1、5.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为（B）（A） （B） （C） （D）如图三棱柱ABCA1B1C1,P为底面A1B1C1的中心,取ABC中心P, 连接PP,AP,AP,则PAP即为所求PA与平面ABC所成的角.由AP=1.又SABC=sin 60=,PP=,PP=,所以tanPAP=,即PAP=.故选B.6.如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,ACB=90,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1平面C1DF,则线段B1F的长
2、为（A） （A） （B）1（C） （D）2设B1F=x,因为AB1平面C1DF,DF平面C1DF,所以AB1DF.由已知可以得A1B1=,矩形ABB1A1中,tan FDB1=,tan A1AB1=,又FDB1=A1AB1,所以=.故B1F=.故选A.7.（xx山东潍坊质检）如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）连接AC,BD交于O,因为底面各边相等,所以BDAC; 又PA底面ABCD,所以PABD,又PAAC=A,所以BD平面PAC,所以BDPC.所以当DMPC（或BM
3、PC）时,即有PC平面MBD.而PC平面PCD,所以平面MBD平面PCD.答案:DMPC（或BMPC）8.四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,顶点在底面上的射影是底面正方形的中心,一个对角面的面积是一个侧面面积的倍,则侧面与底面所成锐二面角等于.如图所示,根据=,得=,即为侧面与底面所成锐二面角的正弦值,故侧面与底面所成锐二面角为.9.给出命题:在空间中,垂直于同一平面的两个平面平行;设l,m是不同的直线,是一个平面,若l,lm,则m;已知,表示两个不同平面,m为平面内的一条直线,“”是“m”的充要条件;在三棱锥SABC中,SABC,SBAC,则S在平面ABC内的射影是ABC的垂心;a,
4、b是两条异面直线,P为空间一点,过P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一条平行.其中,正确的命题是（只填序号）.错误,垂直于同一个平面的两个平面也可能相交;错误,“”是“m”的必要不充分条件;错误,只有当异面直线a,b垂直时才可以作出满足要求的平面;易知正确.10.（xx高考山东卷）如图,四棱锥PABCD中,AP平面PCD,ADBC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD, PC的中点. （1）求证:AP平面BEF;（2）求证:BE平面PAC.证明:（1）设ACBE=O,连接OF,EC. 由于E为AD的中点,AB=BC=AD,ADBC,所以AEBC,AE=AB=BC,因此四边形ABCE为菱
5、形,所以O为AC的中点.又F为PC的中点,因此在PAC中,可得APOF.又OF平面BEF,AP平面BEF.所以AP平面BEF.（2）由题意知EDBC,ED=BC.所以四边形BCDE为平行四边形,因此BECD.又AP平面PCD,所以APCD,因此APBE.因为四边形ABCE为菱形,所以BEAC,又APAC=A,AP,AC平面PAC,所以BE平面PAC.11.在直角梯形ABCD中,ADC=90,CDAB,AB=4,AD=CD=2,将ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得到几何体DABC,如图所示.BC平面ACD;（2）求几何体DABC的体积.（1）证明:在图中,可得AC=BC=2,从而AC2
6、+BC2=AB2,故ACBC,取AC的中点O,连接DO,则DOAC,又平面ADC平面ABC,平面ADC平面ABC=AC,DO平面ADC,从而DO平面ABC,所以DOBC,又ACBC,ACDO=O,所以BC平面ACD.（2）解:由（1）可知,BC为三棱锥BACD的高,BC=2,SACD=2,所以=SACDBC=22=,由等体积性可知,几何体DABC的体积为.能力提升练（时间:15分钟）12.（xx四川绵阳诊断）已知l,m,n是三条不同的直线,是不同的平面,则的一个充分条件是（D）（A）l,m,且lm（B）l,m,n,且lm,ln（C）m,n,mn,且lm（D）l,lm,且m对于A,l,m,且lm
7、,如图（1）,不垂直;对于B,l,m,n,且lm,ln,如图（2）,不垂直;对于C,m,n,mn,且lm,直线l没有确定,则,的关系也不能确定;对于D,l,lm,且m,则必有l,根据面面垂直的判定定理知.13.（xx天津质检）如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:BDAC;BAC是等边三角形;三棱锥DABC是正三棱锥;平面ADC平面ABC.其中正确的是（B）（A） （B）（C） （D）由题意知BD平面ADC,故BDAC,正确;AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD平面ACD,所以AB=AC=BC,BAC
8、是等边三角形,正确;易知DA=DB=DC,又由知正确;由知错误.14.如图,三棱柱ABCA1B1C1的侧面A1ABB1BC,且A1C与底面成45角,AB=BC=2,则该棱柱体积的最小值为（C） （A）4 （B）3 （C）4 （D）3由已知得平面A1ABB1平面ABC且交线为AB,故A1在平面ABC上的射影D在AB上.由A1C与底面成45角得A1D=DC,因为BCAB,所以当CD最小即CD=BC时A1D最小,此时Vmin=ABBCA1D=2=4.故选C.15.（xx河北教学质量监测）已知四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是边长为a的菱形,BAD=120,PA=b. 平面PBD平面
9、PAC;（2）设AC与BD交于点O,M为OC中点,若二面角OPMD的正切值为2,求ab的值.因为PA平面ABCD,所以PABD.又底面ABCD为菱形,所以ACBD,所以BD平面PAC,从而平面PBD平面PAC.过O作OHPM交PM于H,连接HD. 由（1）知DO平面PAC,所以DHPM,所以OHD为二面角OPMD的平面角.又OD=a,OM=,AM=,且=,从而OH=,tanOHD=2,所以9a2=16b2,即=.精彩5分钟1.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距离为1,则SA与平面ABC所成角的大小为（C）（A）30 （B
10、）60（C）30或60 （D）45解题关键:注意分球心在三棱锥的内部和外部两种情况.球心位置有以下两种情况:球心在三棱锥内部、球心在三棱锥外部.当球心在三棱锥内部时,三棱锥为正三棱锥,设O为ABC的中心,在ABC中,可求得OA=,所以可得OA=2,SO=3,SA与平面ABC所成的角即SAO,由tanSAO=,得SAO=60.同理可得当球心在三棱锥外部时,SA与平面ABC所成角为30.2.在ABC中,ACB=90,AB=8,ABC=60,PC平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为.作CHAB于H,利用PC平面ABC,得PHAB,PH为PM的最小值.如图,作CHAB于H,连接P
11、H, 因为PC平面ABC,所以PHAB,PH为PM的最小值.PH=2.22019-2020年高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第6节空间向量及其运算基丛点练理空间直角坐标系3,5,14空间向量的线性运算4,6,8,10空间向量的坐标运算及数量积1,2,7,9,11,1512,13,161.已知a=（-2,-3,1）,b=（2,0,4）,c=（-4,-6,2）,则下列结论正确的是（C）（A）ac,bc （B）ab,ac（C）ac,ab （D）以上都不对因为c=2a,所以ac,又ab=（-2,-3,1）（2,0,4）=-4+0+4=0,所以ab.故选C.2.已知a=（1,1,1）,b=（0,
12、2,-1）,c=ma+nb+（4,-4,1）.若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为（A）（A）-1,2 （B）1,-2 （C）1,2 （D）-1,-2由已知得c=（m+4,m+2n-4,m-n+1）,ac=3m+n+1=0,bc=m+5n-9=0.解得3.（xx高考北京卷）在空间直角坐标系Oxyz中,已知A（2,0,0）,B（2,2,0）,C（0,2,0）,D（1,1,）.若S1,S2,S3分别是三棱锥DABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则（D）（A）S1=S2=S3 （B）S2=S1且S2S3（C）S3=S1且S3S2 （D）S3=S2且S3S1 根据题目条件,在
13、空间直角坐标系Oxyz中作出该三棱锥DABC,显然S1=2=2,S2=S3=.故选D.4.（xx高考广东卷）已知向量a=（1,0,-1）,则下列向量中与a成60夹角的是（B）（A）（-1,1,0） （B）（1,-1,0）（C）（0,-1,1） （D）（-1,0,1）设b=（1,-1,0）,则cos=,即b与a的夹角为60.故选B.5.（xx福州质检）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则|为（A）（A）a （B）a （C）a （D）a以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A（a,0,0）,C1（0,a,a）,N（a,a,）.设M（x,y,
14、z）.因为点M在AC1上且=,所以（x-a,y,z）=（-x,a-y,a-z）,所以x=a,y=,z=.所以M（,）,所以|=a.故选A.6.（xx晋江模拟）设OABC是四面体,G1是ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则x+y+z等于（C）（A）1 （B） （C） （D）2 如图所示,取BC的中点E,连接AE.所以=x+y+z,又G1,A,B,C四点共面,所以x+y+z=1,所以x+y+z=.7.若向量a=（1,1,x）,b=（1,2,1）,c=（1,1,1）,满足条件（c-a）2b=-2,则x=.因为c-a=（0,0,1-x）,所以（c-a）2b=（0,0,
15、1-x）2（1,2,1）=2（1-x）=-2,解得x=2.8.已知空间四边形OABC,点M,N分别是OA,BC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示向量=. 如图所示,=（+）=（-）+（-）=（+-2）=（+-）=（b+c-a）.（b+c-a）9.已知点A（1,2,1）,B（-1,3,4）,D（1,1,1）,若=2,则|的值是.设P（x,y,z）,则=（x-1,y-2,z-1）.=（-1-x,3-y,4-z）.由=2得点P坐标为（-,3）,又D（1,1,1）,所以|=.10.已知各个面都是平行四边形的四棱柱ABCDABCD.设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCCB的对角线BC上的点,
16、且BNNC=31,设=+,试求,之值.解:=+=（+）+（+）=（-+）+（+）=+,所以=,=,=.11.已知空间中三点A（-2,0,2）,B（-1,1,2）,C（-3,0,4）,设a=,b=.（1）求向量a与向量b的夹角的余弦值;（2）若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.（1）因为a=（1,1,0）,b=（-1,0,2）,所以ab=（1,1,0）（-1,0,2）=-1,又|a|=,|b|=,所以cos=-,即向量a与向量b的夹角的余弦值为-.（2）法一因为ka+b=（k-1,k,2）.ka-2b=（k+2,k,-4）,且ka+b与ka-2b互相垂直,所以（k-1,k,2）（k+2
17、,k,-4）=（k-1）（k+2）+k2-8=0,所以k=2或k=-,所以当ka+b与ka-2b互相垂直时,实数k的值为2或-.法二由（1）知|a|=,|b|=,ab=-1,所以（ka+b）（ka-2b）=k2a2-kab-2b2=2k2+k-10=0,得k=2或k=-.12.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足=0,=0,=0,M为BC的中点,则AMD是（C）（A）钝角三角形 （B）锐角三角形（C）直角三角形 （D）不确定因为M为BC中点,所以=（+）.所以=（+）=+=0.所以AM AD,AMD为直角三角形.13. （xx宁波检测）如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a
18、,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是（B）（A）斜交 （B）平行 （C）垂直 （D）不确定 建立如图所示的坐标系,由于A1M=AN=,则M（a,）,N（,a）,=（-,0,）,又C1D1平面BB1C1C,所以=（0,a,0）为平面BB1C1C的一个法向量,因为所以,所以MN平面BB1C1C.14.在空间直角坐标系中,以点A（4,1,9）,B（10,-1,6）,C（x,4,3）为顶点的ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为.由题意知|=|,又=（6,-2,-3）,=（x-4,3,-6）,所以15. 如图所示,已知空间四边形OABC,
19、OB=OC,且AOB=AOC=,则cos的值为.设=a,=b,=c,由已知条件=且|b|=|c|,=a（c-b）=ac-ab=|a|c|-|a|b|=0,16. （xx汕头模拟）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1.E,B,F,D1四点共面;（2）若点G在BC上,BG=,点M在BB1上,GMBF,垂足为H,求证:EM平面BCC1B1. （1）以B为原点,以BA,BC,BB1为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则B（0,0,0）,E（3,0,1）,F（0, 3,2）,D1（3,3, 3）,则=（3,0,1）,=（0,
20、3,2）,=（3,3,3）.所以=+.由向量共面的充要条件知E,B,F,D1四点共面.（2）设M（0,0,z0）,又G（0,0）,则=（0,-,z0）,而=（0,3,2）,由题设得=-3+z02=0,得z0=1.故M（0,0,1）,有=（3,0,0）.又=（0,0,3）,=（0,3, 0）,从而MEBB1,MEBC.又BB1BC=B,故ME平面BCC1B1.1.已知矩形ABCD,AB=1,BC=,将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中（B）（A）存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直（B）存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直（C）存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂
21、直（D）对任意位置,三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直将线线垂直转化为向量的数量积求解.如图所示,在图（1）中,易知AE=CF=,BE=EF=FD=.在图（2）中,设=a,=b,=c,则=90,设=,又=a+b+c,=3b,故=3b2=10,故AC与BD不垂直,A不正确;=+=a-b,=+=b-c,=-ac-b2=-cos -.当cos =-,即=时,=0,故B正确;=+=a+2b,=+=2b+c,c+4b2=cos +=（cos +2）,故无论为何值,0,故C不正确.故选B.2.（xx徐州模拟）已知O点为空间直角坐标系的原点,向量=（1,2,3）,=（2,1,2）,=（1, 1,2）,且点Q在直线OP上运动,当取得最小值时,的坐标是.利用转化思想把数量积的最小值问题转化成二次函数最值问题,求得点的坐标.因为点Q在直线OP上,所以设点Q（,2）,则=（1-,2-,3-2）,=（2-,1-,2-2）,=（1-）（2-）+（2-）（1-）+（3-2）（2-2）=62-16+10=6（-）2-.当=时,取得最小值-.此时=（,）.（,）
