3 B 3 3 C6 D9（ 1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥 CADE 与圆锥 BADE 体积之差，又求得 AB=1 。1 5 1 3 V VC ADE VB ADE 3 3 1 ，答案 D 。C ADE B ADE 3 2 3 21 1 2（ 2） S absin ， a2sin60 3 ， a2 4，a2，a=2r，r1，S 全2rr223，答案 A。 通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。 而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。本题重点考查柱体、锥体的体积公式
10、及灵活的运算能力。题型 5：球的体积、表面积例 10已 知过球面上 A,B,C 三点 的截面 和球心的距离为 球半径的一半， 且AB BC CA 2 ，求球的表面积。设截面圆心为 O ，连结 O A ，设球半径为 R，则O A 2 3 2 2 33 2 3在 Rt O OA 中， OA2 O A2 O O 2 ，R4 S 4 R2649 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。P、 A、B、C，如果 PA，PB，PC 两两互相垂直，且例 11 如图所示，球面上有四个点 PA=PB=PC= a，求这个球的表面积。如图，设过 A、B、 C 三点的球的截面圆半径为 r，圆心为 O，球
11、心到该圆面 的距离为 d。在三棱锥 PABC 中， PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA=PB=PC= a, AB=BC=CA= 2 a,且 P 在ABC 内的射影即是 ABC 的中心 O由正弦定理，得 2a =2r, r= 6 a。 sin60 3又根据球的截面的性质，有 OO平面 ABC，而 PO平面 ABC ， P、O 、O共线，球的半径 R= r2 d2 。又PO= PA2 r2 = a2 2a2 = 3 a，OO=R 3 a=d= R2 r 2 ,（R 3 a）2=R2 （ 6 a）2，解得 R= 3 a,3 3 3 2S 球=4R2=3a2。本题也可用补形法求解。将 P ABC
12、 补成一个正方体，由对称性可知，正方体3 内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径 R= 3 a,下略。题型 9：球的面积、体积综合问题 例 12（1）（ 2006四川文， 10）如图，正四棱锥 P ABCD底面的四个顶16 点A,B,C,D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果VP ABCD 16 则球 O 的表面积是（ ）6，A 4 B 8 C 12 D162）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为 求球的表面积和体积。（ 1）如图，正四棱锥 P ABCD 底面的四个顶点A, B,C, D在球O的同一个大圆上， 点P在球面上，PO底面 ABCD
13、，PO=R，SABCD 2R ，16 1 2 16VP ABCD ，所以 2R2 R ，R=2，球 O 的表面积是 16 ，选 D。P ABCD 3 3 3（2）作轴截面如图所示，则作轴截面如图， AA 14， AC 2a ，又 4 R2 324 ， R 9 ， AC AC 2 CC 2 8 2 ， a 8 ， S表 64 2 32 14 576球的经纬度、球面距离问题例 14在半径为 13cm的球面上有 A,B,C 三点， AB BC AC 12cm，求球心到经过这三点的截面的距离。设经过 A,B,C 三点的截面为 O ，设球心为 O，连结 OO ，则 OO 平面 ABC， AO 3 12
14、2 4 3 ， OO OA2 OA 2 11 ，所以，球心到截面距离为 11cm 例 15在北纬 45 圈上有 A, B两点，设该纬度圈上 A, B两点的劣弧长为 2 R（ R为地 4球半径），求 A,B 两点间的球面距离。设北纬 45 圈的半径为r ，则 r R ，设 O 为北纬 45 圈的圆心，AOB ，r2R ， AB 2r R ， ABC 中， AOB ，所以， A, B两点的球面距离等于 R 要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，例 16地球半径为 R，A、B两地都在北纬 45线上，且 A、B 的球面距离为 ，求 A、B两地经度的差90 度空间几何体的表
15、面积和体积思维总结1正四面体的性质设正四面体的棱长为 a，则这个正四面体的（1） 全面积： S 全= 3 a2；（2） 体积： V= 2 a3；（3） 对棱中点连线段的长：d= 2 a；（4） 内切球半径：6 r= a；（6） 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 （等于正四面体的高 ） 。 2直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体 . 直角四面 体有下列性质：如图，在直角四面体 AOCB中， AOB=BOC=COA=90， OA=a,OB=b,OC=c。内切球半径S AOB S BOC -S ABCabc3圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角 .1如图，圆锥
16、的顶角为 ，母线与下底面所成角为 ，母线为 l ，高为 h，底面半径为 r，则sin+ =90 =cos = ，2lcos =sin = .2圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为 ，母线为 l ，高为 h，上、下底面半径分 别为 r 、 r ，则 h=lsin ， r-r =lcos 。3球的截面用一个平面去截一个球，截面是圆面 .（1） 过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；（2） 球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；（3） 球心和截面距离 d, 球半径 R，截面半径 r 有关系：r= R2 -d2 .4经度、纬度：经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与 0 经线及轴确定的半平 面所成的二面角的度数 。纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。我们5. 两点的球面距离： 球面上两点之间的最短距离， 就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度， 把这个弧长叫做两点的球面距离两点的球面距离公式： （其中 R 为球半径， 为 A,B 所对应的球心角的弧度数）
