1、第6讲四年级数学相遇问题教案精锐教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级： 课 时 数：学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型T 简单相遇问题C 稍复杂的相遇问题T 二次或多次相遇问题授课日期时段教学内容题目：邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？1、加法原理和乘法原理解题三部曲各是什么？2、应用加法原理和乘法原理时要注意几点？ 一、同步知识梳理1、行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。相遇问题是行程问题的一种典型应用题，也是相向运动的问题。2、路程：路程就是所走的距离之和。速
2、度：速度就是单位时间所走的距离。3、路程、速度、时间三者之间的数量关系：路程速度时间， 速度路程时间， 时间路程速度。4、相遇问题：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A，B之间这段路程，如果两人同时出发，那么相遇路程甲走的路程乙走的路程 甲的速度相遇时间乙的速度相遇时间 （甲的速度乙的速度）相遇时间 速度和相遇时间5、相遇问题的关键词：相向而行、时间相同、速度和。二、同步题型分析题型1、求路程例1、一辆货车与一辆轿车同时从甲、乙两个城市相对开出，轿车每小时行46千米，货车每小时行48千米。4小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？分析：甲、乙两个城
3、市的路程货车走的路程轿车走的路程 货车的速度相遇时间轿车的速度相遇时间 （货车的速度轿车的速度）相遇时间 速度和相遇时间画图如下：本题是简单的相遇问题，根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为：（4648）4944376（千米）。 解法二：464484376（千米）。例2、客车和轿车同时从广州和深圳两地相向开出，客车每小时比轿车慢10千米，5小时两车相遇。相遇时客车距离深圳还有180千米，广州和深圳两地的路程是多少千米？分析：根据线段图发现客车在相遇时深圳有180千米，这180千米就是轿车5小时走的路程。轿车的速度：180536（千米）；客车的速度361026（千米）；广州到深圳的
4、路程（3626）5310（千米）。题型2、求速度例1、甲、乙两站相距840千米，两列火车同时从两站相对开出，8小时后相遇，第一列火车的速度是每小时56千米，问第二列火车的速度是多少？分析：解法一：（840568）849（千米）； 解法二：可直接利用公式：速度和路程和相遇时间，84085649（千米）。例2、快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过3小时快车已过中点12千米与慢车相遇，慢车每小时行多少千米分析: 从图中可知：快车3小时行的路程403120千米，比全程的一半多12千米，全程的一半是12012108千米。而慢车3小时行的路程比全程的一半还少12千米，所以慢车3
5、小时行的路程是1081296千米，由此可以求出慢车的速度：96332（千米）。题型3、求时间例1、甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。两人几小时后相遇？分析：这是一道相遇问题。所谓相遇问题就是指两个运动物体以不同的地点作为出发地作相向运动的问题。根据题意，出发时甲乙两人相距20千米，以后两人的距离每小时缩短6410千米，这也是两人的速度和。所以，求两人几小时相遇，就是求20千米里面有几个10千米。因此，两人20（64）2小时后相遇。例2、甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，两人于相隔18千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔54千米？分析与解
6、答：这是一道相背问题。所谓相背问题是指两个运动的物体作背向运动的问题。在相背问题中，相遇问题的基本数量关系仍然成立，根据题意，甲乙两人共行的路程应该是541836千米，而两人每小时共行7512千米。要求几小时能行完36千米，就是求36千米里面有几个12千米。所以，36123小时。三、课堂达标检测1、 两列火车从两个车站同时相向出发，甲车每小时行48千米，乙车每小时行78千米，经过3.5小时两车相遇。两个车站之间的铁路长多少千米？分析：解法一：（4878）3.5441（千米）； 解法二：483.5783.5441（千米）。2、A、D两地相距520千米，甲骑摩托车每小时行30千米，乙骑电动车每小时
7、行驶20千米，几小时以后还相距70千米没有相遇？分析：（52070）（3020）9（小时）。3、（选做） A、D两地相距520千米，甲骑摩托车每小时行30千米，乙骑电动车每小时行驶20千米，几小时相遇以后相距70千米？分析：（52070）（3020）11.8（小时）。4、甲乙两地相距42千米，哥哥由甲地出发走向乙地，每小时走7.5千米，弟弟同时从乙地出发走向甲地，弟弟走了3小时后遇见了哥哥，弟弟每小时走了多少千米？分析：知道了路程和相遇时间，可以求出速度和，用速度和哥哥的速度弟弟的速度，弟弟每小时走423-7.56.5千米， 5、甲乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲每小时行48千米，乙
8、每小时行42千米，两车在离中点18千米处相遇，求AB两地间的距离。分析：“两车在离中点18千米处相遇”，由于甲的速度更快，说明他们相遇时，甲过了中点18千米，而乙离中点18千米，那甲比乙多走了181836千米，1小时甲比乙多走48426千米，我们就可以算出相遇时间：3666小时，再依公式路程和=速度和相遇时间：（4842）6540（千米）。6、甲每小时行8千米，乙每小时行6千米，两人于相隔30千米的两地同时相背而行，几小时后两人相距142千米？分析：这是一道相背问题。在相背问题中，相遇问题的基本数量关系任然成立。甲、乙两人共行的路程应是：14230112（千米）；速度和：8614（千米）；时间
9、：112148（小时）。一、专题精讲 题型一：同时，同地，同向而行例1、兄妹二人同时从家里出发到学校去，家与学校相距1400米。哥哥骑自行车每分钟行200米，妹妹每分钟走80米。哥哥刚到学校就立即返回来在途中与妹妹相遇。从出发到相遇，妹妹走了几分钟？相遇处离学校有多少米？ 分析：从图中可以看出，哥与妹妹相遇时他们所走的路程的和相当于从家到学校距离的2倍。因此本题可以转化为“哥哥妹妹相距2800米，两人同时出发，相向而行，哥哥每分钟行200米，妹妹每分钟行80米，经过几分钟相遇？”的问题，解答就容易了。从家到学校的距离的2倍：140022800（米）；从出发到相遇所需的时间：2800（200+8
10、0）10（分）；相遇处到学校的距离：14008010600（米）。题型二：同时，不同地，相向而行例1、甲、乙两艘轮船分别从两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶20千米，乙船每小时比甲船慢7千米，经过8小时两艘轮船在途中相遇。两港间的水路长多少千米？分析：从运动对象、运动时间及运动方向上来判断，可知是相遇问题。关键在要先求出乙的具体速度，然后运用公式可求。乙速：20-713（千米）；两港间的水路长：（20+13）8264（千米）。例2、两城市相距328千米，甲、乙两人骑自行车同时从两城出发，相向而行。甲每小时行28千米，乙每小时行22千米，乙在中途修车耽误1小时，然后继续行驶，与甲相遇，求出发到
11、相遇经过多少时间？分析:如果乙在中途不停车，那么甲、乙两人从出发到相遇共行路程的和：328221350（千米），两车的速度和：282250（千米/小时），然后根据相遇问题“路程和速度和=相遇时间”得 350507（小时）。解法2：（328221）（2822）6（小时），6+1=7（小时）。题型三：不同时，不同地，相向而行例1、已知东西两地的距离是368千米，甲乙两辆汽车分别从东西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。若甲车先行一个小时后，乙车再出发，那么乙车出发后多久会在路上与甲相遇？分析：从运动对象、运动方向上来判断，基本符合相遇问题的特征，但两车不“同时”。题目问的是：
12、乙车出发后多久相遇，那从乙车开始到后来就是同时了，因此要把甲先开路程减去即可。解：同时走的路程和是：36856312（千米）；相遇时间： 312（5648）3（小时）。例2、东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度从西到东地，1.5小时后，乙车从东地出发，再经过3小时两车还相距15千米。乙车每小时行多少千米？分析：从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间。解法一：（1）甲车一共行多少小时？1.534.5（小时）（2）甲车一共行多少千米路程？254.5112.5（千米）（3）乙车一共行多少千米路程？217.5112.5
13、105（千米）（4）乙车每小时行多少千米？ (10515)330（千米）解法二：可以构建标准的相遇问题，即同时出发同时相遇，所以运用全程将先走的和还未行的减去，剩下的路程就是两车同时出发到相遇所共同行驶的路程，再根据总路程相遇时间速度和求出两车的速度和，运用速度和甲车的速度乙车的速度。路程和：217.515251.5165（千米），速度和：165355（千米/时），乙车的速度：552530（千米）。例3、甲乙两船分别从相距580千米的A、B两港相向开出，甲船每小时行32千米，开出2小时后，乙船才从B港开出，速度为每小时36.8千米，乙船开出几小时与甲船相遇？分析：乙船比甲船要晚出发2小时，即2
14、小时后甲乙两船为同时出发直到两船相遇，它们所用的时间相同，此题要求乙船开出后与甲船相遇的时间，也就是甲船开出2小时后甲乙两船相遇的时间。根据题意先需求出甲船提前出发2小时所行驶的路程：32264（千米），剩下的路程即是甲乙两船同时出发到相遇共同行驶的路程：580-64516千米，相遇时间：516（3236.8）7.5（小时）。题型四：中点问题例1、两甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。两车在距中点32千米处相遇，东、西两地相距多少千米? 分析：从图中可以看出，两车相遇时，甲车比乙车多行了32264（千米）。两车同时出发，为什么甲车会比乙车多行64千米
15、呢？因为甲车每小时比乙车多行56488（千米），64里包含8个8，所以此时两车各行了6488小时，东、西两地的路程：（5648）8832千米。二、专题过关1、甲、乙两辆汽车分别从、两地出发相对而行，甲车先行1小时，甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米，5小时相遇，求、两地间的距离。分析：这题不同的是两车不“同时”。方法一：求A、B两地间的路程就是求甲、乙两车所行的路程和。这样可以分别求出甲车、乙车所行的路程，再把两部分合起来。48（1+5）=288（千米），505=250（千米），288+250=538（千米）。方法二：还可以先求出甲、乙两车5小时所行的路程和，再加上甲车1小时所行的路程
16、。（48+50）5=490（千米），490+48=538（千米）。2、甲车从A城到B城，速度是每小时50千米，乙车从B城到A城，速度是每小时40千米。两车同时出发，结果在离A、B两城的中点C 30千米的地方相遇，求A、B两城间的路程？ 分析：这道题的条件与问题如图所示要求A、B两城的距离，关键是求出相遇时间，因路程是未知的，所以用路程（甲速乙速）求相遇时间有一定的困难，抓住题设中隐含的两个数量差，即甲车与乙车的速度差：50千米/小时40千米/小时10千米/小时；相遇时两车的路差：30千米260千米。再将其对应起来思维：正因为甲车每小时比乙车多走10千米，所以甲车多走60千米所花去的时间6小时正
17、是两车相遇的时间。因此，求A、B两地距离的综合算式是：（5040）302（5040）540（千米）。3、甲、乙两辆汽车分别从、两地出发相向而行，甲车先行3小时后乙车从地出发，乙车出发5小时后两车还相距15千米，甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米，求、两地间相距多少千米？分析：题目中写的“还”相距15千米指的就是最简单的情况。画线段图如下：由图中可以看出，甲行驶了3+5=8(小时)，行驶距离为：488=384(千米)；乙行驶了5小时，行驶距离为：505=250(千米)，此时两车还相距15千米，所以A、B两地间相距：384+250+15=649(千米)。也可以这样做：两车5小时一共行驶：（
18、48+50）5=490(千米)，A、B两地间相距：490+483+15=649(千米)，所以，A、B两地间相距649千米。4、夏夏和冬冬同时从两地相向而行，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，两人在距两地中点50米处相遇，求两地的距离是多少米？分析：根据题意，画线段图如下： 从图中可以看出(先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？)，因为夏夏的速度比冬冬慢，所以相遇点一定在中点偏向夏夏的这一边50米，由图可以得出：夏夏所行路程全程一半50米 ，冬冬所行路程全程一半50米 ；所以两人相遇时，冬冬比夏夏多走了(米)，冬冬比夏夏每分钟多走10米，所以两人从出发到相遇共走了10分钟，两地的距离：(米)。
19、5、杨扬和幸儿姐妹二人同时从家里去学校，杨扬每分钟走90米，幸儿每分钟走60米，杨扬到达校门口时，发现忘记带文具盒，立即用原速沿原路返回，走到离校门口180米处与幸儿相遇，她家离学校有多远？解：相遇时间：（180+180）（90-60）=12（分）；路程为：9012-180=900（米）。6、甲乙两车同时从A、B两地相对开出，4小时相遇相遇后乙车继续前行5小时到达A地。甲车每小时行70千米，乙车每小时行多少千米？解：704=280（千米）；2805=56（千米/时）。三、学法提炼1、专题特点：相向运动问题，也就是相遇问题。相遇问题的特征是：两个运动物体一般同时不同地（或不同时不同地）出发作相向
20、运动 在一定时间内，两个运动物体相遇。2、解题方法：解答相遇问题要紧紧抓住“速度和”这个关键条件。主要数量关系是：速度和相遇时间路程和路程和速度和相遇时间路程和相遇时间速度和解答相遇问题时，要弄清题意，按照题意画画线段图，借助线段图，显现隐蔽的条件，然后依据速度和、时间和路程三者之间的关系，选择解法。3、注意事项：相遇问题除了速度、时间、路程以外，还涉及如下一些重要因素，解题时千万不可忽视。运动方向：相同、背向、同向。出发地点：同时、不同地。出发时间：同地、不同时。运动途径：直线、圆周运动结果：相遇、相距。一、能力培养题型一：二次相遇问题例1、甲乙两辆汽车同时从AB两地相向而行，第一次相遇在离
21、A地40千米的地方，两车继续以原来的速度前进，各自到达终点后立即返回，又在离B地20千米处相遇。AB两地相距多少千米？分析：这题通过分析可以知道甲乙第一次相遇合走1个全程。甲走了40千米；到第二次相遇两车合走了3个全程。这时甲应该走了3个40千米比全程多20千米。AB两地相距40320=100（千米）。例2、两辆汽车同时从东、西两站相向开出。第一次在离东站60千米的地方相遇。之后，两车继续以原来的速度前进。各自到达对方车站后都立即返回。又在距中点西侧30千米处相遇。两站相距多少千米？ 分析：从两辆汽车同时从东、西两站相对开出到第二次相遇共行了三个全程。两辆汽车行一个全程时，从东站出发的汽车行了
22、60千米，两车走三个全程时，这辆汽车走了3个60千米。这时这辆汽车距中点30千米，也就是说这辆汽车再行30千米的话，共行的路程相当于东、西两站路程的1.5倍。找到这个关系，东、西两站之间的距离为 (603+30)1.5=140（千米）。例3、AB两城间有一条公路长240千米，甲乙两车同时从A、B两城出发，甲以每小时45千米的速度从A城到B城，乙以每小时35千米的速度从B城到A城，各自到达对方城市后立即以原速沿原路返回，几小时后，两车在途中第二次相遇？相遇地点离A城多少千米？ 分析：从图上可以看出，甲乙两人第一次相遇时，行了一个全程。然后甲乙两人到达对方城市后立即以原速沿原路返回，当小华和小明第
23、二次相遇时，共行了3个全程，这时甲乙共行了多少个小时呢？可以用两城全长的3倍除以甲乙速度和就可以了。（1）甲乙出发到第二次相遇时共行了多少千米？2403720（千米）（2）甲乙两人的速度和是多少？453580（千米） (3）甲乙两人从出发到第二次相遇共用了多少小时？ 720809（小时）（4）相遇地点离A城多少千米？35924075（千米）例4、小华和小明同时从甲、乙两城相向而行，在离甲城85千米处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原路返回，又在离甲城35千米处相遇，两城相距多少千米？ 分析：从图上可以看出，小华和小明两人第一次相遇时，行了一个全程，小华行了85千米。当小华和小明第二次相遇时，共
24、行了3个全程，这时小华共行了3个85千米，如果再加上35千米，相当于小华行了2个全程，甲乙两地全长也就可以求出来了。（1）甲乙出发到第二次相遇时，小华共行了多少千米？ 853255（千米）（2）甲乙两城相距多少千米？（ 25535）2145（千米）题型二：多次相遇问题例、王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而行，王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米。如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去。这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗共行了多少米？分析：要求狗共行了多少米，一般要知道狗的速度和狗所行的时间。根据题意可知，
25、狗的速度是每分钟行500米，关键是要求出狗所行的时间，根据题意可知：狗与主人是同时行走的，狗不断来回所行的时间就是王欣和陆亮同时出发到两人相遇的时间，即2000（11090）10分钟。所以狗共行了500105000米。二、能力点评解行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。学法升华一、知识收获1、相遇问题的计算关系式为：总路程速度和相遇时间“总路程”指两人从出发到相遇共同的路程；“速度和”指两人在单位时间内共同走的路程；“相遇时间”指从出发到相遇所经的时间。2、行程问题除了速度、时间、路程以外，还涉及如下一些重要因素，解题时千万不可
26、忽视。运动方向：相同、背向；出发地点：同时、不同地；出发时间：同地、不同时；运动途径：直线、圆周；运动结果：相遇、相距、二次相遇及多次相遇。3、研究两次相遇时要明确：速度不变；路程：两人所走的全程为三个全程，每人所走的路程是每一个全程中所走路程的3倍；时间：二次相遇时间是一次相遇时间的三倍。二、方法总结1、相遇问题的特点及计算方法。 特点:（1）两者从两地出发。（2）沿相反方向运动。（3）两者是同时出发。 公式 :(1）总路程=相遇时间速度和 (2)相遇时间=总路程速度和 (3)速度和=总路程相遇时间 (4)路程和=甲路程+乙路程 (5)甲路程=甲的速度甲走的时间 (6)乙路程=乙的速度乙走的
27、时间2、解行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。3、解决二次或多次相遇问题重点要明确共同走了几个全程，二次相遇共走了3个全程，同样已知一次相遇的时间，那么二次相遇的时间也是一次相遇时间的3倍。多次相遇问题：第1次相遇，共走1个全程； 第2次相遇，共走3个全程； 第3次相遇，共走5个全程； ， ； 第N次相遇，共走2N-1个全程；4、若题中已知或间接的给出相遇点离某地间的距离，则这段距离一定与其中一个人（车辆）所走的路程有关。三、 技巧提炼简单的相遇问题解题时的入手点及需要注意的地方：1、相遇问题：与速度和、路程和有关。 是否同时
28、出发； 是否有返回条件； 是否和中点有关：判断相遇点位置； 是否是多次返回：按倍数关系走； 一般条件下，入手点从“和”入手，但当条件与“差”有关时，就从差入手，再分析出时间，由此再得所需结果。课后作业1、甲、乙两列火车同时从相距735千米的两地相向而行，甲列车每小时行85千米，乙列车每小时行90千米，几小时两列火车相遇？答案：735（8590）4.2（时） 2、两列火车从两个车站同时相向出发，甲车每小时行85千米，乙车每小时行78千米，经过6.5小时两车相遇。两个车站之间的铁路长多少千米？答案：（8578）6.51059.5（千米）3、两人骑马同时从相距165千米的两地相对跑来，5小时相遇。第
29、一匹马每小时跑15千米，第二匹马每小时跑多少千米？第二匹马比第一匹马多跑多少千米？答案：第二匹马每小时跑16551518（千米）；第二匹马比第一匹马多跑（1815） 515（千米）。4、小明和张楠分别从相距4320米的甲乙两地同时相对而行，小明骑车每分钟走160米，是张楠步行速度的2倍，多少分钟后两人相遇？答案：4320（1602160）18（分钟）5、甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行，8小时两船还相距22千米。已知乙船每小时行42千米，甲船每小时行多少千米？答案：（65422）84237（千米）6、一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时
30、后两车相遇已知汽车每小时比自行车多行31.5千米，求汽车、自行车的速度各是多少？答案：速度和：172.5357.5（千米），自行车的速度：（57.531.5）213（千米）；汽车的速度：1331.544.5（千米）。7、甲、乙两车同时从相距480千米的两地相对而行，甲车每小时行45千米，途中因汽车故障甲车停了1小时，5小时后两车相遇乙车每小时行多少千米？答案：48045（51）300（千米）；300560（千米）。8、A、B两地间有一条公路长2800米，甲车从A地出发5分钟后，乙车从B地出发，又经过10分钟两车相遇。已知乙车每分钟行100米，甲车每分钟行多少米？分析：要求甲的速度，需知道甲行驶的路程和所用的时间。根据题意可知甲用的时间是51015分钟，甲行驶的路程为全程乙行驶的路程：2800100101800米，那么甲每分钟行驶了180015120米。9、AB两地相距119千米，甲乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，并连续往返于甲、乙两地。甲车每小时行42千米，乙车每小时行28千米。几小时后，两车在途中第三次相遇？相遇时甲车行了多少千米？分析：此题要求同时出发到第三次相遇所用的时间，
