1、，四点共圆. ，而由，有.，四点共圆.，而，.而是的中点，是的中点，.例2.等腰梯形中，分别是，的内心，是直线上的一点，的外接圆交的延长线于. ，故共圆，则，因此，而，所以，由此，例3. 在中，内心为，内切圆在，边上的切点分别为，设是关于点的对称点，是关于点的对称点.求证：四点共圆. 设直线交的外接圆于点，易知是的中点，记的中点为，则设点在直线上的射影为，由于则半周长，于是，又所以，且相似比为，熟知：。又，所以，即是的中点进而，所以都在以为圆心的同一个圆周上 Z例4.设A、B为圆 上两点，X为 在A和B处切线的交点，在圆 上选取两点C、D使得C、D、X依次位于同一直线上，且CABD，再设F、G
2、分别为CA和BD、CD和AB的交点，H为GX的中垂线与BD的交点证明：X、F、G、H四点共圆设O为圆心，ABXO = M XOAXAM， OXXM = XA 2 = XCXD O、M、C、D四点共圆 XMO = OCD = ODC = OMC CMG = GMD在CM上选取一点E使MXDE，则MD = ME在GX上取点X，使GFD = DFX，在XF上取W使CFGW由得 CGXD = XCGD由上面两式得 = ，故X = X GFD = XFD又 = 1和XPB = CDF 1 H和B在CX的同一侧设H为直线BF与GFX外接圆的交点，则 HXG = HFG = HFX = HGX HG = H
3、X， H = H X、F、G、H四点共圆，得证注：上述证法比较麻烦，本题实质如下：易知为调和点列，又，可得为的平分线，设外接圆交于点，由“鸡爪”定理知，从而在的中垂线上，本题得证.例5.ABC中，E、F分别为AB、AC中点，CM、BN为高，EF交MN于P，O、H分别为三角形的外心与垂心求证：APOH由BMC = BNC = 90知 B、C、N、M四点共圆 AMAB = ANAC又 AE = AB, AF = AC， AMAE = ANAF，即E、F、N、M共圆注意到由AMH = ANH = AEO = AFO = 90知 AH、AO分别为AMN、AEF外接圆的直径过AH中点H与AO中点O分别为
4、AMN与AEF的外心，且易知OHOH 只需证APOH，只需证A、O为AMN、AEF外接圆的等幂点即可注意到A为两圆公共点，而由E、F、N、M共圆知 PMPN = PEPF故 P也为等幂点综上所述，原命题成立例6.设ABC内接于圆O，过A作切线PD，D在射线BC上，P在射线DA上，过P作圆O的割线PU，U在BD上，PU交圆O于Q、T且交AB、AC于R、S证明：若QR = ST，则PQ = UT过O作OKPU = K，OFBU = F，连结AK延长交O于另一点E，过C作CHPU交AE于G，交AB于H，连GF、OP、OU、OA、OE由垂径定理知BF = FC, QK = KT，且QR = ST RK
5、 = KS 即K是RS的中点，且CHPU = = = = 1 HG = GC由中位线定理知 FG BH FGE = BAE = BCE F、G、C、E共圆 EFC = EGC = AGH = UKG EFO + OKE = OFC + CFE + OKE= 90 + （UKG + OKE） + 90 = 180 K、O、F、E四点共圆 又 OKU + OFU = 290， K、O、F、U四点共圆 结合知K、O、F、E、U五点共圆， KUO = KEO又 PA为O切线 OAPA，且OKPU KEO = KAO KPO = KUO OP = OU又 OKPU， PK = UK而QK = TU， P
6、Q = UT，得证例7.AB、AC为O切线，ADE为一条割线，M为DE中点，P为一动点，满足M、O、P三点共线，P为以P点为圆心、PD为半径的圆证明：C点在BMP外接圆与P的根轴上作PRAC，其延长线交BC延长线于S OMA = OBA = OCA = 90 A、C、O、M、B五点共圆 BMP = BMA + 90 = BCA + 90RSC B、M、P、S四点共圆 C对BMP外接圆的幂为 CBCS = 2CACR而C对P的幂为 CP 2PD 2 = CP 2（AP 2ADAE） = CP 2AP 2 + AC 2 = CR 2 + RP 2PR 2AR 2 + AC 2 = CR 2（CR
7、+ CA） 2 + CA 2 = 2RCCA C点对P的幂等于C点到BMP外接圆的幂 C点在上述两圆根轴上，得证例8.设H为ABC的垂心，D、E、F为ABC的外接圆上三点，使ADBECF，S、T、U分别为D、E、F关于边BC、CA、AB的对称点求证：S、T、U、H四点共圆先证引理：ABC外接圆O与它的九点圆V关于ABC的垂心H位似，且位似比为 引理的证明：设AH、BH、CH分别交边BC、CA、AB于O、E、F，交O于D、E、F易知HD = HD, HE = HE, HF = HF DEF与DEF关于H位似，位似比为 DEF外接圆与DEF外接圆关于H位似，即O与V关于H位似，位似比为 回到原题：
8、设BC、CA 、AB中点分别为X、Y、Z，过D作DPBC，交O于P，设PH中点为W易知SDBC，设PS交BC于X，则由SD关于BC对称知SX = XD X为BC中点，即X与X重合，即P与S关于X对称同理P与U、T分别关于Z、Y对称 四边形USHT与四边形ZYWX对称由引理知Z、X、Y、W四点共圆 U、T、H、S四点共圆，得证例9.给定锐角ABC，过A作BC的垂线，垂足为D，记ABC的垂心为H，在ABC的外接圆上任取一动点P，延长PH交APD的外接圆于Q求Q点的轨迹解：Q点轨迹为ABC的九点圆如图，取AH、BH、PH的中点M、N、K，延长AD交ABC外接圆于G则熟知HD = DG，连接KN、MN
9、、KD、PB、PG因为各取中点有 NKD = BPG, NMD = BAG K、N、M、D四点共圆又Q在APD的外接圆上， PHHQ = AHHD，即 2KHHQ = 2MHHD KHHQ = MH于是有K、D、Q、M、N五点共圆又DMN外接圆为九点圆，所以Q在九点圆上反之，在如上所述九点圆上任取一点Q，设QH延长线交ABC外接圆于P，取PH中点R，同上可证R在九点圆上故 2RHHQ = 2 MHHD，即PHHQ = AH因此Q在APD外接圆上得证例10.在ABC中，D是BC边上的一点，设O1、O2分别是ABD、ACD的外心，O是经过A、O1、O2三点的圆的圆心求证：ODBC AD恰好经过AB
10、C的九点圆心连AO1、BO1、AO2、CO2，作AB、AC垂直平分线交于点O AO2C = 2ADB = AO1B, AO1 = BO1, AO2 = CO2， AO1BAO2C AO1O2ABC AO1O = 180AO1B = 180AO2C = 180AO2O故O在O上，O是ABC的外心，故AOOAO1B又ADB = 1, O1AB = OAO = OOA ODBC BAO1 = ADO ADO = ODA A、O、O、D共圆 AOO = 180ADO = ADB + ODC ADB = ODC （ AOO = 2ADB ）如图，设OH与AD交于点K，作BC中垂线OM，交AD延长线于点M
11、，OM与BC交于点L由ADB = ODC DL = LM OM = 2OL = AH AKHMKO OK = KH K为九点圆心 AD经过ABC的九点圆心综上所述，命题得证例11. 内接于, 自作的切线, 又以为圆心,为半径作交直线于，交直线于；则四边形的四条边所在直线分别通过的内心及三个旁心. 以下，我们仍按情况给出图形和解答（其实在所有情形下结论都成立）证明:、如图,设的平分线交于，因，则点关于直线对称，又因在上,则，因此共圆, 由于为的切线，则，又由，所以 因此为的内心. 、据条件知，为矩形,设角平分线交直线于，连，由（1）知, 点关于直线对称，故，则为的外角平分线，因此为边外的旁心.、
12、设的外角平分线交直线于，由，则共圆. 故共线, 因此为边外的旁心.、设的外角平分线交直线于，连，因故共圆.所以共线, 即是的外角平分线, 因此为边外的旁心例12. 三角形中，是的中点，分别是边上的点，且的外接 圆 交 线 段于若点满足：在圆中，由于弦故圆周角因此，与分别共圆，于是 设点在边上的射影分别为，则，故由 得，1设的内心为 今证四点共圆：连 因分别共圆，则，又由1， 所以因此而所以因为故得，因此四点共圆，于是延长交的外接圆于则为该外接圆的直径, 于是且因此, 点O是所在圆的圆心, 从而为的切线. 延长交于T, 则,所以 , 又由,得, 因故 . 延长到,使，则为平行四边形, . 由 得
13、 . 由 、得 所以，, 即.三、巩固训练1.为正三角形的边上的任意一点，设与的内心分别为，外心分别为；如图，据内心性质，有，所以共圆，即点在上，而，得点也在上，即五点共圆此圆的圆心即为的圆心；注意的平分线也是的中垂线，即共线，因此；同理有五点共圆，圆心为，因此，且由于，则；又在中，；在中，；所以，于是从而，由于在直角三角形中，所以有2.ABC内切圆与BC切于K，AD是BC边上的高，M为AD中点，MK与ABC内切圆交于K、NBNC外接圆与ABC内切圆切于N设ABC关于BAC的旁切圆为IA，半径为rA，ABC内心为I，I半径为r，IA切BC于T，KI交I于K、S，则 = = ，IATIS （均垂
14、直于BC）， A、S、T共线 I为SK中点，M为AD中点，SKAD， T、I、M共线 = = = , IKIAT， M、K、IA三点共线设I关于点K、N切线交于Q，则QINK设QI交NK于R，则 IB平分ABC，IAB平分ABC外角， IBIA = 90又 IRIA = 90， I、B、IA、R共圆同理I、R、C、IA共圆， I、B、IA、C、R共圆 QBQC = QRQI IQKN, IKKQ， QRQI = QK 2QC = QK 2 = QN 2， BNC外接圆有切线QN又QN为I切线， BNC外接圆与ABC内切圆切于N，证毕3.已知ABC的三边分别交O于X、X、Y、Y、Z、Z若AYZ、
15、BXZ、CXY的外接圆交于一点M，AYZ、BXZ、CYZ的外接圆交于一点M求证：OM = OM设M的等角共轭点为M1，在BC、AC、AB上分别取点X1、Y1、Z1使 M1X1B = M1Y1C = M1Z1A = MXC = MYA = MZB A、Y1、Z1M四点共圆 AZ1Y1 = AM1Y1 = M1Y1CM1AC= MZBMAB = AMZ = AYZ Y1、Y、Z1、Z四点共圆1同理可得Y、X1、X、Y1共圆2；X1、X、Z1、Z共圆3 若1 2，则3 1, 2，与三圆根轴交于一点，矛盾！故1 = 2 = 3，X、X1、Y、Y1、Z、Z1共圆，则X1 = X, Y1 = Y, Z1 = Z设MXMX = X0, MYMY = Y0, MZMZ = Z0，则 M、M、X0、Y0、Z0三点共圆（ XX0X = YY0Y = ZZ0Z）又OX0M = OY0M （ OX0XX, OY0YY） O、M、M、X0、Y0、Z0共圆而OMM = OX0M = OMM，故OM = OM第16页
