1、21第九讲探究式教学25第十讲选择数学课堂探究式教学材料的视角28第一讲 现代数学观介绍数学是什么？其实有很多的回答。陈省身先生曾对数学有这样一段描述：1 数学的对象不外“数”与“形”，虽然近代的观念，已与原始的意义相差甚远。2数学的主要方法是逻辑的推理。因之建立了一个坚固的思想结构。3 这些结果会对其他学科有用，是可以预料的，但应用远超过了想象。数学固然成了基本教育的一部分。其他科学也需要数学作理想的模型，从而发现相应科学基本规律。也就是数学研究的对象是“数”和“形”；数学研究的方法是逻辑推理；数学具有广泛的应用性。也有人指出，数学是：高度的抽象，广泛的应用；明确的定义，正确的结论；逻辑的演
2、绎，科学的预见。上海市中小学数学课程标准（试行稿）中明确指出：数学是研究数量关系和空间形式的科学，随着社会的进步和数学自身的发展，特别是在信息技术的推动下，数学的研究领域、研究方式、应用范围等得到了空前的拓展。数学提供了刻画自然规律、社会规律的科学语言和数量模型，提供了处理数据和观测资料、进行推断和证明的有效工具，它不仅对科学技术的进步发挥着基础理论和基础应用的重要作用，而且已成为一种普遍适用的技术，直接为社会创造价值。关键词：一、科学数学是一门科学。数学区分于其它学科，具有明显的特点。（1）抽象性比如数，几何中的点、直线、平面都是抽象概念。全部数学概念都具有抽象性的特征。抽象不是数学独有的特
3、性，任何一门科学都具有一定的抽象性。数学抽象的特点在于：1）在数学的抽象过程中，只保留量的关系和空间形式，而舍弃了其它。2）数学的抽象是一级一级逐步提高的。3）数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系中。（2）精确性表现在：数学定义的准确性；推理逻辑的严格性；数学结论的确定无疑与无可争辩性。（3）应用的极端广泛性著名数学家华罗庚先生说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。”凡是出现量的地方，就少不了数学。研究量的关系、量的变化，量的关系的变化等等现象，都少不了数学。数学的应用已经渗透到一切科学的部门深处，是他们得力的助手和工具。二、工具
4、数学是人们认识世界、从事工作和学习的必须工具。在辞海中，工具泛指从事劳动生产所使用的器具。或者比喻用于达到某种目的的事物。如何用数学来解决问题是数学教学的一个非常重要的任务之一。三、技术数学是普遍适用的一门技术，并直接为社会创造价值。所谓技术，泛指根据生产实践经验和自然科学原理而发展成的各种工艺操作方法与技能，广义的还包括相应的生产工具和其它物质设备，以及生产的工艺工程或作业程序、方法。数学是一门技术的话，技术是要熟练的，也是要训练的。数学要形成技能，我们要通过课堂训练使学生掌握这门技术，为将来社会创造价值。四、语言数学是一种人际交流的简明语言。数学的语言有文字语言、图形语言、符号语言。数学教
5、学的一个重要任务就是要将这三种语言之间进行转化。数学教学应该关注三种语言之间转化的教学，要积极鼓励学生用多元的形式来表证他们的思维。五、文化数学是现代文化的重要组成部分，是世界人类文化的一种现象。数学作为文化来说，文化是要继承和发展的。从文化程度来考虑数学，我们目前教师所从事的工作就是传承文化，教师是文化的传播者。对现代数学观有了了解之后，对初中数学教学应该有所启发，在我们的教学中，应该关注几个方面。1.要把应试教育转化为素质教育。要培养学生的独立思考、有创新精神，而不只是长于记忆，巧于应考。2.在数学教学当中，要有几个转变。从具体数学到概念化数学的转变，发展学生的符号意识。从常量数学到变量数
6、学要有一个转变。从直观描述到严格证明的一个转变，逐步让学生形成严密的逻辑思维。3.向学生提供一个核心的数学内容。为学生今后学习和工作做好准备。第二讲 现代数学学习理论介绍（一）一、建构主义理论对数学教学的启示建构主义理论认为：认识不是主体对于客观实在的简单、被动的反映，而是主体以自己已有的知识经验为依托所进行的积极主动的建构过程，由于个体的经验的不同，因而每个人都有自己对世界的独特理解；在建构的过程中主体的认知结构发挥了特别重要的作用，认知结构处于不断的发展之中。建构主义理论重视已有知识经验、心理结构的作用，强调学习的能动性、建构性、社会性和情境性，强调学习的个人经验、智力参与与自主活动，对数
7、学的教学有许多积极的启示：1.在数学学习活动中，学生应当是认知行为的主体。2.数学知识不应看成是与学生的经验和思维毫无联系的东西。传授哪些数学知识和传授多少数学知识，不仅与学生的生理、心理特点，而且要适应适应他们的认知结构和建构活动。3.学习过程是一个建构过程，学生从原有的数学经验世界中组织相应的数学建构原材料，提出问题、选择方法和探索验证，并进行表达、交流和修正。4.有效的数学建构活动应从提出问题开始，引入认知冲突、通过学生自己的探索和再创造，以及对社会建构（表达、交流、辩论、调整）的参与，获得问题的解决。5.数学教师的主导作用体现为教师是数学建构活动的设计者、组织者、参与者、指导者和评估者
8、。与多数心理学理论类似，建构主义被曲解，甚至它的作用被夸大，以致造成一种观念，似乎建构主义可以解决数学教学中的一切现象和问题。（1）建构主义理论的不足与误解一些误解：1.有人认为：操作活动就代表从事建构主义教学。其实积极地参与某种有意义的情境操作活动，并不一定就能保证学生就能获得他们所渴望的理解。2.有人认为：建构主义的本质就是小组讨论。当然这种教学策略是发展学生数学理解的有用手段，有时也是有效的，但数学教学中以符号、图表表征知识时，不进行小组讨论学生也能学会数学，而且效率高。3.有些人试图把建构主义的数学教育解释为，淡化直接传授的数学教学。他们把数学课堂看作是学习社团。但是学生参与适当的数学
9、活动，不能就认为他们在进行“建构活动”，有些学生在小组内会依赖于他人的解答，那么他们实际未进行所谓的“建构”。其实应该清楚，并不是所有的数学教学都适合运用建构主义理论支撑和解释的，不要绝对化、泛化；应当看到建构主义忽略教师的主导作用，忽视有时知识也是需要直接传授的。因此建构主义至少是不全面的。二、布鲁纳认知结构学习理论对数学教学的启示布鲁纳认知结构学习理论认为学习包含三种几乎同时发生的过程，新知识的获得、知识的转换和对知识的评价。提出了通常人们通过行动和模式化的动作，通过习俗化的表象和知觉，通过语言和推理来对环境作出反应。由此构成了三种表征方式：动作表征、图象表征、符号表征。（1）三种认知表征
10、方式列表：方式定义教学含义动作通过动作反应表征个体的理解使用可操作和可触及的教学策略教他们缺乏原有经验的概念图像使用图像来表征理解使用图表及其他借助想象的策略来进行教学符号使用语言、音乐乐谱、数学符号等来表征理解当教新概念而且学习者已有原有经验时，使用熟悉的符号系统也就是知识可以以三种方式呈现给学习者：动作、图象、符号。布鲁纳又提出发现学习，他把发现定义为“通过运用自己的心智为自己获得知识的所有形式”，让学习者自己去发现教材的结构、结论和规律，他认为发现的过程有助于智慧的发展。发现学习中有两个重要的条件：1.学习者原有的知识。为解决问题，学习者必须决定哪些变量是有关的，对这些变量应收集哪些信息
11、，对这些信息应做些什么，这取决于有关现象的原有知识。2.关注提供模型来帮助有指导的发现。他指出：发现并不是无计划的，它朝一个总是存在的模型系统靠近。发现教学不是引导学生发现“那里”有什么过程，而是发现自己头脑中有什么。第三讲 现代数学学习理论介绍（二）三、奥苏伯尔有意义的接受学习理论简介奥苏伯尔的同化学习理论，将认知学习分为机械学习和有意义的学习，其中有意义的学习又分为代表性学习、概念学习和命题学习。机械学习就是逐字记诵，这意味着学习者没有在已知内容和要记忆内容之间建立真正的联系，所记住的内容只是与认知结构的其余部分相分离的一条任意信息；有意义的学习是指以实质性的和非人为的方式将潜在有意义的信
12、息与学习者已知内容联系起来的过程。（1）有意义学习的三个必要条件：1）学习者必须对任何学习任务采取一种有意义的学习心相；2）学习的材料必须有意义学习；3）学习已知什么以及这些已知的知识如何与要他们学习的内容发生关联。奥苏伯尔认为有意义学习的心理机制是同化，新知识的学习有三种不同的同化模式：下位学习、上位学习和并列学习。在教学设计时，根据同化模式可确定所要教学的概念、命题及条件。如果学生认知结构中原有的概念或命题的概括性和包含范围高于要学习的新概念或命题，那么新概念、新命题是下位学习；如果要学习的新概念或命题的概括性和包含范围高于原有的概念或命题，那么新概念、新命题是上位学习；如果要学习的新概念
13、或命题与原有的概念或命题，既无上位又无下位关系，而是存在着某种并列关系，那么根据并列学习的同化模式安排学习的内外条件。（举例）同化主要是保持过程，以新的信息倾向于还原为更加稳固的固着观念（或被其同化），即“要习得的新材料与已有认知结构之间发生相互作用的结果是新旧意义的同化形成了一个更高度分化的认知结构。”奥苏伯尔还区分了接受学习和发现学习，接受学习：将要学习的所有内容以定论形式呈现给学习者。这要求学习者将信息以一种有利于以后运用的形式加以内化。发现学习：学习者要“重心安排给定的信息，将其整合进已有的认知结构中，以及对整合后的组合进行重组和转化以创造出预期的终点产品或发现一种缺失的手段-目的关系
14、。”当这一阶段完成之后，所发现的内容也象接受式学习中的那样被内化了。四、加涅累积学习理论的简介加涅吸收了信息加工的心理学思想，又吸收建构主义的心理学思想，从学习的形式，学习发生的角度出发，加涅认为人类的学习有8种形式。（1）信号学习指个体学会对某一信号作出某种一般的、弥漫的反应，即巴甫洛夫所研究的经典的条件反应学习。（2）刺激反应学习个体学会对某一发生的刺激作出某种精确的反应，这里获得的是一种联结（如桑代克所说），或是一种有区别的操作（如斯金纳所说）。（3）连锁形成学习指个体学会由两个以上的刺激反应所形成的某种联系。（4）言语连锁学习指个体学会以言语作为单位的连锁，其学习条件与其它（如运动性）
15、连锁相似，但只是在人的语言出现之后才可能从事这类学习。（5）多重辨别学习指个体学会对不同刺激互相在物理特征上或多或少的相似性作出若干不同的可以鉴别的反应。尽管学习其中每一个刺激反应的联结只是第二种学习类型的情况，但各联结往往会因各自的特征而产生干扰。（6）概念学习指学习者学会能对一类在物理特征上广为不同的刺激作出相同的反应，他能作出这种反应在于能够鉴别一类完整的客体或事件。（7）规则原理学习简单地说，原理由两个以上的概念所组成，它的作用是控制行动。对规则的言语表述形式通常是“若有A，则有B”，这里的A和B均为概念。但规则的学习同学习这种言语表述要谨慎区分开，纯粹学习它的言语表述，仅是第四种学习
16、类型。（8）问题解决学习指一种要求进行内部思维的学习，它需要对早先获得的两个以上的原理作出某种组合，从而获得一种新的所谓的高级规则。加涅揭示了八种学习类型的层次性，八种学习形式组成了一个由低级的学习形式产生更高一级的学习形式的层级，通过最低级的学习所获得的能力为逐次获得更高一级的能力奠定基础或创设前提。揭示了在日常学习中经常发生的现象：当个体能解决现在的有创造性的问题时，那么必定在早先时候他已掌握了解决问题所需要的有关原理和规则；当个体能够从事现在的原理或规则学习时，那么必定在早先时候他已经掌握了原理和规则中所提及的那些抽象概念；当个体能够从事现在某一抽象概念学习时，那么必定在早先时候他已经获
17、得了定义中所涉及的另一些抽象的概念或具体概念。由于抽象的概念不可能总以循环的定义方式来获得，因此人在学习某些抽象的概念时，必须借助于对具体事物的辨别经验，而当人要建立这种辨别经验时，又可一直追溯到需要他早先通过最简单的刺激反应的连结所建立起来的一系列行为连锁和言语连锁。经过加涅的这一番解释，人的高级学习形式的发生及高级学习能力的获得变得不再是一种只能意会而不可言明的进程了。从而学习具有累积性，即上一层学习以下一层学习为前提条件。提出学习过程分为九个阶段：注意、预期目标、提取原有知识、选择性知觉、语义编码、反应、强化、根据线索提取知识和技能一般化。他认为学习条件有内部和外部条件。不同种类的学习要
18、求不同的学习条件。如果有了一定的学习形式之后，那么学生通过学习，学到的是什么呢？加涅认为有五类学习结果：智慧技能、认知策略、言语信息、动作技能和态度。1、智慧技能的实质是人们应用符号办事的能力。可以细分为四个亚类，分别是辨别、概念、规则和高级规则。最简单的智慧技能是辨别，即区分物体差异的能力。较高一级的智慧技能是概念即对同类事物的共同本质特征的认识。因此有对事物作出分类的能力。再上去是规则，当规则支配人的行动时，我们便说，人在按规则办事。运用概念、规则办事的能力就是技能的本质。最高级的智慧技能是高级规则，是指运用简单规则解决复杂问题的能力。加涅认为，高级规则的学习以简单规则的学习为前提，简单规
19、则的学习又以概念学习为前提，概念学习以辨别学习为前提。2、认知策略是一种特殊的智慧技能。它与智慧技能的区别是：智慧技能是个体学会使用符号与环境发生作用，是处理外部世界的能力，而认知策略是对内组织的技能，它的功能是调节监控概念和规则的使用，是处理内部世界的能力，是个体对认知过程进行调节与控制的能力。认知策略使用的先决条件是具备相应的智慧技能。3、言语信息有时又称言语知识。当代认知心理学家则称之为陈述性知识，实际上都旨在表明在人所获得的能力中一种最为熟悉的能力，即人用语言来表述信息的能力。加涅认为言语信息的学习不但是使学过的东西能逐字逐句地回忆出来，而且是要用自己的语言表达出来。根据言语信息本身所
20、具有的不同复杂程度，加涅区分出三类不同的言语信息形式：符号学习；事实学习；有组织的言语信息的学习。4、动作技能有两个成分：一是一套操作规则，二是肌肉协调能力。动作技能的学习就是使一套操作规则支配人的肌肉协调，是指个体不仅仅完成某种规定的动作，而且指这些动作组织起来构成流畅、合规则和准确的整体行为。5、态度是一种能够影响人对某一类物、某一类事或某一类人作出个人选择的内部状态。它是通过学习而建立起来的一种影响人选择自己行动的内部状态。态度包括认知、情感和行为三种成分。数学学习中有诸多的符号、概念、原理规则及其关系等等的学习，即有知识的学习又有技能的学习；数学学习应当可以看作为是一个累积的学习，它是
21、一个不断积累的过程。以上这些思想对于数学教学的设计都有非常重要的指导意义。数学教育（学）可以充分应用来自心理学、教育学、数学、社会学这些领域的观点、方法和结果。第四讲 数学课堂教学设计一、分析教学内容，确定教学主题（内容分析）需要做的前期工作是对所要进行教学的数学内容进行分析。1.数学知识内容的背景分析分析这一部分数学知识发生、发展的过程，它与其他数学知识之间的联系以及数学教材内容安排的异同。如：数系发展的过程1）历史上数系发展的过程：添正无理数添正分数 自然数集 正有理数集 添零和负数 正实数集 实数集 2）而教材中数系的扩充：添有理数添负整数自然数集（含零） 整数 非负有理数集 添无理数
22、有理数集 实数集 教师可以思考这样一个问题：为什么教材中的设计与数学历史发展的顺序不同。其实教材这样处理和设计的意义是：数学教学知识的展开并不一定按照数学历史发展的轨迹，而是要考虑这些知识是不是符合学生的认知规律，这些概念的学习是不是都是上位学习。再比如分数与有理数的关系，在某个阶段上它们是有区别的，但如果将分母为一的整数也作为分数的话，在这个意义下，分数就是有理数，现在二期课改的教材就是这样处理，因此我们要理解这部分的教学内容，在教学中应对分数与有理数的关系有较为深刻的认识，而不要将精力放在判断某数是有理数还是分数上。2.数学知识的作用、地位的分析对于所要教学的数学内容进行分析，主要是这一部
23、分知识内容在整个数学内容中的地位和作用，以及对于提高学生的数学素养所具有的功能和价值。特别对于新教材，可以与老教材进行比较，发现不同和变化的地方，理解为什么作这样的变化，它的意义在哪，对教学特别对学生的数学学习带来怎样的变化，以及变化后所带来的不同的教学方法和相应的教学策略。3.类型分析1）学习结果类型分析可以根据数学学习的实际情况和加涅的学习结果分类理论，可分为数学事实、数学概念、数学原理法则、数学问题解决、数学思想方法、数学技能、数学认知策略和态度等，对于不同的结果类型应采取相应的教学策略。2）学习类型分析根据奥苏伯尔同化理论，数学概念与原理的学习可以分为上位学习、下位学习和并列学习。分数
24、的乘法，它是原理法则的学习。4.内容结构分析对所确定的教学内容要进行分析，要对数学知识技能、思想方法及其之间的关系，以及确定这些数学技能、思想方法掌握的程度和训练的要求。对重点、难点进行分析；重点一般是对教师和教学内容而言的，教师希望重点要关注的教学内容以及学生应当通过本课的学习所应重点掌握的知识、技能、思想方法和能力等；而难点是针对学生而言，教师估计学生在学习到这个点上可能引起的问题，或多数学生在这个点上会产生的困难，教师要知道产生困难的原因及应对措施。例如：解直角三角形二、 分析学生基础，了解学习情况学生数学学习情况分析：1.学生的学习起点能力即学生对将要学习的内容和任务的学习已经具备的知
25、识和技能；数学学习是一个知识积累的过程，是一个循序渐进的过程，有时是有多方面的链接，因此在教学设计时必须考虑学生已有的、储备的知识基础和掌握的技能。比如，讲“整数指数幂及其运算”时，学生起点能力的分析如下：1）学生能够运用幂的运算性质计算指数为正整数的算式。2）学生已经掌握了整数的四则运算。3）学生知道。2.学生学习数学的心理特点分析数学教学的真实过程如何展现，其中教师对数学以及数学教育的认识和理解，常常起着主导性的作用。而学生作为学习的主体，其智力参与和情感参与程度，则往往具有关键性的作用，对学生有关数学学习的内容产生影响的认知成熟度、学习动机、理解程度、情感、意志等因素也需要分析，而对这些
26、因素的分析也直接影响教师对教学内容、教学方法和教学媒体的使用和选择。3.学生的学习方法与习惯的分析学生的数学学习是因人而异的，每个人都有学习的方法和习惯，教师在教学设计时应加以考虑，并加强学法的指导。对于某些适宜于探究学习的内容，教师要思考学生是否具有相应的学习方法基础和必需的探究能力；设计小组合作讨论进行学习时，需考虑学生是否具有这样的学习习惯；设计数学技能学习时需考虑学生是否会操作学具和其他工具，是否已形成必要的操作规范等。数学教学的设计，是要创设适合学生的教学，应从学生现有的认知水平和知识经验出发，以学生的最近发展区为指向，最大限度地满足大多数学生的学习需求。只有充分了解学生，正确分析学
27、生的学习实际，才能真正做到准确把握教学要求、恰当处理教学内容、合理组织教学过程。所以教师在教学设计时，必须认真分析学情，以学生为本，从学生的学习实际与需求出发，既备教材也备人，这样才具有针对性。第五讲 数学课堂教学设计2三维目标三、明确教学目的，制定三维目标 （1）如何理解三维目标上海市中小学数学课程标准根据基础教育的培养目标，结合数学学科的特点，在阶段目标中提出了“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与价值观”三个维度的目标。1）“知识与技能”目标二期课改提出以学生的发展为本和三维的教学目标，并不是不要关注知识与技能，而是要改变将“知识与技能”为单一甚至唯一的课程目标的倾向，是要全面关注
28、将来作为公民的学生适应未来社会生活和继续学习所必需的数学基本知识和技能，因此“知识与技能”目标仍是二期课改数学课程目标的重点之一。2）“过程与方法”目标上海市中小学数学课程标准在“过程与方法”的维度上，主要关注的是学生学习数学基本知识和技能的过程，关注学生在数学学习中体验和经历知识产生、发展的过程，以及伴随着学习过程中发展数学能力的培养、数学思想方法的渗透和情感态度与价值观教育的要求。把“过程与方法”作为数学课程三个维度的目标之一，具有以下的意义。学生所学的数学知识大都是从人们生活、生产的实际需求中产生和发展起来的，学生要真正地理解这些抽象的概念，就需要能对实际问题抽象过程有所了解，如果能经历
29、从实际问题抽象出数学模型的过程，即使是局部的经历和体验对强化概念的理解都是有帮助的。数学的知识与技能就象数学本身不断地螺旋上升，有一个不断累积和抽象的过程，如果单纯地强调掌握知识与技能，必然使学生感到除了为学习数学而学习数学之外，数学没有什么意义，学生的学习也必然是以模仿为主，长期下去将抑制学生的主动性和创造性；而强调“过程与方法”将使学生有机会经历从具体情境抽象出数学概念的过程、感受自然现象中蕴涵的数学规律、体验数学解决问题的过程，发现或了解自己学习内容的来龙去脉，思考数学和用数学的思维方式思考问题。弗赖登塔尔主张：不应该学习现成的数学，学生应当通过再创造来学习数学，这样获得的知识与能力才能更好地理解，而且能保持较长久的记忆。数学地组织现实世界的过程就是数学化，每个人有不同的数学现实世界，不一定限于客观世界的具体事物，也可以包括各种层次的抽象的数学概念和规律，因而相应的有不同层次的数学化。毫无疑问，学生应该学习数学化。这些原理与“过程与方法”目标是一致的。 过去有些教师更关注的是数学的结果（结论性）的东西，教师喜欢将数学的结论直接告知学生，并要求学生记忆，但由于社会的发展，社会需要的不仅仅是
